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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पद (1,3,9,27,81,243,729,2187) हैं, इसलिए (1000) से छोटा सबसे बड़ा पद (729) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (1,3,9,27,81,243,729,2187), so the greatest term below (1000) is (729). In boundary questions, check the next term too.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=\frac{3}{2}\times4^{5-1}=\frac{3}{2}\times4^4=\frac{3}{2}\times256=384\)। इसलिए सही उत्तर 384 है। विकल्प 192 में \(4^4\) का सही मान लेने पर भी \(\frac{3}{2}\) से गुणा सही नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=\frac{3}{2}\times4^{5-1}=\frac{3}{2}\times4^4=\frac{3}{2}\times256=384\). Hence, 384 is correct. Option 192 results from an incorrect multiplication involving the first term \(\frac{3}{2}\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\), not \(n\).
\(2,10,50,250,\ldots\) में \(a_3=50\) और सार्व अनुपात (5) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(2,10,50,250,\ldots\), \(a_3=50\) and the common ratio is (5). Match both the position and the ratio.
\(x^2=2\cdot18=36\), इसलिए (x=6) और (r=3), अतः (y=54)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=2\cdot18=36\), so (x=6) and (r=3), hence (y=54). First use the middle term to find the ratio.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(405=15r^3\) और (r=3), अतः \(a_1=5\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_5=a_2r^3\), so \(405=15r^3\) and (r=3), hence \(a_1=5\). First find the ratio and then move backward.
दिया गया पद \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। अतः \(a_3=48\left(\frac{1}{2}\right)^2=12\) और \(a_5=48\left(\frac{1}{2}\right)^4=3\)। इसलिए \(a_3+a_5=12+3=15\)। विकल्प 18 तब मिलता है जब घात या पद-संख्या का गलत प्रयोग किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(n\) रखने के बाद घात \(n-1\) अवश्य लिखें। / Using \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_3=48\left(\frac{1}{2}\right)^2=12\) and \(a_5=48\left(\frac{1}{2}\right)^4=3\). Hence, \(a_3+a_5=12+3=15\). The option 18 can result from using an incorrect exponent or term number. Exam tip: after substituting \(n\), always use the exponent \(n-1\).
\(a_4=-243\) और \(a_6=-2187\), इसलिए योग (-2430) नहीं बल्कि (-2430) है। सही विकल्पों में (-2430) होना चाहिए। / \(a_4=-243\) and \(a_6=-2187\), so the sum is (-2430). The correct option should include (-2430).
(r=2) पर पद (2,4,8,16,32) हैं और योग (62) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=2), the terms are (2,4,8,16,32) and the sum is (62). For small options, forming the terms is quick.
\(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और चौथा पद \(\frac{3}{2}\) है। विकल्पों में पहला और चौथा पद दोनों जांचें। / In \(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fourth term is \(\frac{3}{2}\). Check both first and fourth terms in the options.
\(a_2=2a_1\) और \(a_3=4a_1\), इसलिए \(6a_1=30\) और \(a_1=5\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_3=4a_1\), so \(6a_1=30\) and \(a_1=5\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
पद (3,6,12,24,48,96,192) हैं, इसलिए (100) से छोटा सबसे बड़ा पद (96) है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The terms are (3,6,12,24,48,96,192), so the greatest term below (100) is (96). In boundary questions, check nearby terms.
मध्य पद के लिए ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), इससे (x=8) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग दोनों किनारों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), which gives (x=8). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(160=10r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=5\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_6=a_2r^4\), so \(160=10r^4\) and (r=2), hence \(a_1=5\). Divide by the ratio to move backward.
पद \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\) हैं, इसलिए यह सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\), so it is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
दिया है \(a_n=2\cdot3^{n-1}\)। अतः \(a_4=2\cdot3^3=54\) और \(a_6=2\cdot3^5=486\)। इसलिए \(a_4+a_6=54+486=540\)। विकल्प 486 केवल \(a_6\) का मान है, दोनों पदों का योग नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या को घात \(n-1\) में सावधानी से रखें। / Given \(a_n=2\cdot3^{n-1}\), \(a_4=2\cdot3^3=54\) and \(a_6=2\cdot3^5=486\). Hence, \(a_4+a_6=54+486=540\). Option 486 is only the value of \(a_6\), not the sum of both terms. Exam tip: substitute the term number carefully into the exponent \(n-1\).
\(6,18,54,162,486,\ldots\) में \(a_2=18\) और \(a_5=486\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(6,18,54,162,486,\ldots\), \(a_2=18\) and \(a_5=486\). Check each option up to the required positions.
\(a_6=a_3r^3\), इसलिए \(648=24r^3\) और (r=3), अतः \(a_4=72\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(a_6=a_3r^3\), so \(648=24r^3\) and (r=3), hence \(a_4=72\). First find the ratio and then form the next term.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(243=3r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(243=3r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). When positive ratio is asked, take the positive root.
गुणोत्तर श्रेणी के तीन लगातार पदों में मध्य पद का वर्ग, उसके दोनों पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=4\times100=400\)। इसलिए \(x=\pm20\), लेकिन श्रेणी धनात्मक दी गई है, इसलिए \(x=20\) होगा। \(40\) लेने पर समान अनुपात नहीं मिलता। परीक्षा टिप: लगातार तीन GP पद \(a,b,c\) हों, तो सीधे \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of its neighbouring terms. Thus, \(x^2=4\times100=400\). Hence \(x=\pm20\), but the progression is stated to be positive, so \(x=20\). Taking \(40\) does not give a common ratio. Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
सार्व अनुपात (-3) है और पद (5,-15,45,-135,405,-1215) हैं। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is (-3), and the terms are (5,-15,45,-135,405,-1215). With a negative ratio, signs alternate.
अनुक्रम 3, 6, 12, 24 में क्रमागत पदों के अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 हैं, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर बदलते हैं। परीक्षा टिप: GP पहचानने के लिए क्रमागत पदों के अनुपात बराबर जाँचें। / In 3, 6, 12, 24, the ratios of consecutive terms are 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2, so it is a geometric progression. In option B, the differences change. Exam tip: identify a GP by checking equal consecutive ratios.
गुणोत्तर श्रेणी में चौथे पद से सातवें पद तक 3 स्थानों का अंतर है, इसलिए \(a_7=a_4r^3\)। अतः \(1458=54r^3\), जिससे \(r^3=27\) और \(r=3\)। विकल्प 6 लेने पर \(54\times6^3\) 1458 नहीं होगा। परीक्षा टिप: दो पदों \(a_m\) और \(a_n\) के लिए \(a_n=a_mr^{n-m}\) का प्रयोग करें। / From the fourth term to the seventh term, the position gap is 3, so \(a_7=a_4r^3\). Thus, \(1458=54r^3\), giving \(r^3=27\) and hence \(r=3\). If the ratio were 6, then \(54\times6^3\) would not equal 1458. Exam tip: for two terms \(a_m\) and \(a_n\), use \(a_n=a_mr^{n-m}\).
(S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1) और \(3^n-1=242\) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1), and \(3^n-1=242\) gives (n=5). In exams simplify the sum and identify the power.
\(a_5=2\cdot4^4=512\) और \(a_6=2048\) इसलिए योग (2560) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=2\cdot4^4=512\) and \(a_6=2048\), so the sum is (2560). In exams calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{5}{27}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{5}{27}\). In exams fractional terms can also be checked in order.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद \(a_6=ar^5\) होता है। अतः \(224=7r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(7\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 224 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^5\). Thus, \(224=7r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(7\times3^5\) is obtained, not 224. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=9\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=12\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\)। विकल्प 36864, \(9\times4096\) है; उसमें \(-1\) करना छूट गया है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग के सूत्र में \(r^n-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=9\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=12\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{12}=\frac{9(2^{12}-1)}{2-1}=9(4096-1)=36855\). The option 36864 equals \(9\times4096\); it results from missing the \(-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), remember the \(r^n-1\) part of the sum formula.
गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत अनुपात समान होते हैं। \(q^2=pr\) से \(q/p=r/q\) और \(r^2=qs\) से \(r/q=s/r\) मिलता है; अतः सभी अनुपात बराबर हैं। परीक्षा में गैर-शून्य पद होने पर ही भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a GP, consecutive ratios are equal. From \(q^2=pr\), \(q/p=r/q\); from \(r^2=qs\), \(r/q=s/r\). Hence all ratios are equal. Exam tip: divide only after confirming that the terms are non-zero.
\(11\cdot2^{n-1}=1408\) से \(2^{n-1}=128=2^7\) इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(11\cdot2^{n-1}=1408\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams factor first and compare powers.
\(a_4=192\) और \(a_5=768\) इसलिए योग (960) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=192\) and \(a_5=768\), so the sum is (960). In exams find both terms separately and add.
