किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होता है जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो। यहाँ \(0^2=0\), इसलिए \(\sqrt{0}=0\)। अतः यह संख्या रेखा के मूल बिंदु, अर्थात 0, पर स्थित है। 1 को चुनना \(\sqrt{1}=1\) के साथ भ्रम है; परीक्षा में पहले वर्गमूल का मान निकालें। / The square root of a number is the value whose square equals that number. Since \(0^2=0\), we have \(\sqrt{0}=0\). Therefore, it lies at the origin, or 0, on the number line. Choosing 1 confuses it with \(\sqrt{1}=1\); in an exam, first evaluate the square root.
परिमेय संख्या (3) में अपरिमेय \( \sqrt{2} \) जोड़ने पर सामान्यतः अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding the irrational \( \sqrt{2} \) to the rational number (3) generally gives an irrational number. It is also real.
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल भी बड़ा होता है। (6>5) इसलिए \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is also greater. Since (6>5), \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \).
\(5\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे \(\frac{5}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, क्योंकि 2 पूर्ण वर्ग नहीं है और इसका दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होता है। इसलिए विकल्प A में एक परिमेय और एक अपरिमेय वास्तविक संख्या है। विकल्प C में दोनों संख्याएँ अपरिमेय हैं, जबकि विकल्प B और D में दोनों संख्याएँ परिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी पूर्ण वर्ग की वर्गमूल संख्या परिमेय होती है; अन्यथा वह सामान्यतः अपरिमेय होती है। / \(5\) is rational because it can be written as \(\frac{5}{1}\). \(\sqrt{2}\) is irrational because 2 is not a perfect square, so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Therefore, option A contains one rational and one irrational real number. In option C, both numbers are irrational, while both numbers in options B and D are rational. Exam tip: The square root of a perfect square is rational; the square root of a non-perfect square is irrational.
\(12=4\times3\) इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड को वर्गमूल से बाहर निकालें। / Since \(12=4\times3\), \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor outside the square root.
संख्या रेखा पर बाईं संख्या छोटी और दाईं संख्या बड़ी होती है। इसलिए ( -3<-1<2 ) सही है। / On the number line, the left number is smaller and the right number is greater. Therefore ( -3<-1<2 ) is correct.
शून्य न तो धनात्मक होता है और न ही ऋणात्मक। धनात्मक संख्याएँ 0 से बड़ी होती हैं, जैसे 1 और \(\frac{1}{2}\), जबकि ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी होती हैं, जैसे -1। इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर की संख्याएँ धनात्मक और बाईं ओर की संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। / Zero is neither positive nor negative. Positive numbers are greater than 0, such as 1 and \(\frac{1}{2}\), whereas negative numbers are less than 0, such as -1. Therefore, 0 is the correct answer. Exam tip: On the number line, numbers to the right of 0 are positive and those to the left are negative.
गुणात्मक प्रतिलोम में अंश और हर बदल जाते हैं। \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \)। / In the multiplicative inverse, numerator and denominator are interchanged. \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \).
किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर योग 0 प्राप्त हो। यहाँ \((-9)+9=0\), इसलिए \((-9)\) का योज्य प्रतिलोम 9 है। \(\frac{1}{9}\) इसका गुणनात्मक प्रतिलोम है, योज्य प्रतिलोम नहीं। परीक्षा में योज्य प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए संख्या का चिह्न बदल दें। / The additive inverse of a number is the number that gives a sum of 0 when added to the original number. Here, \((-9)+9=0\), so the additive inverse of \((-9)\) is 9. \(\frac{1}{9}\) is its multiplicative inverse, not its additive inverse. Exam tip: to find an additive inverse, change the sign of the number.
किसी भी वास्तविक संख्या को (1) से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (1) गुणन का तत्समक अवयव है। / Multiplying any real number by (1) gives the same number. Hence (1) is the multiplicative identity.
किसी भी वास्तविक संख्या में (0) जोड़ने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (0) योग का तत्समक अवयव है। / Adding (0) to any real number gives the same number. Hence (0) is the additive identity.
\(\frac{3}{2}=1.5\), जबकि \(\sqrt{2}\approx1.414\) है। इसलिए \(\frac{3}{2}\), \(\sqrt{2}\) से बड़ी है। इसे बिना दशमलव मान निकाले भी जाँच सकते हैं: दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं और \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25>2=(\sqrt{2})^2\)। अतः सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्याओं की तुलना करते समय उनके वर्गों की तुलना की जा सकती है। / \(\frac{3}{2}=1.5\), whereas \(\sqrt{2}\approx1.414\). Therefore, \(\frac{3}{2}\) is greater than \(\sqrt{2}\). This can also be checked without finding decimal values: both numbers are positive, and \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25>2=(\sqrt{2})^2\). Hence, option B is correct. Exam tip: for positive numbers, comparing their squares gives the same order.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव संख्या अपरिमेय होती है। इसलिए 1.414213... एक अपरिमेय वास्तविक संख्या है। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो समाप्त होता है या किसी अंक-समूह की पुनरावृत्ति करता है; अतः विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी संख्या का दशमलव प्रसार असमाप्त और अनावर्ती हो, तो वह अपरिमेय होती है। / A decimal expansion that is non-terminating and non-repeating represents an irrational number. Therefore, 1.414213... is an irrational real number. A rational number has a decimal expansion that either terminates or repeats, so option A is incorrect. Exam tip: Identify a non-terminating, non-repeating decimal as irrational.
किसी भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यह संख्या रेखा का महत्वपूर्ण गुण है। / There are infinitely many real numbers between any two distinct real numbers. This is an important property of the number line.
निरपेक्ष मान किसी संख्या की शून्य से दूरी दर्शाता है, इसलिए उसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। संख्या −7 की शून्य से दूरी 7 है, अतः \(|-7|=7\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह संख्या का चिह्न सहित मान है, निरपेक्ष मान नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान निकालते समय उसका ऋण चिह्न हटा दें। / Absolute value represents a number’s distance from zero, so it is never negative. The distance of −7 from zero is 7; therefore, \(|-7|=7\). Option A is incorrect because it gives the signed value, not the absolute value. Exam tip: To find the absolute value of a negative number, remove its minus sign.
\( \sqrt{4}=2 \) इसलिए \( -\sqrt{4}=-2 \)। वर्गमूल निकालने के बाद बाहर का ऋण चिह्न लगाएँ। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( -\sqrt{4}=-2 \). Apply the outside negative sign after finding the square root.
\( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \) और ( -5 ) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। हर में शून्य वाला भिन्न वास्तविक नहीं होता। / \( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \), and ( -5 ) are all real numbers. A fraction with zero denominator is not real.
\( \frac{22}{7} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{22}{7} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
\( \pi \) अपरिमेय संख्या है और वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित है। इसे \( \frac{22}{7} \) के बिल्कुल बराबर न मानें। / \( \pi \) is an irrational number and lies on the real number line. Do not treat it as exactly equal to \( \frac{22}{7} \).
\( \sqrt{49}=7 \) है और (7) परिमेय वास्तविक संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक हो सकता है। / \( \sqrt{49}=7 \), and (7) is a rational real number. The square root of a perfect square can be an integer.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\) होते हैं। क्योंकि \(4<6<9\), इसलिए \(2<\sqrt{6}<3\)। अतः सही उत्तर \(\sqrt{6}\) है। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्याओं के लिए वर्गों की तुलना करके वर्गमूलों का क्रम निर्धारित किया जा सकता है। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), and \(4<6<9\), it follows that \(2<\sqrt{6}<3\). Therefore, \(\sqrt{6}\) is correct. Exam tip: for positive numbers, compare the numbers under the square roots with the squares of the given bounds.
भागफल के वर्गमूल के नियम के अनुसार, \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प C में वर्गमूल लगाना भूलकर 9 लिया गया है, जबकि विकल्प D केवल \(\sqrt{27}\) का सरल रूप है और उसमें \(\sqrt{3}\) से भाग नहीं दिया गया। परीक्षा में समान मूल वाले भाज्य और भाजक को पहले एक ही वर्गमूल के भीतर भाग देकर सरल करना उपयोगी होता है। / Using the quotient rule for square roots, \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3\). Therefore, option A is correct. Option C results from forgetting to take the square root of 9, while option D is only the simplified form of \(\sqrt{27}\) and does not account for division by \(\sqrt{3}\). Exam tip: when the radicands are positive, combine the quotient under one square root before simplifying.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \)। गुणन में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा की जा सकती हैं। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \). In multiplication, numbers inside square roots can be multiplied.
क्योंकि \(8=4\times2\), इसलिए \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A और D में गुणांक अनावश्यक रूप से बड़ा हो गया है, जबकि विकल्प C में \(\sqrt{4}=2\) का गुणक छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(8=4\times2\), we get \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Therefore, option B is correct. In options A and D, the coefficient is incorrectly made larger, while option C omits the factor \(\sqrt{4}=2\). Exam tip: factor the number inside the square root and take the greatest perfect-square factor outside the radical.
\(50=25\times2\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। विकल्प C गलत है क्योंकि \((2\sqrt{5})^2=20\), 50 नहीं। परीक्षा में मूल को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(50=25\times2\) and 25 is a perfect square, \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Option C is incorrect because \((2\sqrt{5})^2=20\), not 50. Exam tip: factor the radicand and take the largest perfect-square factor outside the square root.
\(18=9\times2\) इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / Since \(18=9\times2\), \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Separate perfect-square factors inside square roots.
\( \sqrt{9}=3 \) और \( \sqrt{4}=2 \) इसलिए योग (5) है। पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{9}=3 \) and \( \sqrt{4}=2 \), so the sum is (5). First find square roots of perfect squares.
समान पदों को जोड़ा जाता है इसलिए \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \)। वर्गमूल को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / Like terms are added, so \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \). Do not add numbers inside square roots directly.
वास्तविक संख्याएँ गुणन के लिए संवृत होती हैं, इसलिए किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल भी वास्तविक संख्या ही होता है। यह गुणनफल पूर्णांक, परिमेय या अपरिमेय हो सकता है; उदाहरण के लिए \(\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}\), जो अपरिमेय होते हुए भी वास्तविक है। इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा में याद रखें: वास्तविक संख्याएँ जोड़, घटाव और गुणन के लिए संवृत होती हैं। / Real numbers are closed under multiplication, so the product of any two real numbers is also a real number. The product may be an integer, rational number, or irrational number; for example, \(\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}\), which is irrational but still real. Therefore, option C is incorrect. Exam tip: real numbers are closed under addition, subtraction, and multiplication.
वास्तविक संख्याएँ योग के लिए संवृत होती हैं। दो वास्तविक संख्याओं का योग वास्तविक संख्या ही होता है। / Real numbers are closed under addition. The sum of two real numbers is always a real number.
