A. \(m\) ढाल तथा \(c\) y-अवरोध/\(m\) slope and \(c\) y-intercept
Explanation
Simple Explanation
मानक रूप \(y=mx+c\) में \(m\) रेखा की ढाल बताता है, जबकि \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है; इसलिए \(c\), y-अवरोध है। परीक्षा में y-अवरोध पहचानने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In the standard form \(y=mx+c\), \(m\) gives the slope. On putting \(x=0\), we get \(y=c\); hence \(c\) is the y-intercept. Exam tip: set \(x=0\) to identify the y-intercept.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=2\), \(c=-3\) रखने पर \(y=2x-3\) मिलता है। \(y=2x+3\) में अवरोध का चिह्न गलत है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. With \(m=2\) and \(c=-3\), the equation is \(y=2x-3\). In \(y=2x+3\), the intercept has the wrong sign. Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant separately.
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=4\) है। विकल्प B का अवरोध 4 है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल बताता है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=4\). Option B has intercept 4 but a positive slope. Exam tip: check the coefficient of \(x\) for slope.
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल है और \(c\) वह y-मान है जहाँ \(x=0\) होता है। इसलिए रेखा y-अक्ष को \((0,c)\) पर काटती है। x-अवरोध अलग होता है। परीक्षा टिप: y-अक्ष के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope, while \(c\) is the y-value when \(x=0\). Hence the line meets the y-axis at \((0,c)\). The x-intercept is different. Exam tip: put \(x=0\) to identify the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। \(y=4x-3\) में \(c=-3\) है। \(y=-3x+4\) में \(-3\) ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा में स्थिर पद पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. In \(y=4x-3\), \(c=-3\). In \(y=-3x+4\), \(-3\) is the slope, not the intercept. Exam tip: identify the constant term.
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है और इसका सामान्य रूप \(ax+b\) है, जहाँ \(a\ne0\)। \(5x-3\) में x की उच्चतम घात 1 है। \(x²+2x+1\) द्विघात है, जबकि 7 अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: उच्चतम घात देखकर बहुपद की कोटि पहचानें। / A linear polynomial has degree 1 and is of the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). In \(5x-3\), the highest power of x is 1. \(x²+2x+1\) is quadratic, while 7 is constant. Exam tip: identify the degree by checking the highest exponent.
दोनों के बराबर होने के लिए \(18+5x=30+3x\) रखें। दोनों पक्षों से \(3x\) और 18 घटाने पर \(2x=12\) मिलता है, इसलिए \(x=6\)। जाँच करें: \(A(6)=48\) और \(B(6)=48\)। \(x=5\) निकट विकल्प है, लेकिन उस पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों की समानता ज्ञात करने के लिए उन्हें पहले बराबर रखकर \(x\) हल करें। / For the two expressions to be equal, set \(18+5x=30+3x\). Subtracting \(3x\) and 18 from both sides gives \(2x=12\), so \(x=6\). Checking: \(A(6)=48\) and \(B(6)=48\). The nearby option \(x=5\) does not make the two values equal. Exam tip: To find when two linear expressions are equal, equate them first and solve for \(x\).
सदस्यों की संख्या 72 रखने पर \(45+3w=72\) मिलता है। अतः \(3w=27\), इसलिए \(w=9\)। \(w=8\) रखने पर सदस्य \(45+24=69\) होंगे, 72 नहीं। परीक्षा टिप: पहले लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखकर चर के लिए हल करें। / Set the number of members equal to 72: \(45+3w=72\). Thus, \(3w=27\), so \(w=9\). If \(w=8\), the number of members would be \(45+24=69\), not 72. Exam tip: equate the function to the target value first, then solve for the variable.
\(y=12-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\), 5 इकाई घटता है। \(y=5x+12\) स्थिर दर से वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में रैखिक ह्रास पहचानने के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / In \(y=12-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units whenever \(x\) increases by 1. \(y=5x+12\) shows constant growth instead. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) identifies linear decay.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालते हैं: p(3)=11×3-32=1। अब इस मान को फिर p में रखने पर p(p(3))=p(1)=11×1-32=-21 मिलता है। विकल्प 1 केवल p(3) का मान है, p(p(3)) का नहीं। परीक्षा में संयुक्त फलन में हमेशा अंदर से बाहर की ओर मान निकालें। / First evaluate the inner function: p(3)=11×3-32=1. Now substitute this value into p again: p(p(3))=p(1)=11×1-32=-21. Option 1 is only the value of p(3), not of p(p(3)). In exams, evaluate a composite function from inside to outside.
दिया है p(x)=x+a। इसलिए p(4)=4+a। अब p(p(4))=p(4+a)=(4+a)+a=4+2a। अतः 4+2a=16, जिससे 2a=12 और a=6 प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर p(p(4))=20 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी फलन का p(p(4)) दिया हो तो पहले p(4) ज्ञात करके उसे फिर से p में प्रतिस्थापित करें। / Given p(x)=x+a, we get p(4)=4+a. Therefore, p(p(4))=p(4+a)=(4+a)+a=4+2a. Hence, 4+2a=16, so 2a=12 and a=6. If a=8, then p(p(4)) would be 20, so it is not correct. Exam tip: For p(p(4)), first find p(4) and then substitute that result into p again.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: \(p(3)=7\times3-20=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(1)=7\times1-20=-13\)। इसलिए \(p(p(3))=-13\) है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=7\times3-20=1\). Now substitute this value into \(p\) again: \(p(1)=7\times1-20=-13\). Therefore, \(p(p(3))=-13\). Option 1 is only the value of \(p(3)\), not the final value. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(3)=6\times3-17=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(p(3))=p(1)=6\times1-17=-11\)। इसलिए सही उत्तर \(-11\) है। विकल्प 1 केवल \(p(3)\) का मान है, \(p(p(3))\) का नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा कोष्ठक के भीतर वाले फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=6\times3-17=1\). Then substitute this result into \(p\): \(p(p(3))=p(1)=6\times1-17=-11\). Therefore, the correct answer is \(-11\). Option 1 is only the value of \(p(3)\), not of \(p(p(3))\). Exam tip: In a composite function, always evaluate the expression inside first.
पहले आंतरिक फलन का मान निकालें: \(p(3)=5\times3-14=1\)। अब \(p(1)=5\times1-14=-9\)। अतः \(p(p(3))=-9\) है। विकल्प \(1\) केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे भीतर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=5\times3-14=1\). Then \(p(1)=5\times1-14=-9\). Therefore, \(p(p(3))=-9\). Option \(1\) is only the value of \(p(3)\), not the final value. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
दिया है कि \(p(x)=ax+4\)। इसलिए \(p(0)=4\)। अब \(p(p(0))=p(4)=4a+4\) होगा। अतः \(4a+4=28\), जिससे \(4a=24\) और \(a=6\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 7 लेने पर \(p(4)=32\) होगा, जो 28 नहीं है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन \(p(p(0))\) में पहले अंदर वाले \(p(0)\) का मान निकालें। / Given \(p(x)=ax+4\), we first get \(p(0)=4\). Hence \(p(p(0))=p(4)=4a+4\). So, \(4a+4=28\), which gives \(4a=24\) and \(a=6\). Therefore, option C is correct. For example, if \(a=7\), then \(p(4)=32\), not 28. Exam tip: In a composite expression such as \(p(p(0))\), evaluate the inner function first.
पहले अंदर वाले फलन का मान ज्ञात करें: \(p(3)=4\times3-11=1\)। अब इस मान को फिर से \(p\) में रखें: \(p(1)=4\times1-11=-7\)। इसलिए \(p(p(3))=-7\) है। \(1\) केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम उत्तर नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले फलन से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=4\times3-11=1\). Now substitute this value into \(p\) again: \(p(1)=4\times1-11=-7\). Therefore, \(p(p(3))=-7\). The value \(1\) is only \(p(3)\), not the final answer. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost function first.
C. \(c\) का प्रत्येक मान मान्य है/Every value of \(c\) is valid
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(p(5)=6\times5+c=30+c\) और \(p(2)=6\times2+c=12+c\) है। अतः \(p(2)+18=12+c+18=30+c=p(5)\)। दोनों पक्षों में \(c\) समान रूप से जुड़ा है, इसलिए शर्त \(c\) के हर मान के लिए सत्य है। \(c=0\) या \(c=18\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक शर्त नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Here, \(p(5)=6\times5+c=30+c\) and \(p(2)=6\times2+c=12+c\). Therefore, \(p(2)+18=12+c+18=30+c=p(5)\). Since \(c\) occurs equally on both sides, the condition holds for every value of \(c\). Values such as \(c=0\) or \(c=18\) are only particular cases, not necessary conditions. Exam tip: when subtracting two values of a linear polynomial, the constant term cancels out.
रेखीय बहुपद \(x-8\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(x-8=0\) रखते हैं। इससे \(x=8\) मिलता है, इसलिए इसका शून्यक 8 है। \(x+8\) का शून्यक \(-8\) होता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक पाने के लिए उसे 0 के बराबर रखकर \(x\) हल करें। / To find the zero of the linear polynomial \(x-8\), set \(x-8=0\). This gives \(x=8\), so its zero is 8. In contrast, \(x+8\) has zero \(-8\). Exam tip: Set a polynomial equal to 0 and solve for \(x\) to find its zero.
\(7x+5\) में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। \(4x^2-3\) में घात 2 होने से वह द्विघात है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखकर बहुपद की डिग्री पहचानें। / In \(7x+5\), the highest power of x is 1, so it is a linear polynomial. \(4x^2-3\) has degree 2 and is quadratic. Exam tip: identify a polynomial’s degree by its highest exponent.
रेखीय बहुपद \(ax+b\) में \(x\) चर है। \(ax\) में चर उपस्थित है, जबकि \(b\) में कोई चर नहीं है। इसलिए \(b\) नियतांक पद है। \(a\) गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: जिस पद में चर न हो, वही नियतांक पद होता है। / In the linear polynomial \(ax+b\), \(x\) is the variable. The term \(ax\) contains the variable, whereas \(b\) does not contain any variable. Therefore, \(b\) is the constant term. Here, \(a\) is a coefficient, not the constant term. Exam tip: The term with no variable is the constant term.
बहुपद \(5s+12\) में केवल \(s\) चर है। \(s\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए यह \(s\) में रेखीय बहुपद है। \(x\), \(y\) और \(z\) इस व्यंजक में उपस्थित नहीं हैं। परीक्षा टिप: चर पहचानने के लिए उस अक्षर को देखें जिसकी घात व्यंजक में लिखी हो या निहित हो। / In the polynomial \(5s+12\), \(s\) is the only variable. Its highest power is 1, so the expression is a linear polynomial in \(s\). The variables \(x\), \(y\), and \(z\) do not occur in the expression. Exam tip: identify the letter whose power appears, explicitly or implicitly, in the expression.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता। बहुपद \(x-11\) में \(x\) चर वाला पद है, जबकि \(-11\) में कोई चर नहीं है। इसलिए नियतांक पद \(-11\) है। \(0\) तब नियतांक पद होता जब बहुपद में कोई अलग स्थिर संख्या न दी गई होती। परीक्षा टिप: चर रहित पद पहचानकर नियतांक पद तुरंत ज्ञात करें। / A constant term is a term with no variable. In \(x-11\), \(x\) contains the variable, whereas \(-11\) has no variable. Therefore, the constant term is \(-11\). The constant term would be \(0\) only if no separate constant number were present. Exam tip: identify the term without a variable to find the constant term quickly.
बहुपद \(x+4\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(x+4=0\) रखते हैं। इससे \(x=-4\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प \(x+4\) है। \(x-4\) का शून्यक \(4\) होता है, \(-4\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक पाने के लिए उसे 0 के बराबर रखकर \(x\) हल करें। / To find the zero of \(x+4\), set \(x+4=0\). This gives \(x=-4\), so \(x+4\) is the correct option. The zero of \(x-4\) is \(4\), not \(-4\). Exam tip: Set a polynomial equal to 0 and solve for \(x\) to find its zero.
शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद को 0 के बराबर रखते हैं: \(10-2x=0\)। अतः \(2x=10\), इसलिए \(x=5\)। जाँच करने पर \(10-2(5)=0\), इसलिए 5 सही शून्यक है। \(-5\) रखने पर मान \(20\) आता है, 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। / To find the zero, set the polynomial equal to 0: \(10-2x=0\). Thus, \(2x=10\), so \(x=5\). On checking, \(10-2(5)=0\); therefore, 5 is the correct zero. Substituting \(-5\) gives \(20\), not 0. Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\), where \(a\ne0\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x का मान है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। अतः 3x-6=0 रखने पर 3x=6 और x=2 मिलता है। x=-2 रखने पर 3(-2)-6=-12 आता है, इसलिए -2 शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद ax+b का शून्यक -b/a होता है। / A zero of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. Setting 3x-6=0 gives 3x=6, so x=2. Substituting x=-2 gives 3(-2)-6=-12, so -2 is not a zero. Exam tip: The zero of a linear polynomial ax+b is -b/a.
बहुपद 9x+1 में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसका अग्र पद 9x है। अग्र पद का गुणांक 9 होता है, अतः सही उत्तर 9 है। 1 स्थिर पद है, अग्र गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: चर की सबसे बड़ी घात वाले पद का संख्यात्मक गुणांक अग्र गुणांक कहलाता है। / In the polynomial 9x+1, the highest power of x is 1, so the leading term is 9x. Its numerical coefficient is 9; therefore, the leading coefficient is 9. The number 1 is the constant term, not the leading coefficient. Exam tip: identify the term with the highest power of the variable, then take its numerical coefficient.
बहुपद (12-5x) में x वाला पद -5x है। x के साथ गुणा हो रही संख्या -5 है, इसलिए x का गुणांक -5 है। 5 केवल परिमाण है; ऋण चिह्न सहित पूरा गुणांक -5 होगा। परीक्षा टिप: किसी पद में चर के साथ जुड़ी संख्या और उसका चिह्न, दोनों गुणांक में शामिल होते हैं। / In the polynomial (12-5x), the term containing x is -5x. The number multiplying x is -5, so the coefficient of x is -5. The number 5 alone is not the coefficient because the negative sign is part of it. Exam tip: Always include the sign while identifying a coefficient.
A. \(F(x)\), \(x\) का एक रैखिक बहुपद है।/\(F(x)\) is a linear polynomial in \(x\).
Explanation
Simple Explanation
\(F(x)=18x+50\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। 50 अचर पद होना बहुपद को नहीं बदलता। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखकर प्रकार पहचानें। / In \(F(x)=18x+50\), the highest power of \(x\) is \(1\), so it is a linear polynomial. The constant term 50 does not prevent it from being a polynomial. Exam tip: check the highest exponent.
-5/x को \(-5x^{-1}\) लिखा जा सकता है। इसमें x का घात ऋणात्मक है, इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद ही नहीं है और इसकी डिग्री 3 नहीं कही जा सकती। परीक्षा में पहले सभी घातों को जाँचें। / The term -5/x can be written as \(-5x^{-1}\). Since x has a negative exponent, the expression is not a polynomial, so it cannot have degree 3. Exam tip: check exponents before finding degree.
एक विद्यार्थी ने कहा कि बहुपद \(P(x)=6x^5-6x^5+4x^2-1\) की डिग्री 5 है, क्योंकि उसमें \(x^5\) पद दिखाई दे रहा है। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार कौन-सा है?
A. डिग्री 2 है, क्योंकि \(6x^5-6x^5=0\) और शेष बहुपद \(4x^2-1\) है।/The degree is 2 because \(6x^5-6x^5=0\), leaving \(4x^2-1\).
Explanation
Simple Explanation
समान \(x^5\) पदों के गुणांक विपरीत होने से वे कट जाते हैं: \(6x^5-6x^5=0\)। सरल रूप \(4x^2-1\) में सबसे बड़ी घात 2 है। परीक्षा टिप: डिग्री निकालने से पहले बहुपद को सरल करें। / The \(x^5\) terms cancel because their coefficients are opposites: \(6x^5-6x^5=0\). The simplified polynomial is \(4x^2-1\), whose highest exponent is 2. Exam tip: always simplify before finding degree.
