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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहला पद (7) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=7\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (7) and the ratio is (4) so \(a_n=7\cdot4^{n-1}\). In exams match both the first term and the ratio.
दिया है \(a_n=6\cdot2^{n-1}\)। \(n=1\) पर \(a_1=6\cdot2^0=6\), \(n=2\) पर \(a_2=6\cdot2^1=12\), और \(n=3\) पर \(a_3=6\cdot2^2=24\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((6, 12, 24)\) हैं। विकल्प B में प्रारम्भिक गुणांक 6 छूट गया है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर जाँच करें। / Given \(a_n=6\cdot2^{n-1}\), for \(n=1\), \(a_1=6\cdot2^0=6\); for \(n=2\), \(a_2=6\cdot2^1=12\); and for \(n=3\), \(a_3=6\cdot2^2=24\). Therefore, the first three terms are \((6, 12, 24)\). Option B misses the initial coefficient 6. Exam tip: always substitute \(n=1\) first to check the first term.
पद (5,15,45,135,405) हैं इसलिए (405) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (5,15,45,135,405) so (405) is the fifth term. In exams list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(18\times\frac{1}{2}=9\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(18\times\frac{1}{2}=9\). In exams simplify fractions.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर एक ही अनुपात मिलता है। विकल्प A में \(6/3=12/6=24/12=2\) है, इसलिए यह GP है। विकल्प B में अंतर समान है, अनुपात नहीं। परीक्षा में लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term remains constant. In option A, \(6/3=12/6=24/12=2\), so it is a GP. Option B has a constant difference, not a ratio. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
सामान्य अनुपात \(r=45\div15=3\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=45\div15=3\). In exams divide the second term by the first term for (r).
C. लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(5\div2=\frac{5}{2}\) और \(10\div5=2\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(5\div2=\frac{5}{2}\) and \(10\div5=2\) are not equal. In exams equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(54\times\frac{1}{3}=18\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(54\times\frac{1}{3}=18\). In exams multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (8) और अनुपात (5) है इसलिए \(a_n=8\cdot5^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term is (8) and the ratio is (5) so \(a_n=8\cdot5^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=6^n\) है। अतः \(n=2\) रखने पर \(a_2=6^2=36\) प्राप्त होता है। \(216\), \(6^3\) का मान है, इसलिए वह \(a_3\) होगा, \(a_2\) नहीं। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले दिए गए सूचकांक के स्थान पर \(n\) का मान रखें। / The nth term is \(a_n=6^n\). Substituting \(n=2\), we get \(a_2=6^2=36\). Note that \(216=6^3\), so it is \(a_3\), not \(a_2\). Exam tip: first substitute the required term number for \(n\) before evaluating the power.
पहला पद (5) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=5\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (5) and the ratio is (4) so \(a_n=5\cdot4^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
(54) और (162) का अनुपात (3) है इसलिए रिक्त पद \(54\div3=18\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (54) and (162) is (3) so the missing term is \(54\div3=18\). In exams apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (3) है इसलिए पाँचवाँ पद \(108\times3=324\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3) so the fifth term is \(108\times3=324\). In exams multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(16\times\frac{1}{2}=8\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\) so the next term is \(16\times\frac{1}{2}=8\). In exams identify fractional ratios in decreasing sequences.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (12) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (12). In exams take the first term (a) directly from the sequence.
C. क्रमागत पदों के अनुपात समान नहीं हैं/Ratios of consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद और उसके ठीक पहले वाले पद का अनुपात स्थिर होना चाहिए। यहाँ \(6\div2=3\), लेकिन \(12\div6=2\) और \(20\div12=\frac{5}{3}\) हैं। अनुपात अलग-अलग हैं, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है। पदों का बढ़ना या सम होना गुणोत्तर श्रेणी होने की शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों के अनुपात निकालकर उनकी समानता जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term must remain constant. Here, \(6\div2=3\), but \(12\div6=2\) and \(20\div12=\frac{5}{3}\). Since these ratios differ, the sequence is not a geometric progression. Increasing terms or even terms do not make a sequence a GP. Exam tip: calculate ratios of consecutive terms and check whether they are equal.
A. हाँ सामान्य अनुपात (5) है/Yes common ratio is (5)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (5) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (5). In exams check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(81\div243=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(81\div243=\frac{1}{3}\). In exams a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(7\times4=28\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(7\times4=28\). In exams multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (4) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(256\times4=1024\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (4) so the next term is \(256\times4=1024\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(18\div6=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(18\div6=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहले चार पदों का योग (15+30+60+120=225) है और औसत \(\frac{225}{4}\) है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। औसत के प्रश्न में पहले योग निकालें। / The sum of the first four terms is (15+30+60+120=225), and the average is \(\frac{225}{4}\), so none of the given options is correct. In average questions, first find the sum.
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार तीन पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) होता है। अतः \(x^2=5\times45=225\), इसलिए \(x=\pm15\)। चूँकि श्रेणी धनात्मक है, इसलिए \(x=15\) होगा। \(x=25\) जैसे विकल्प में \(25/5\) और \(45/25\) बराबर नहीं हैं, इसलिए वह गुणोत्तर श्रेणी नहीं बनाता। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों में मध्य पद का वर्ग, दोनों बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For three consecutive terms \(a,b,c\) of a geometric progression, \(b^2=ac\). Thus, \(x^2=5\times45=225\), giving \(x=\pm15\). Since the progression is positive, \(x=15\). For example, with \(x=25\), \(25/5\) and \(45/25\) are not equal, so the terms do not form a GP. Exam tip: for three consecutive GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
पहले चार पद (24,12,6,3) हैं और योग (45) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (24,12,6,3), and the sum is (45). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=12\) और चौथा पद \(a_4=108\) है। अतः \(a_2+a_4=12+108=120\)। विकल्प 112, \(a_1+a_4=4+108\) लेने पर मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती हमेशा पहले पद से \(a_1\) मानकर करें। / In the given GP, the second term is \(a_2=12\) and the fourth term is \(a_4=108\). Therefore, \(a_2+a_4=12+108=120\). The value 112 comes from adding \(a_1+a_4=4+108\), so it is not correct here. Exam tip: count terms by taking the first term as \(a_1\).
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। अतः \(a_n=2\times4^{n-1}\)। \(2\times4^{n-1}=512\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। \(n=4\) पर पद 128 होता है, 512 नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 4. Hence, \(a_n=2\times4^{n-1}\). From \(2\times4^{n-1}=512\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Therefore, \(n-1=4\), so \(n=5\). At \(n=4\), the term is 128, not 512. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the position of a term in a GP.
B. यह \(r=\frac{1}{3}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी है/It is a geometric progression with \(r=\frac{1}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(r=\frac{1}{3}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is \(\frac{1}{3}\) of the previous term, so \(r=\frac{1}{3}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(75=3r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(75=3r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
सार्व अनुपात (4) है, इसलिए \(a_5=4\cdot4^4=1024\)। (5)वें पद के लिए (4) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (4), so \(a_5=4\cdot4^4=1024\). For the fifth term the ratio is used (4) times.
