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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(\frac{486}{18}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=18\div3=6\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{486}{18}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=18\div3=6\). In exams find (r) first and then \(a_1\).
पद (81,27,9,3,1) हैं और योग (121) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (81,27,9,3,1) and the sum is (121). In exams direct addition is also easy for small decreasing terms.
A. यह गुणोत्तर श्रेणी है/It is a geometric progression
Explanation
Simple Explanation
शर्त को \(a_{n-1}a_n\) से भाग देने पर \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) मिलता है। अतः क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। परीक्षा में शून्येतर पदों की शर्त अवश्य जाँचें। / Dividing the condition by \(a_{n-1}a_n\) gives \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Thus, consecutive terms have a constant ratio, so it is a GP. Exam tip: check the non-zero condition before dividing.
गुणोत्तर श्रेणी में \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\) होता है। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(x+z=2y\) गुणोत्तर नहीं, समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में बीच वाले पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, \(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\). Cross-multiplying gives \(y^2=xz\), so option A is correct. \(x+z=2y\) is the condition for an AP, not a GP. Exam tip: square the middle term and compare it with the product of the extremes.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4096\) केवल \(4\times 2^{10}\) है; इसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर GP के योग के सूत्र में \(r-1\) से भाग देना न भूलें। / For this GP, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\). Hence, option A is correct. \(4096\) is only \(4\times2^{10}\); it misses the \(-1\) part of the sum formula. Exam tip: when \(r\ne1\), do not forget the denominator \(r-1\) in the GP sum formula.
\(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\) इसलिए \(n=4\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\), so \(n=4\). In exams simplify fractions first.
\(a_5=648\) और \(a_6=1944\) नहीं बल्कि \(a_5=648\) तथा \(a_6=1944\) का योग (2592) होता है। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_5=648\) and \(a_6=1944\), so their sum is (2592). None of the given options is correct.
ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है, जब \(r\ne1\)। यहाँ \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\) है। अतः दिया गया कथन सही है। 120, 180 और 300 इस श्रेणी के चार पदों के योग नहीं हैं। परीक्षा टिप: योग निकालते समय \(r^n\) में n के स्थान पर पदों की संख्या अवश्य रखें। / For a geometric progression, the sum of the first n terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(r\ne1\). Here, \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\). Therefore, the given statement is true. The values 120, 180, and 300 are not the sum of the first four terms of this GP. Exam tip: while finding a sum, use the number of terms as the exponent in \(r^n\).
\(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\) इसलिए \(n=8\) है। परीक्षा में आधा करते हुए पद गिनें। / From \(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\), so \(n=8\). In exams count terms while halving.
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं इसलिए \(a_9=80\cdot2^5=2560\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=80\cdot2^5=2560\). In exams count the position gap.
यहाँ प्रथम पद \(a=3\), सार्व अनुपात \(r=5\) और पदों की संख्या \(n=5\) है। अतः \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\)। इसलिए सही उत्तर 2343 है। विकल्प 2340 जैसी संख्या जोड़ में होने वाली छोटी गणना-त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही योग का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=3\), the common ratio is \(r=5\), and \(n=5\). Therefore, \(S_5=\frac{a(r^5-1)}{r-1}=\frac{3(5^5-1)}{5-1}=2343\). Hence, 2343 is correct. A value such as 2340 can result from a minor arithmetic error while adding or applying the formula. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before using the GP sum formula.
एक संयंत्र में पहले दिन 160 इकाइयों का उत्पादन होता है और प्रत्येक अगले दिन उत्पादन पिछले दिन का \(\frac{3}{2}\) गुना हो जाता है। एक विद्यार्थी ने पहले चार दिनों का कुल उत्पादन 1120 बताया, क्योंकि उसने प्रतिदिन 160 इकाइयाँ जोड़ दीं। सही निष्कर्ष कौन-सा है?
C. विद्यार्थी ने गुणोत्तर श्रेणी को समांतर श्रेणी समझ लिया; सही कुल उत्पादन 1300 इकाइयाँ है।/The student treated a geometric progression as an arithmetic progression; the correct total production is 1300 units.
Explanation
Simple Explanation
उत्पादन क्रमशः 160, 240, 360 और 540 है; इसलिए योग \(160+240+360+540=1300\) है। 1120 में 160 का स्थिर अंतर माना गया है, जो AP की गलती है। परीक्षा में पहले समान अनुपात जाँचें। / The outputs are 160, 240, 360 and 540, so \(160+240+360+540=1300\). The total 1120 assumes a fixed increase of 160, which is arithmetic progression reasoning. Exam tip: verify the common ratio first.
\(6\cdot4^{n-1}=6144\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot4^{n-1}=6144\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams equate powers to find the term number.
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: \(2+8+32+128=170\)। अतः सही उत्तर 170 है। 168 सही नहीं है, क्योंकि दिए गए चारों पदों को जोड़ने पर योग 170 आता है। परीक्षा में कम पद हों तो सीधे जोड़कर उत्तर जाँचना तेज और सुरक्षित रहता है। / Here, \(S_4\) is the sum of the first four terms: \(2+8+32+128=170\). Therefore, the correct answer is 170. Option 168 is incorrect because the sum of all four given terms is 170. Exam tip: when only a few terms are given, direct addition is often the quickest and safest method.
\(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए \(n=6\) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(1\cdot4^{n-1}=1024=4^5\), so \(n=6\). In exams equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot2^4=16x=80\) है इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot2^4=16x=80\), so (x=5). In exams put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{384}{48}=8=r^3\) से (r=2) और \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{384}{48}=8=r^3\), so (r=2) and \(a_1=\frac{48}{2^2}=12\). In exams find (r) first and then the first term.
यहाँ प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\)। इसलिए सही उत्तर 4372 है। 4374 जैसा उत्तर सामान्यतः \(3^7-1\) या विभाजन में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / Here, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\). Hence, 4372 is correct. An answer such as 4374 can result from a small error while evaluating \(3^7-1\) or dividing. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before substituting in the formula.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(192=3r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^6\), 192 नहीं होता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / For a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Hence, \(192=3r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^6\) is not 192. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
\(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\) से \(3^{6-(n-1)}=1\) इसलिए \(n=7\) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From \(729\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=1\), \(3^{6-(n-1)}=1\), so \(n=7\). In exams count decreasing powers carefully.
\(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\) इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (3) हो तो \(r^3\) बनेगा। / \(\frac{a_5}{a_2}=r^3=\frac{324}{12}=27\), so (r=3). In exams a gap of (3) positions gives \(r^3\).
\(2\cdot5^{n-1}=1250\) से \(5^{n-1}=625=5^4\) इसलिए (n=5) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(2\cdot5^{n-1}=1250\), \(5^{n-1}=625=5^4\) so (n=5). In exams compare powers to find the term number.
यहाँ (a=7) और (r=2) है इसलिए (S_6=7\(2^6-1\)=441) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=7) and (r=2), so (S_6=7\(2^6-1\)=441). In exams identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (3) है और (r=3) इसलिए अनुपात \(3^3=27\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (3) and (r=3), so the ratio is \(3^3=27\). In exams use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
GP में क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है: \(q/p=r/q\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(q^2=pr\) मिलता है। \(2q=p+r\) AP की शर्त है। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal: \(q/p=r/q\). Cross-multiplying gives \(q^2=pr\). The condition \(2q=p+r\) belongs to an AP. Exam tip: square the middle term to test three terms.
\(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\), so (r=2). In exams the ratio of distant terms gives a power based on position gap.
\(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_7=\frac{3^7-1}{3-1}=1093\). In exams the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_5=242\)/True because \(S_5=242\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242) है इसलिए कथन सही है। परीक्षा में सूत्र लगाकर कथन की जाँच करें। / (S_5=2\(3^5-1\)/(3-1)=242), so the statement is true. In exams verify statements by using the formula.
\(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_7=96\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{3}{2}\). In exams apply powers of fractional ratios carefully.
\(3\cdot4^{n-1}=3072\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\) इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(3\cdot4^{n-1}=3072\), \(4^{n-1}=1024=4^5\) so (n=6). In exams equate powers to find (n).
