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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद
a_n=ar^{n-1} होता है। अतः
_6=4r-5=972, इसलिए r-5=243=35। चूँकि r धनात्मक है, इसलिए r=3। विकल्प 2 लेने पर छठा पद 128 होगा, 972 नहीं। परीक्षा टिप: छठे पद में घात r-5 होती है, r-6 नहीं। / The nth term of a GP is
a_n=ar^{n-1}. Thus,
_6=4r-5=972, so r-5=243=35. Since r is positive, r=3. If r=2, the sixth term would be 128, not 972. Exam tip: for the sixth term, the exponent of r is 5, not 6.
पहला पद (81) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है इसलिए सही नियम \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (81) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams write the fractional ratio in a decreasing GP.
गुणोत्तर श्रेणी में \(y=xr\) और \(z=yr=xr^2\) होते हैं। इसलिए \(y^2=(xr)^2=xz\)। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में बीच के पद का वर्ग लिखकर जाँच करें। / In a GP, \(y=xr\) and \(z=yr=xr^2\). Hence \(y^2=(xr)^2=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an AP, not necessarily to a GP. Exam tip: square the middle term to test three terms.
B. क्रमागत पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं/The signs of consecutive terms alternate
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। ऋणात्मक अनुपात से गुणा करने पर चिह्न बदलता है; जैसे 3, −6, 12, −24। परीक्षा में अनुपात के चिह्न को अवश्य देखें। / In a GP, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Multiplication by a negative ratio reverses the sign, as in 3, −6, 12, −24. Exam tip: always check the sign of the ratio.
मध्य पद के लिए \(x^2=8\cdot72=576\) इसलिए (x=24) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term \(x^2=8\cdot72=576\), so (x=24). In exams the square of the middle GP term equals the product of outer terms.
पहले (6) पदों का योग (2\(3^6-1\)/(3-1)=728) है। परीक्षा में (r>1) के लिए (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) लगाएँ। / The sum of the first (6) terms is (2\(3^6-1\)/(3-1)=728). In exams use (S_n=\frac{a\(r^n-1\)}{r-1}) for (r>1).
पहला पद (10) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=10\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (10) and the ratio is (3) so \(a_n=10\cdot3^{n-1}\). In exams keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(486=6r^4\), इसलिए \(r^4=81\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। उदाहरण के लिए, \(r=2\) लेने पर पाँचवाँ पद \(6\times2^4=96\) आता है, जो 486 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(4\) होती है, क्योंकि घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(486=6r^4\), so \(r^4=81\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=3\). For example, if \(r=2\), the fifth term would be \(6\times2^4=96\), not 486. Exam tip: for the fifth term, the power of \(r\) is \(4\), because the exponent is always \(n-1\).
\(4\cdot3^{n-1}=2916\) से \(3^{n-1}=729=3^6\) इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पहले दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From \(4\cdot3^{n-1}=2916\), \(3^{n-1}=729=3^6\) so (n=7). In exams first equate the given term to \(a_n\).
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\) so \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\). In exams use the fractional ratio in decreasing progressions.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद
\(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(7290\) सही नहीं है क्योंकि यह \(5\times3^7\) का मान नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, इसलिए आठवें पद के लिए \(r^7\) लें। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Hence, \(a_8=5\times3^{8-1}=5\times3^7=5\times2187=10935\). Therefore, option C is correct. \(7290\) is not correct because it is not the value of \(5\times3^7\). Exam tip: the exponent of the common ratio in the nth term is always \(n-1\); for the eighth term, use \(r^7\).
यहाँ \(a=3\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=3\) and \(r=2\) so \(a_{12}=3\cdot2^{11}=6144\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
दिया है \(a_n=7\cdot2^{n-1}\)। अतः \(a_4=7\cdot2^3=56\) और \(a_5=7\cdot2^4=112\)। इसलिए \(a_4+a_5=56+112=168\)। विकल्प 112 केवल \(a_5\) का मान है, योग नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान सही ढंग से सूत्र में रखें। / Given \(a_n=7\cdot2^{n-1}\), \(a_4=7\cdot2^3=56\) and \(a_5=7\cdot2^4=112\). Therefore, \(a_4+a_5=56+112=168\). Option 112 is only the value of \(a_5\), not the required sum. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in the formula for each term.
सार्व अनुपात \(-\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\) होगा। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is \(-\frac{1}{2}\), so the next term is \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\). With a negative ratio the signs alternate.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है: \(x^2=12\times75=900\)। अतः \(x=\pm30\), पर श्रेढ़ी धनात्मक है, इसलिए \(x=30\)। \(45\) लेने पर दोनों क्रमागत अनुपात समान नहीं होंगे। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए तुरंत \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms: \(x^2=12\times75=900\). Thus \(x=\pm30\), but the progression is positive, so \(x=30\). If \(45\) is used, the two consecutive ratios are not equal. Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
\(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
पहले चार पद (32,16,8,4) हैं और योग (60) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (32,16,8,4), and the sum is (60). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=18\) और चौथा पद \(a_4=162\) है। अतः \(a_2+a_4=18+162=180\)। इसलिए सही विकल्प B है। 184 जैसा विकल्प पदों को गलत पहचानने या जोड़ में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पद का क्रम गिनते समय प्रथम पद को \(a_1\) मानें। / In the given geometric progression, the second term is \(a_2=18\) and the fourth term is \(a_4=162\). Therefore, \(a_2+a_4=18+162=180\). Hence, option B is correct. A value such as 184 can result from identifying a term incorrectly or making an addition error. Exam tip: always count the first term as \(a_1\).
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(a_n=3\times4^{n-1}\)। \(3\times4^{n-1}=768\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि चौथा पद \(192\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=ar^{n-1}\) सूत्र लगाकर पद की स्थिति ज्ञात करें। / This is a geometric progression with first term \(a=3\) and common ratio \(r=4\). Therefore, \(a_n=3\times4^{n-1}\). From \(3\times4^{n-1}=768\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). Option 4 is incorrect because the fourth term is \(192\). Exam tip: Use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the position of a term in a GP.
B. यह \(r=\frac{1}{2}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी है/It is a geometric progression with \(r=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का आधा है, इसलिए \(r=\frac{1}{2}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is half of the previous term, so \(r=\frac{1}{2}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(150=6r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(150=6r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए \(a_4=5\cdot5^3=625\)। (4)वें पद के लिए (3) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (5), so \(a_4=5\cdot5^3=625\). For the fourth term the ratio is used (3) times.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(320=40r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(320=40r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
पहला पद (13) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=13\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (13) and the ratio is (3), so \(a_n=13\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
गुणोत्तर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=16\times81=1296\)। इसलिए \(x=\pm36\), लेकिन श्रेणी धनात्मक है, इसलिए \(x=36\)। उदाहरण के लिए, 16, 36, 81 का सार्व अनुपात \(\frac{9}{4}\) है। 32 मध्य पद नहीं हो सकता, क्योंकि \(32^2\neq16\times81\)। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए तुरंत \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=16\times81=1296\). Hence \(x=\pm36\), but the progression is positive, so \(x=36\). Indeed, 16, 36, 81 has common ratio \(\frac{9}{4}\). Option 32 cannot be the middle term because \(32^2\neq16\times81\). Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (5,-10,20,-40) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (5,-10,20,-40). A negative ratio makes the signs alternate.
पहले (6) पद (4,8,16,32,64,128) हैं और योग (252) है। पदों को क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (4,8,16,32,64,128), and their sum is (252). Write the terms in order and add.
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\)। \(\frac{7}{2}\) केवल दूसरा पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, the nth term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\). \(\frac{7}{2}\) is only the second term, so it is not correct. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
\(2,12,72,432,\ldots\) में हर बार (6) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,12,72,432,\ldots\), each term is multiplied by (6). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=6\) और सार्व अनुपात \(r=18/6=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\)। 729 प्राप्त करने पर घात या पद-संख्या की गणना में त्रुटि हुई होगी। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this GP, the first term is \(a=6\) and the common ratio is \(r=18/6=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\). Getting 729 usually results from using an incorrect power or term number. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
