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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
सार्व अनुपात \(\frac{25}{125}=\frac{1}{5}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{25}{125}=\frac{1}{5}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
गुणोत्तर श्रेणी का तीसरा पद \(a_3=a_1r^{3-1}\) होता है। अतः \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\)। 72 तब मिलता यदि अनुपात को केवल एक बार लगाया जाता, जो दूसरा पद देता है। परीक्षा टिप: GP में \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=a_1r^{n-1}\) लिखें। / The third term of a GP is \(a_3=a_1r^{3-1}\). Therefore, \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\). The value 72 would result from applying the ratio only once, which gives the second term. Exam tip: use \(a_n=a_1r^{n-1}\) to find the \(n\)th term of a GP.
तीसरा पद \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\) है। परीक्षा में अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The third term is \(a_3=a_2\times r=15\times3=45\). In exams multiply the previous term by the ratio to get the next term.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(T_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः छठा पद \(T_6=12\times2^{6-1}=12\times2^5=12\times32=384\) होगा। \(288\) प्राप्त करने के लिए घात या गुणन में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: छठे पद के लिए घात \(6-1=5\) अवश्य लें। / The nth term of a geometric progression is \(T_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(T_6=12\times2^{6-1}=12\times2^5=12\times32=384\). The value \(288\) can result from an error in evaluating the power or multiplication. Exam tip: for the sixth term, always use the exponent \(6-1=5\).
पहला पद (8) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and each term is multiplied by (3). In exams match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (3) है इसलिए पाँचवाँ पद \(486\times3=1458\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3) so the fifth term is \(486\times3=1458\). In exams multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(10\times90=900\) है इसलिए धनात्मक (x=30) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(10\times90=900\) so the positive (x=30). In exams for three GP terms the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (60) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (60) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
दिया है \(a_n=2\cdot5^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2\cdot5^{4-1}=2\cdot5^3=2\cdot125=250\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D में \(5^3\) को सही लेने पर भी 2 से गुणा करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=2\cdot5^{n-1}\), substitute \(n=4\): \(a_4=2\cdot5^{4-1}=2\cdot5^3=2\cdot125=250\). Hence, option C is correct. Option D can result from an error in multiplying after evaluating \(5^3\). Exam tip: substitute the term number first, and then evaluate the exponent carefully.
यह \(3\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(3\cdot2^9=1536\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(3\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(3\cdot2^9=1536\). In exams identify powers to solve quickly.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_3=7\times5^{3-1}=7\times25=175\) होगा। 35 केवल दूसरा पद है, क्योंकि \(a_2=7\times5\) होता है। परीक्षा टिप: तीसरे पद के लिए सामान्य पद के सूत्र में \(r^2\) लगाएँ। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_3=7\times5^{3-1}=7\times25=175\). The value 35 is only the second term, since \(a_2=7\times5\). Exam tip: for the third term, use \(r^2\) in the general-term formula.
A. प्रत्येक पद पिछले पद को एक ही नियत संख्या से गुणा करके प्राप्त होता है/Each term is obtained by multiplying the preceding term by the same fixed number.
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद का नियत गुणज होता है; यही नियत संख्या सामान्य अनुपात है। जाँच के लिए दो क्रमागत अनुपात मिलाइए। समान अंतर वाला विकल्प समांतर श्रेणी का गुण है। / In a GP, every term is a fixed multiple of the preceding term; this fixed number is the common ratio. Compare two successive ratios to check it. Equal differences describe an arithmetic progression, not a GP.
सूत्र \(a_n=9\cdot3^{n-1}\) में (3) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=9\cdot3^{n-1}\) the common ratio is (3). In exams identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(100) और (500) का अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(100\div5=20\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (100) and (500) is (5) so the missing term is \(100\div5=20\). In exams apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (17) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1) all terms remain (17). In exams (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं इसलिए अनुपात \(11\div11=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal so the ratio is \(11\div11=1\). In exams a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(5z\div z=5\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(5z\div z=5\). In exams divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(30\times\frac{1}{2}=15\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(30\times\frac{1}{2}=15\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (2) है इसलिए अगला पद \(104\times2=208\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2) so the next term is \(104\times2=208\). In exams multiply the last known term by the ratio.
सामान्य अनुपात \(a_2\div a_1=48\div12=4\) है। परीक्षा में दो लगातार पदों का अनुपात लें। / The common ratio is \(a_2\div a_1=48\div12=4\). In exams take the ratio of two consecutive terms.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 6, 18, 54, 162, 486। अतः 486 पाँचवाँ पद है। छठा पद 1458 होगा, इसलिए छठा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति 1 से गिनें। / This is a geometric sequence in which each term is 3 times the preceding term: 6, 18, 54, 162, 486. Therefore, 486 is the fifth term. The sixth term would be 1458, so the sixth-term option is incorrect. Exam tip: Write the terms in order and count their positions starting from 1.
B. क्रमागत पदों का अनुपात समान रहता है/The ratio of consecutive terms remains the same
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद को एक नियत संख्या से गुणा करके मिलता है, इसलिए क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है। जैसे 2, 6, 18 में 6/2 = 18/6 = 3। समान अंतर होना समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by a fixed number, so consecutive-term ratios are equal. For 2, 6, 18, 6/2 = 18/6 = 3. Equal differences identify an arithmetic progression. In exams, check ratios first.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=3\)। सार्व अनुपात \(r\) किसी पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग देकर मिलता है: \(r=\frac{18}{3}=6\)। जाँच करें: \(18\times6=108\) और \(108\times6=648\)। इसलिए सही उत्तर \(a=3,\ r=6\) है। विकल्प D में \(r\) सही है, लेकिन 18 पहला पद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद को \(a\) और लगातार दो पदों के भागफल को \(r\) मानें। / In a geometric progression, the first term is \(a\), so \(a=3\). The common ratio \(r\) is found by dividing a term by the preceding term: \(r=\frac{18}{3}=6\). Checking, \(18\times6=108\) and \(108\times6=648\). Hence, \(a=3,\ r=6\). In option D, the ratio is correct, but 18 is not the first term. Exam tip: identify the first term as \(a\), then divide consecutive terms to find \(r\).
\(a_5=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=4\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_5=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=4\). In exams keep the exponent \(n-1\) correct.
पहला पद (100) और अनुपात \(\frac{1}{5}) है इसलिए \(a_n=100\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ।\) / The first term is (100) and the ratio is \(\frac{1}{5}\) so \(a_n=100\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\). In exams use the fractional ratio in a decreasing sequence.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद a होता है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात r से गुणा करके मिलता है। यहाँ a = 4 तथा r = 7 है: 4, 4×7 = 28, 28×7 = 196, 196×7 = 1372। अतः सही क्रम (4, 28, 196, 1372) है। विकल्प A में 7 को दूसरा पद मान लिया गया है, जबकि 7 सार्व अनुपात है। परीक्षा टिप: पहले पद को a लिखें, फिर प्रत्येक पद को r से गुणा करें। / In a geometric progression, the first term is a, and each successive term is found by multiplying the preceding term by the common ratio r. Here, a = 4 and r = 7: 4, 4×7 = 28, 28×7 = 196, and 196×7 = 1372. Therefore, (4, 28, 196, 1372) is correct. Option A incorrectly treats 7 as the second term; it is the common ratio. Exam tip: write a first, then multiply each term by r.
A. हाँ सामान्य अनुपात (3) है/Yes common ratio is (3)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (3) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (3). In exams if equal ratio appears treat it as a geometric progression.
चौथे पद (128) के बाद पाँचवाँ (512) और छठा (2048) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / After the fourth term (128) the fifth is (512) and the sixth is (2048). In exams include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(24\div72=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(24\div72=\frac{1}{3}\). In exams write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(100\times5=500\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5) so the missing term is \(100\times5=500\). In exams continue the same ratio.
