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If (a_n=6n-(-1)^n), what will be the value of \(a_{12}-a_{11}\)?
A. (4)
\(a_{12}=71\) और \(a_{11}=67\) इसलिए अंतर (4) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग जाँचें। / \(a_{12}=71\) and \(a_{11}=67\), so the difference is (4). Exam tip: check the sign-changing part separately.
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What is the average of the first (5) terms of the sequence \(8,16,32,64,\ldots\)?
B. (49.6)
पहले (5) पदों का योग (8+16+32+64+128=248) है। औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। / The sum of the first (5) terms is (8+16+32+64+128=248). The average is \(\frac{248}{5}=49.6\).
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If \(a_n=\frac{n}{2n-1}\), which is the first term less than \(\frac{3}{5}\)?
B. (4)वाँ(4)th
\(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\) से (5n<6n-3) और (n>3) मिलता है। पहला पूर्णांक (4) है। / From \(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\), (5n<6n-3), so (n>3). The first integer is (4).
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B. (11)वाँ(11)th
\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) छोटा नहीं है और \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\) है। इसलिए पहला पद (11)वाँ है। / \(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) is not smaller, and \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\). So the first term is the (11)th.
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If (a_n=n(n+4)), which term is (165)?
C. (11)वाँ(11)th
(11(11+4)=165) इसलिए यह (11)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में विकल्प सीधे रखें। / (11(11+4)=165), so it is the (11)th term. Exam tip: substitute options directly in product-form formulas.
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What is the correct sum of the first (6) terms of the sequence \(3,7,13,21,31,\ldots\)?
D. (118)
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) है। योग में सभी (6) पद शामिल करें। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Exam tip: include all (6) terms in the sum.
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What is the sum of the first (6) terms of the sequence \(3,7,13,21,31,\ldots\)?
B. (114)
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) नहीं बल्कि (118) है। विकल्पों में (118) सही है। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Therefore (118) is correct.
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If \(a_n=pn+q\), \(a_5=31\) and \(a_{12}=80\), what will \(a_1\) be?
C. (3)
\(p=\frac{80-31}{12-5}=7\) और (q=-4) है। इसलिए \(a_1=7-4=3\) है। / \(p=\frac{80-31}{12-5}=7\) and (q=-4). Therefore \(a_1=7-4=3\).
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If \(a_n=kn^2+2n\) and \(a_4=56\), what will be the value of \(a_7\)?
A. (161)
(16k+8=56) से (k=3) है। इसलिए \(a_7=3\times49+14=161\) होगा। / From (16k+8=56), (k=3). Therefore \(a_7=3\times49+14=161\).
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What will be the (10)th term in the sequence \(1,5,2,10,4,20,8,\ldots\)?
D. (80)
सम स्थानों पर \(5,10,20,40,80,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (80) है। / Even positions are \(5,10,20,40,80,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (80).
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If \(a_n=\frac{3n-1}{2n+5}\), what will be the simplified value of \(a_7\)?
A. \(\frac{20}{19}\)
\(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\) है। अंश और हर अलग-अलग सावधानी से निकालें। / \(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\). Exam tip: calculate numerator and denominator separately.
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C. (65)
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
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In the sequence \(3,6,12,24,\ldots\), which is the first term greater than (500)?
B. (9)वाँ(9)th
\(a_8=384\) और \(a_9=768\) है इसलिए पहला बड़ा पद (9)वाँ है। सीमा के दोनों ओर के पद जाँचें। / \(a_8=384\) and \(a_9=768\), so the first greater term is the (9)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
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If \(a_n=2n!+1\), what will be the value of \(a_5\)?
C. (241)
\(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\) है। पहले फैक्टोरियल निकालें फिर गुणा करें। / \(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\). Exam tip: calculate the factorial first and then multiply.
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In the sequence \(1,8,27,64,\ldots\), what will be the value of \(a_{10}-a_9\)?
A. (271)
यह घनों का अनुक्रम है इसलिए \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\) है। घन पदों में पद संख्या का घन लें। / This is a cube sequence, so \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\). Exam tip: cube the term position in cube sequences.
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If \(a_n=\frac{n^2+n}{2}\), what will be the value of \(a_{18}\)?
B. (171)
\(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\) है। भिन्न में पहले अंश सरल करें। / \(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\). Exam tip: simplify the numerator first in fractions.
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If \(a_n=5n^2-4n+1\), how many terms will be less than (400)?
B. (9)
\(a_9=370\) और \(a_{10}=461\) है इसलिए (9) पद (400) से छोटे हैं। सीमा के पास के पद अवश्य जाँचें। / \(a_9=370\) and \(a_{10}=461\), so (9) terms are less than (400). Exam tip: always check terms near the boundary.
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The sequence \(2,12,36,80,150,\ldots\) has general term \(a_n=n^3+n^2\). What will be \(a_8-a_6\)?
C. (336)
\(a_8=576\) और \(a_6=252\) इसलिए अंतर (324) नहीं बल्कि (336) है। गणना में घन और वर्ग दोनों ध्यान से निकालें। / \(a_8=576\) and \(a_6=252\), so the difference is (324), not (336). Recheck cube and square calculations carefully.
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What will be the (9)th term in the sequence \(\frac{3}{4},\frac{5}{7},\frac{7}{10},\ldots\)?
B. \(\frac{19}{28}\)
सामान्य पद \(\frac{2n+1}{3n+1}\) है इसलिए (9)वाँ पद \(\frac{19}{28}\) है। अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{2n+1}{3n+1}\), so the (9)th term is \(\frac{19}{28}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
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If (a_n=(-1)^{n+1}(2n+3)), what will be the value of \(a_8+a_9\)?
B. (2)
\(a_8=-19\) और \(a_9=21\) इसलिए योग (2) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम क्रमांक देखें। / \(a_8=-19\) and \(a_9=21\), so the sum is (2). Exam tip: track even and odd positions in sign-changing sequences.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=2a_n+n^2\), what will \(a_5\) be?
C. 106
पुनरावृत्ति संबंध में प्रत्येक चरण पर वर्तमान n का वर्ग जोड़ना है। अतः a_2=2(3)+12=7, a_3=2(7)+22=18, a_4=2(18)+32=45 और a_5=2(45)+42=106। इसलिए सही उत्तर 106 है। 107 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब 42 को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: a_5 निकालने के लिए नियम में n=1, 2, 3, 4 क्रमशः रखें। / In the recurrence, add the square of the current value of n at every step. Thus, a_2=2(3)+12=7, a_3=2(7)+22=18, a_4=2(18)+32=45, and a_5=2(45)+42=106. Therefore, 106 is correct. A value such as 107 can result from an error while adding 42. Exam tip: to find a_5, apply the rule successively for n=1, 2, 3, and 4.
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D. (98)
(49) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(49\times2=98\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (49), multiplication by (2) is applied, so \(49\times2=98\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
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If \(a_n=2n^2+5n\), which term is (403)?
B. (13)वाँ(13)th
\(2\times13^2+5\times13=403\) है इसलिए यह (13)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(2\times13^2+5\times13=403\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute the options into the formula.
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If \(a_n=3n^2+n+2\), what will be the value of \(a_{14}\)?
B. (604)
\(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\) है। वर्ग निकालने के बाद गुणा और जोड़ करें। / \(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\). Exam tip: square first, then multiply and add.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=2a_n+3n\), what will \(a_5\) be?
C. (139)
पद (5,13,32,73,158) नहीं बल्कि \(a_5=158\) होता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / The terms are (5,13,32,73,158), so \(a_5=158\). Therefore none of the given options is correct.
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If \(a_n=4n^2+2n-3\), what will be the value of \(a_{11}\)?
B. (503)
\(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\) है। पहले वर्ग निकालकर फिर बाकी क्रियाएँ करें। / \(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\). Exam tip: square first and then complete the remaining operations.
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In the sequence \(1,3,6,10,15,\ldots\), which is the first term greater than (200)?
C. (20)वाँ(20)th
\(T_{19}=190\) और \(T_{20}=210\) है इसलिए पहला बड़ा पद (20)वाँ है। सख्त असमानता में बराबरी शामिल नहीं होती। / \(T_{19}=190\) and \(T_{20}=210\), so the first greater term is the (20)th. Exam tip: strict inequality does not include equality.
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In a sequence with equal differences, \(a_4=29\) and \(a_{10}=65\). What is the value of \(a_1\)?
C. (11)
छह अंतरों का योग (65-29=36) है इसलिए एक अंतर (6) है। \(a_1=29-3\times6=11\) होगा। / The sum of six differences is (65-29=36), so one difference is (6). Thus \(a_1=29-3\times6=11\).
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=2a_n+n^2\), what will \(a_4\) be?
C. 37
पुनरावर्ती संबंध में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः a_2=2(2)+12=5, a_3=2(5)+22=14 और a_4=2(14)+32=37। इसलिए सही उत्तर 37 है। 39 निकट का विकल्प है, लेकिन वह 2(14)+32 का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: a_4 निकालते समय n=1, फिर n=2 और फिर n=3 रखें; सीधे n=4 नहीं। / Use the recurrence step by step. Thus, a_2=2(2)+12=5, a_3=2(5)+22=14, and a_4=2(14)+32=37. Therefore, 37 is correct. Although 39 is a close distractor, it is not the correct value of 2(14)+32. Exam tip: to find a_4, substitute n=1, then n=2, and then n=3; do not substitute n=4 directly.
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If (a_n=5n+(-1)^n), what will be the value of \(a_{10}-a_9\)?
C. (7)
\(a_{10}=51\) और \(a_9=44\) है इसलिए अंतर (7) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग से जाँचें। / \(a_{10}=51\) and \(a_9=44\), so the difference is (7). Exam tip: check the sign-changing part separately.
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