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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, इसलिए \(y/x=z/y\)। क्रॉस-गुणन करने पर \(y^2=xz\) मिलता है। \(x+z=2y\) समांतर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा में पदों का क्रम अवश्य देखें। / Consecutive GP terms have equal ratios, so \(y/x=z/y\). Cross-multiplication gives \(y^2=xz\). The relation \(x+z=2y\) belongs to an AP. Exam tip: always preserve the stated order of terms.
यहाँ \(a=7\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=7\) and \(r=2\), so \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(625=5r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=3125\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(625=5r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=3125\). First find the ratio and then form the next term.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही स्थिर अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में \(18/6=3\) और \(54/18=3\) है, इसलिए इसका सार्व अनुपात 3 है और यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प A में अनुपात 2 और \(5/2\) हैं, इसलिए वह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पद \(a,b,c\) हों तो जाँचें कि \(b/a=c/b\) है या नहीं। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the same constant ratio. In option B, \(18/6=3\) and \(54/18=3\), so the common ratio is 3 and the terms form a GP. In option A, the ratios are 2 and \(5/2\), so it is not a GP. Exam tip: for three terms \(a,b,c\), check whether \(b/a=c/b\).
\(x^2=16\cdot81=1296\), इसलिए धनात्मक (x=36)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=16\cdot81=1296\), so positive (x=36). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(a_1=\frac{14}{5}\) और \(a_3=70\), इसलिए योग \(\frac{364}{5}\) है। आगे और पीछे दोनों दिशा में अनुपात का उपयोग करें। / \(a_1=\frac{14}{5}\) and \(a_3=70\), so the sum is \(\frac{364}{5}\). Use the ratio both backward and forward.
(r=-3) है, इसलिए (a_7=1\cdot(-3)6=729)। सम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान धनात्मक होता है। / Here (r=-3), so (a_7=1\cdot(-3)6=729). An even power of a negative ratio gives a positive value.
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=8\left(\frac{3}{2}\right)^{4-1}=8\times\frac{27}{8}=27\)। विकल्प 36 तब मिल सकता है जब अनुपात की घात या गुणन को गलत किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=8\left(\frac{3}{2}\right)^{4-1}=8\times\frac{27}{8}=27\). Option 36 may result from using an incorrect power of the common ratio or multiplying incorrectly. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\), not \(n\).
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_3=11\times3^2=99\) तथा \(a_5=11\times3^4=891\)। इसलिए \(a_3+a_5=99+891=990\)। 1000 जैसे विकल्प गलत हैं क्योंकि वे पदों की घातों के अनुसार गणना से नहीं मिलते। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_3=11\times3^2=99\) and \(a_5=11\times3^4=891\). Hence, \(a_3+a_5=99+891=990\). Options such as 1000 do not follow from calculating the terms with the required powers of the common ratio. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
पहले (5) पद \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\) हैं और योग \(\frac{93}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\), and their sum is \(\frac{93}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ दूसरा अनुपात \(\frac{48}{12}=4\) है। अतः \(\frac{12}{x}=4\), जिससे \(x=3\) प्राप्त होता है। \(x=4\) लेने पर अनुपात \(3\) और \(4\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार गुणोत्तर पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) का उपयोग भी किया जा सकता है। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, \(\frac{48}{12}=4\). Therefore, \(\frac{12}{x}=4\), which gives \(x=3\). If \(x=4\), the two ratios would be \(3\) and \(4\), so the terms would not form a GP. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), you may also use \(b^2=ac\).
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=4\), और \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=4\), and \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=9r^3=72\), इसलिए \(r^3=8\) और धनात्मक \(r=2\) होगा। विकल्प 8, \(r^3\) का मान है, स्वयं \(r\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=9r^3=72\), so \(r^3=8\) and the positive value of \(r\) is 2. Option 8 is the value of \(r^3\), not of \(r\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
पहले चार पद (1,4,16,64) हैं और गुणनफल (4096) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (1,4,16,64), and their product is (4096). Multiply each term carefully in product questions.
B. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) सभी संगत \(n\) के लिए नियत है
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर समान अनुपात मिलता है, अर्थात \(a_{n+1}/a_n=r\)। विकल्प A समान अंतर वाली अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार दो अनुपातों की तुलना करें। / In a GP, dividing each term by its preceding term gives the same common ratio: \(a_{n+1}/a_n=r\). Option A describes an arithmetic progression with a constant difference. Exam tip: compare ratios of consecutive terms, not differences.
पद (2,10,50,250,1250,6250) हैं, इसलिए (6000) से छोटा सबसे बड़ा पद (1250) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (2,10,50,250,1250,6250), so the greatest term below (6000) is (1250). The next term crosses the limit.
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_m r^{n-m}\) होता है। इसलिए \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\)। ध्यान रखें कि \(a_4=6\) है, इसलिए 6 निकटतम distractor है; \(a_5\) के लिए तीन बार अनुपात से गुणा करना होगा। / For a geometric progression, \(a_n=a_m r^{n-m}\). Hence, \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\). Note that \(a_4=6\), so 6 is a close distractor; to reach \(a_5\) from \(a_2\), multiply by the common ratio three times.
B. \(r=\frac{1}{3}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{3}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{3}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
\(a_4=162\) और \(a_6=1458\), इसलिए अंतर (1296) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=162\) and \(a_6=1458\), so the difference is (1296). First find both terms using the correct powers.
((3x)2=x\cdot27), इसलिए \(9x^2=27x\) और धनात्मक (x=3)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((3x)2=x\cdot27), so \(9x^2=27x\) and positive (x=3). Do not take zero as a positive solution.
दिया है \(a_n=5\cdot2^{n-1}\) और \(a_n=320\)। अतः \(5\cdot2^{n-1}=320\), इसलिए \(2^{n-1}=64=2^6\)। घातें समान होने पर \(n-1=6\), अतः \(n=7\)। विकल्प 6 लेने पर पद \(5\cdot2^5=160\) होगा, 320 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर गुणांक से भाग देकर घात वाले पद को अलग करें। / Given \(a_n=5\cdot2^{n-1}\) and \(a_n=320\), we get \(5\cdot2^{n-1}=320\). Thus, \(2^{n-1}=64=2^6\). Equating exponents gives \(n-1=6\), so \(n=7\). If \(n=6\), the term would be \(5\cdot2^5=160\), not 320. Exam tip: first divide by the constant factor to isolate the exponential part.
D. निर्धारित नहीं किया जा सकता/Cannot be determined uniquely
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_4=a_2r^2\) होता है। अतः \(54=6r^2\), इसलिए \(r^2=9\) और \(r=3\) या \(r=-3\) हो सकता है। \(r=3\) पर \(a_1=2\), \(a_5=162\), इसलिए योग \(164\) है। लेकिन \(r=-3\) पर \(a_1=-2\), \(a_5=-162\), इसलिए योग \(-164\) है। इसलिए दिए गए तथ्यों से एक ही मान निर्धारित नहीं होता। परीक्षा टिप: \(r^2\) से \(r\) निकालते समय धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूलों की जाँच करें। / In a GP, \(a_4=a_2r^2\). Thus, \(54=6r^2\), so \(r^2=9\) and \(r\) can be \(3\) or \(-3\). For \(r=3\), \(a_1=2\) and \(a_5=162\), giving \(164\). However, for \(r=-3\), \(a_1=-2\) and \(a_5=-162\), giving \(-164\). Therefore, the information given does not determine a unique value. Exam tip: when finding \(r\) from \(r^2\), check both positive and negative roots.
\(32,-16,8,-4,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{2}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(32,-16,8,-4,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{2}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
ज्यामितीय श्रेणी में \(a_7=a_3r^{7-3}=a_3r^4\)। अतः \(3645=45r^4\), इसलिए \(r^4=81\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=3\) होगा। \(r=-3\) भी \(r^4=81\) को संतुष्ट करता है, लेकिन धनात्मक होने की शर्त के कारण वह स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: दो पदों के बीच घात हमेशा उनके पदांक का अंतर होती है। / In a geometric progression, \(a_7=a_3r^{7-3}=a_3r^4\). Thus, \(3645=45r^4\), giving \(r^4=81\). Since \(r\) is positive, \(r=3\). Although \(r=-3\) also satisfies \(r^4=81\), it is excluded by the given positive condition. Exam tip: the exponent of the common ratio equals the difference between the term numbers.
पद (4,-8,16,-32,64) हैं और योग (44) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (4,-8,16,-32,64), and their sum is (44). Add signs carefully with a negative ratio.
दिया है \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)। अतः \(a_2=81\left(\frac{1}{3}\right)^1=27\) तथा \(a_5=81\left(\frac{1}{3}\right)^4=1\)। इसलिए \(a_2+a_5=27+1=28\)। विकल्प 30 तब मिल सकता है जब \(a_5\) को गलती से 3 लिया जाए। परीक्षा टिप: पद का क्रमांक डालते समय घात \(n-1\) अवश्य लिखें। / Given \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), \(a_2=81\left(\frac{1}{3}\right)^1=27\) and \(a_5=81\left(\frac{1}{3}\right)^4=1\). Hence, \(a_2+a_5=27+1=28\). Option 30 may result from incorrectly taking \(a_5\) as 3. Exam tip: while substituting a term number, carefully use the exponent \(n-1\).
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=16\) और धनात्मक क्रम में \(a_6=128\cdot16=2048\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=16\), and for the positive sequence \(a_6=128\cdot16=2048\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 6 और सार्व अनुपात 3 है। अतः \(a_3=6\times 3^2=54\) तथा \(a_5=6\times 3^4=486\)। इसलिए \(a_5-a_3=486-54=432\)। विकल्प 486 केवल पाँचवाँ पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करके आवश्यक पद निकालें। / The first term of this GP is 6 and the common ratio is 3. Thus, \(a_3=6\times 3^2=54\) and \(a_5=6\times 3^4=486\). Therefore, \(a_5-a_3=486-54=432\). Option 486 is only the fifth term, not the required difference. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the required terms of a GP.
गुणोत्तर श्रेणी में \(b=ar\) और \(c=br\) होता है। अतः \(b^2=(ar)^2=a(br)=ac\)। उलटे, \(b^2=ac\) से \(b/a=c/b\) मिलता है। परीक्षा टिप: मध्य पद का वर्ग = सिरों के पदों का गुणनफल। / In a GP, \(b=ar\) and \(c=br\), so \(b^2=(ar)^2=a(br)=ac\). Conversely, \(b^2=ac\) gives \(b/a=c/b\). Exam tip: the square of the middle term equals the product of the extreme terms.
