What is the general term of the geometric progression (2,8,32,128,\ldots)?गुणोत्तर श्रेणी (2,8,32,128,\ldots) का सामान्य पद क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (a_n=2\cdot4^{n-1})(a_n=2\cdot4^{n-1})
The direct answer is A: \\(a_n=2\cdot4^{n-1}\\). For a geometric progression, the general term is \\(a_n=ar^{n-1}\\), where \\(a\\) is the first term and \\(r\\) is the common ratio. Here the first term is 2, and the ratios are \\(8/2=4\\), \\(32/8=4\\), and \\(128/32=4\\). Thus \\(a=2\\) and \\(r=4\\), giving \\(a_n=2\cdot4^{n-1}\\). A is correct. B, \\(4n-2\\), is a linear expression; it gives 2 for \\(n=1\\) but gives 6 for \\(n=2\\), not 8. C, \\(2^n\\), gives 2, 4, 8, not the given sequence. D, \\(8n\\), gives 8 for the first term, not 2. The exponent starts at \\(n-1\\) so that the first term has factor \\(4^0=1\\). Exam cue: identify first term and common ratio before applying the GP formula.सीधा उत्तर A है: \\(a_n=2\cdot4^{n-1}\\)। गुणोत्तर श्रेणी के सामान्य पद का सूत्र \\(a_n=ar^{n-1}\\) है, जहाँ \\(a\\) पहला पद और \\(r\\) सार्व अनुपात है। यहाँ पहला पद 2 है और अनुपात \\(8/2=4\\), \\(32/8=4\\), तथा \\(128/32=4\\) है। इसलिए \\(a=2\\), \\(r=4\\), और \\(a_n=2\cdot4^{n-1}\\)। A सही है। B, \\(4n-2\\), रैखिक व्यंजक है; \\(n=1\\) पर 2 देता है, लेकिन \\(n=2\\) पर 6 देता है, 8 नहीं। C, \\(2^n\\), से 2, 4, 8 मिलते हैं, दी गई श्रेणी नहीं। D, \\(8n\\), पहले पद के लिए 8 देता है, 2 नहीं। घात \\(n-1\\) इसलिए है कि पहले पद पर \\(4^0=1\\) रहे। परीक्षा संकेत: पहले पद और सार्व अनुपात पहचानकर GP का सूत्र लगाएँ।
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