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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(810=30r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(810=30r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
पहला पद (11) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=11\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (11) and the ratio is (3), so \(a_n=11\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
गुणोत्तर श्रेढ़ी के लगातार पदों में मध्य पद का वर्ग, उसके दोनों पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=9\times49=441\)। इसलिए \(x=\pm21\), पर प्रश्न में धनात्मक गुणोत्तर श्रेढ़ी दी गई है, इसलिए \(x=21\) होगा। \(28\) लेने पर \(28^2\ne9\times49\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए सीधे \(b^2=ac\) लगाएँ। / For consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of its neighbouring terms. Thus, \(x^2=9\times49=441\). Hence \(x=\pm21\), but the progression is stated to be positive, so \(x=21\). For example, \(28^2\ne9\times49\), so 28 cannot be the middle term. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
हर बार (-3) से गुणा करने पर (4,-12,36,-108) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-3) each time gives (4,-12,36,-108). A negative ratio makes the signs alternate.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 3, 6, 12, 24, 48 हैं, अतः उनका योग 93 है। सूत्र से भी, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\)। 90 केवल पहले चार पदों का योग है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या के अनुसार अंतिम पद तक श्रेणी लिखकर जाँच करें। / The first term of this GP is 3 and its common ratio is 2. Its first five terms are 3, 6, 12, 24, and 48, whose sum is 93. Using the formula, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\). The value 90 is the sum of only the first four terms. Exam tip: List the required number of terms before adding to avoid missing the last term.
ज्यामितीय श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=\frac{5}{8}\times 2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\)। विकल्प 8 तब मिलता यदि घात या गुणन की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=\frac{5}{8}\times2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\). Option 8 can result from an incorrect use of the exponent or multiplication. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\), not \(n\).
\(3,12,48,192,\ldots\) में हर बार (4) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(3,12,48,192,\ldots\), each term is multiplied by (4). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{20}{5}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है, इसलिए \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\)। 2560 प्राप्त करने में अनुपात 4 को एक बार अधिक गुणा किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=5\) and the common ratio is \(r=\frac{20}{5}=4\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\). Getting 2560 would mean multiplying by the ratio 4 one extra time. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{54}{18}=3\) है। अतः \(\frac{18}{x}=3\), इसलिए \(x=\frac{18}{3}=6\)। विकल्प 9 लेने पर अनुपात \(\frac{18}{9}=2\) और \(\frac{54}{18}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) भी उपयोग कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, \(r=\frac{54}{18}=3\). Therefore, \(\frac{18}{x}=3\), giving \(x=\frac{18}{3}=6\). If 9 were used, the ratios would be \(\frac{18}{9}=2\) and \(\frac{54}{18}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\).
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,18,54,162) मिलते हैं। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,18,54,162). Form the initial terms from the rule and match the option.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए अगला पद \(8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the next term is \(8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\). Multiply by the ratio.
पहले तीन पद 4, 20 और 100 हैं। अतः उनका गुणनफल \(4\times20\times100=80\times100=8000\) है। 6000 जैसा विकल्प गलत गुणा करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल निकालते समय पहले दो पदों का गुणन करके फिर तीसरे पद से गुणा करें। / The first three terms are 4, 20, and 100. Their product is \(4\times20\times100=80\times100=8000\). An option such as 6000 can result from an incorrect multiplication. Exam tip: multiply the first two terms first, then multiply by the third term.
पहला पद (12) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (12,24,48,96) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (12), and multiplying by (2) each time gives (12,24,48,96). Match both (a) and (r).
सार्व अनुपात (-2) है और पद (2,-4,8,-16,32,-64) हैं। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-2), and the terms are (2,-4,8,-16,32,-64). With a negative ratio signs alternate.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(324=12r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(324=12r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
सार्व अनुपात (5) है और पद (3,15,75,375,1875) हैं। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The common ratio is (5), and the terms are (3,15,75,375,1875). Form terms in order to find the position.
सार्व अनुपात \(\frac{30}{6}=5\) है, इसलिए \(x=30\cdot5=150\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{30}{6}=5\), so \(x=30\cdot5=150\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
\(a_4=20\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\)। भिन्न अनुपात में हर बार आधा होता है। / \(a_4=20\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\). With a fractional ratio each term becomes half.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। पहले 5 पद हैं: 2, 6, 18, 54, 162। इनका योग 2+6+18+54+162=242 है। अतः सही उत्तर 242 है। विकल्प 200 सही नहीं है, क्योंकि वह इन पाँचों पदों के वास्तविक योग के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी के लिए \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), का प्रयोग भी किया जा सकता है। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 3. Its first 5 terms are 2, 6, 18, 54, and 162. Their sum is 2+6+18+54+162=242. Therefore, 242 is the correct answer. Option 200 is incorrect because it is not the sum of these five terms. Exam tip: You may also use \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) when \(r\ne1\).
पहला पद (10) और अनुपात (2) है, इसलिए \(a_n=10\cdot2^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (10) and the ratio is (2), so \(a_n=10\cdot2^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
श्रृंखला के पहले चार पद 12, 24, 48 और 96 हैं। अतः उनका योग \(12+24+48+96=180\) है। 192 केवल पहले तीन पदों के योग में 108 जोड़ने जैसी गलत गणना से आ सकता है, जबकि चौथा पद 96 है। परीक्षा टिप: कम पद दिए हों तो उन्हें सीधे जोड़कर योग जाँचें। / The first four terms are 12, 24, 48, and 96. Therefore, their sum is \(12+24+48+96=180\). The value 192 may result from an incorrect addition, since the fourth term is 96. Exam tip: When only a few terms are given, add them directly and check the total.
सार्व अनुपात \(\frac{12}{3}=4\) है, इसलिए \(x=12\cdot4=48\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{12}{3}=4\), so \(x=12\cdot4=48\). Apply the same ratio to each next term.
दिया है \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\)। इसलिए सही उत्तर \(2\) है। \(4\) तब मिलता यदि घात \(2\) ली जाती, जबकि यहाँ घात \(n-1=3\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सूचकांक रखने के बाद पहले \(n-1\) को अलग से जाँच लें। / Given \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Substituting \(n=4\), \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\). Hence, the correct answer is \(2\). The value \(4\) would result from using exponent \(2\), but here \(n-1=3\). Exam tip: after substituting the term number, check the exponent \(n-1\) separately.
पद (2,6,18,54,162,486) हैं, इसलिए (486) छठा पद है। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The terms are (2,6,18,54,162,486), so (486) is the sixth term. Form terms in order to find the position.
\(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\) में \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\), \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पद (128,64,32,16,8,4) होंगे। घटती श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the terms are (128,64,32,16,8,4). In a decreasing progression multiply by the ratio repeatedly.
सार्व अनुपात (2) है और पद \(\frac{3}{4},\frac{3}{2},3,6,12,24\) हैं। क्रम से गुणा करते जाएं। / The common ratio is (2), and the terms are \(\frac{3}{4},\frac{3}{2},3,6,12,24\). Keep multiplying in order.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(162=2r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। पद-संख्या का अंतर घात तय करता है। / \(a_5=a_1r^4\), so \(162=2r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). The position gap decides the exponent.
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(21=a_1\times 3\), इसलिए \(a_1=21\div 3=7\)। विकल्प 9 लेने पर दूसरा पद \(9\times 3=27\) आता है, जो दिया गया नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद पर जाने के लिए दिए गए पद को सामान्य अनुपात से भाग दें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(21=a_1\times 3\), so \(a_1=21\div 3=7\). If 9 were the first term, the second term would be \(9\times 3=27\), not 21. Exam tip: To move back one term in a GP, divide by the common ratio.
पहले 4 पद 6, 18, 54 और 162 हैं। अतः उनका योग \(6+18+54+162=240\) होगा। इसलिए सही उत्तर 240 है। 230 प्राप्त करने पर किसी पद को गलत जोड़ने या छोड़ने की संभावना है। परीक्षा टिप: कम पदों वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में सीधे पदों को जोड़कर योग शीघ्र जाँचा जा सकता है। / The first four terms are 6, 18, 54, and 162. Their sum is \(6+18+54+162=240\). Hence, 240 is correct. A value such as 230 would result from an addition error or from omitting part of a term. Exam tip: for a GP with only a few terms, direct addition is often the quickest way to verify the sum.
