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A. यह पूर्वी और पश्चिमी घाट के मिलन क्षेत्र से जुड़ी हैं/They are associated with the meeting region of Eastern and Western Ghats
Explanation
Simple Explanation
नीलगिरि पहाड़ियां दक्षिण भारत में पूर्वी और पश्चिमी घाट के मिलन क्षेत्र से जुड़ी हैं। परीक्षा में ऊटी क्षेत्र को संकेत की तरह याद रखें। / The Nilgiri Hills are linked with the meeting region of Eastern and Western Ghats in South India. Exam tip: remember the Ooty region as a clue.
C. भाबर लवणीय समुद्री दलदल/Bhabar saline marine marsh
Explanation
Simple Explanation
भाबर हिमालय की तलहटी का कंकड़ वाला छिद्रदार क्षेत्र है समुद्री दलदल नहीं। परीक्षा में भाबर और कच्छ रण अलग रखें। / Bhabar is a pebbly porous foothill belt of the Himalayas not a marine marsh. For exams keep Bhabar and Rann of Kachchh separate.
A. हिमालय युवा है और प्रायद्वीपीय पठार प्राचीन है/Himalayas are young and Peninsular Plateau is ancient
Explanation
Simple Explanation
हिमालय नवीन वलित पर्वत हैं जबकि प्रायद्वीपीय पठार पुराना स्थिर भूभाग है। परीक्षा में यह तुलना याद रखें। / The Himalayas are young fold mountains while the Peninsular Plateau is an old stable landmass. For exams remember this comparison.
A. लक्षद्वीप प्रवाल और अंडमान निकोबार ज्वालामुखीय प्रभाव वाले द्वीप/Lakshadweep coral and Andaman Nicobar islands with volcanic influence
Explanation
Simple Explanation
लक्षद्वीप प्रवाल द्वीप है और अंडमान निकोबार में ज्वालामुखीय विशेषता भी मिलती है। परीक्षा में बैरन द्वीप याद रखें। / Lakshadweep is coral while Andaman Nicobar also has volcanic features. For exams remember Barren Island.
बांगर पुरानी और खादर नई जलोढ़ मिट्टी से जुड़े शब्द हैं। परीक्षा में दोनों का अंतर याद रखें। / Bhangar means old and Khadar means new alluvial soil. For exams remember the difference between them.
A. कच्चे माल के कम मूल्य और तैयार माल के अधिक मूल्य से निर्भरता बढ़ाकर/By increasing dependence through low raw material prices and high finished goods prices
Explanation
Simple Explanation
असमान व्यापार आर्थिक निर्भरता को बढ़ा सकता था। परीक्षा में कच्चा माल और तैयार माल का अंतर याद रखें। / Unequal trade could increase economic dependence. For exams remember difference between raw materials and finished goods.
A. कच्चे माल के कम मूल्य और तैयार माल के अधिक मूल्य से निर्भरता बढ़ सकती थी/Low prices of raw materials and high prices of finished goods could increase dependence
Explanation
Simple Explanation
असमान व्यापार विकासशील देशों को कमजोर कर सकता था। परीक्षा में कच्चा माल और तैयार माल का अंतर याद रखें। / Unequal trade could weaken developing countries. For exams remember difference between raw materials and finished goods.
A. वे नीति निर्णयों पर बाहरी दबाव बना सकती हैं/They can create external pressure on policy decisions
Explanation
Simple Explanation
आर्थिक साधन प्रत्यक्ष शासन के बिना भी प्रभाव बना सकते हैं। परीक्षा में आर्थिक नियंत्रण के नए रूप पहचानें। / Economic tools can create influence even without direct rule. For exams identify new forms of economic control.
A. असमान शर्तों से निर्भरता और सीमित आर्थिक विकल्प बन सकते थे/Unequal terms could create dependence and limited economic choices
Explanation
Simple Explanation
नवउपनिवेशवाद में प्रत्यक्ष शासन के बिना भी आर्थिक दबाव रह सकता है। परीक्षा में व्यापार निर्भरता याद रखें। / In neo colonialism economic pressure can remain without direct rule. For exams remember trade dependence.
C. शांतिपूर्ण सत्ता हस्तांतरण/Peaceful transfer of power
Explanation
Simple Explanation
वाशिंगटन ने सत्ता से चिपके रहने के बजाय लोकतांत्रिक परंपरा को बल दिया। परीक्षा में उन्हें अमेरिकी गणराज्य की संस्थागत नींव से जोड़ें। / Washington strengthened democratic tradition instead of clinging to power. For exams connect him with institutional foundations of the American republic.
A. शांतिपूर्ण सत्ता हस्तांतरण/Peaceful transfer of power
Explanation
Simple Explanation
वाशिंगटन ने सत्ता से शांतिपूर्वक हटकर लोकतांत्रिक परंपरा मजबूत की। परीक्षा में उन्हें राष्ट्र निर्माण से जोड़ें। / Washington strengthened democratic tradition by peacefully leaving office. Exam tip: connect him with nation building.
B. मुख्य प्रशासनिक अधिकारी/Chief administrative officer
Explanation
Simple Explanation
महासचिव संयुक्त राष्ट्र का मुख्य प्रशासनिक अधिकारी होता है। परीक्षा में इस पद को सचिवालय से जोड़कर याद रखें। / The Secretary-General is the chief administrative officer of the UN. Exam tip: remember this post with the Secretariat.
जात और सवार मनसबदारी पदक्रम के महत्वपूर्ण घटक थे। परीक्षा में इन शब्दों को अकबर के प्रशासन से जोड़ें। / Zat and Sawar were important parts of the Mansabdari rank system. Exam tip: link these terms with Akbar's administration.
B. गृहस्थ धनिक और व्यापारी वर्ग/Wealthy householders and merchant class
Explanation
Simple Explanation
सेठी और गहपति नगरीय अर्थव्यवस्था और धनी गृहस्थों की भूमिका दिखाते हैं। परीक्षा में सामाजिक पदों का आर्थिक अर्थ समझें। / Setthi and Gahapati show the role of urban economy and wealthy householders. For exams, understand the economic meaning of social terms.
A. राजनीतिक संस्थाओं की विविधता/Diversity of political institutions
Explanation
Simple Explanation
अष्टाध्यायी भाषा ग्रंथ होते हुए भी राजनीतिक शब्दावली का स्रोत है। परीक्षा में व्याकरण ग्रंथों की ऐतिहासिक उपयोगिता पहचानें। / Although a grammar text, Ashtadhyayi is a source of political vocabulary. For exams, identify historical use of grammar texts.
संधि और विग्रह राज्य संबंधों में शांति और युद्ध की नीतियों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें मंडल सिद्धांत से जोड़ें। / Sandhi and Vigraha are related to peace and war policies in interstate relations. For exams, connect them with Mandala theory.
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
(17) पदों में (9)वाँ पद मध्य पद है इसलिए योग (17(36)=612) होगा। परीक्षा में विषम पदों की श्रेणी में मध्य पद का उपयोग करें। / In (17) terms, the (9)th term is the middle term, so the sum is (17(36)=612). Exam tip: use the middle term for an odd number of AP terms.
\(S_{10}=0\) से (2a+9d=0) और \(S_{20}=600\) से (d=6) मिलता है इसलिए (a=-27)। परीक्षा में शून्य योग को संबंध बनाने के लिए प्रयोग करें। / From \(S_{10}=0\), (2a+9d=0), and from \(S_{20}=600\), (d=6), so (a=-27). Exam tip: use the zero sum to form a relation.
(S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)) से \(t_{11}=60\) मिलता है। परीक्षा में (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)) याद रखें। / From (S_{20}=10\(t_{10}+t_{11}\)), \(t_{11}=60\). Exam tip: remember (S_{2m}=m\(t_m+t_{m+1}\)).
कुल बचत (S_{18}=9[100+17(20)]=3960) है। परीक्षा में दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / The total saving is (S_{18}=9[100+17(20)]=3960). Exam tip: treat the daily increase as the common difference.
कुल सीटें (S_{25}=\frac{25}{2}[44+24(3)]=1450) हैं। परीक्षा में वास्तविक जीवन प्रश्नों को समान्तर श्रेणी में बदलें। / Total seats are (S_{25}=\frac{25}{2}[44+24(3)]=1450). Exam tip: convert real-life situations into an AP.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
वांछित योग \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\) है। परीक्षा में (m)वें से (n)वें तक का योग \(S_n-S_{m-1}\) होता है। / The required sum is \(S_{18}-S_8=2304-464=1840\). Exam tip: the sum from the (m)th to (n)th term is \(S_n-S_{m-1}\).
\(a_{12}=S_{12}-S_{11}=1380-1155=225\) है। परीक्षा में किसी खास पद के लिए लगातार योग घटाएं। / \(a_{12}=S_{12}-S_{11}=1380-1155=225\). Exam tip: subtract consecutive sums for a particular term.
\(t_5=64\) और \(t_{20}=4\) हैं इसलिए योग (\frac{16}{2}(64+4)=544) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_5=64\) and \(t_{20}=4\), so the sum is (\frac{16}{2}(64+4)=544). Exam tip: count the selected terms correctly.
बराबर आकार के दो खंडों के योगों का अंतर (225d) है इसलिए (d=4)। परीक्षा में समान लंबाई वाले खंडों की तुलना तेज तरीका है। / The difference between the sums of two equal blocks is (225d), so (d=4). Exam tip: comparing equal-length blocks is a fast method.
इनसे (a=3) और (d=7) मिलते हैं इसलिए \(S_{30}=3135\)। परीक्षा में दो योगों से पहले (a) और (d) निकालें। / These give (a=3) and (d=7), so \(S_{30}=3135\). Exam tip: first find (a) and (d) from the two sums.
(S_{18}=9[-24+17(7)]=855) है। परीक्षा में ऋणात्मक प्रथम पद होने पर भी वही सूत्र लगाएं। / (S_{18}=9[-24+17(7)]=855). Exam tip: use the same formula even when the first term is negative.
(S_n=3n(n+6)) है और (n=19) रखने पर (1425) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं। / (S_n=3n(n+6)), and substituting (n=19) gives (1425). Exam tip: options can be checked quickly too.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
\(S_2=12\) और \(S_3=12\) है जबकि आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (12) है। परीक्षा में शीर्ष के पास छोटे पूर्णांक मान जांचें। / \(S_2=12\) and \(S_3=12\), while the sum decreases afterward, so the maximum is (12). Exam tip: check nearby integer values around the vertex.
(6(12+11d)=4\cdot3(12+5d)) से (d=12) मिलता है। परीक्षा में दोनों योग अलग-अलग लिखकर तुलना करें। / From (6(12+11d)=4\cdot3(12+5d)), (d=12). Exam tip: write both sums separately and then compare.
विषम संख्या पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें। / For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.
कुल (21) पद होंगे और योग (\frac{21}{2}(6+126)=1386) होगा। परीक्षा में समान्तर माध्य जुड़ने पर कुल पदों की संख्या बढ़ती है। / There will be (21) terms, and the sum is (\frac{21}{2}(6+126)=1386). Exam tip: when arithmetic means are inserted, the total number of terms increases.
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
संख्याएँ \(10,16,\ldots,94\) हैं और कुल (15) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली श्रेणी का पहला पद ध्यान से चुनें। / The numbers are \(10,16,\ldots,94\), and there are (15) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder sequence carefully.
इस श्रेणी में \(\frac{S_n}{t_n}=\frac{n+1}{2}\) है इसलिए (n=29)। परीक्षा में अनुपात को सरल रूप में लिखें। / Here \(\frac{S_n}{t_n}=\frac{n+1}{2}\), so (n=29). Exam tip: write the ratio in simplified form.
(S_n=3n(31-n)) है और (n=15) या (n=16) पर अधिकतम (720) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / (S_n=3n(31-n)), and the maximum (720) occurs at (n=15) or (n=16). Exam tip: check integer values near the vertex.
(999=9[2a+85]) से (a=13) मिलता है। परीक्षा में पहले दोनों ओर को (n/2) से भाग दें। / From (999=9[2a+85]), (a=13). Exam tip: first divide both sides by (n/2).
वांछित योग \(S_{25}-S_{15}=1975-735=1240\) है। परीक्षा में बीच के पदों के लिए कुल योगों का अंतर लें। / The required sum is \(S_{25}-S_{15}=1975-735=1240\). Exam tip: use the difference of cumulative sums for middle terms.
दोनों योग बराबर रखने पर (4n+16=2n+42) मिलता है इसलिए (n=13)। परीक्षा में समान (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) को काट सकते हैं। / Equating both sums gives (4n+16=2n+42), so (n=13). Exam tip: when (n) is common, cancel \(\frac{n}{2}\).
अनुपात को योग सूत्र में रखने पर (d=4) मिलता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा ध्यान से करें। / Using the ratio in the sum formula gives (d=4). Exam tip: cross-multiply carefully.
(555=\frac{15}{2}(a+65)) से (a=9) और \(d=\frac{65-9}{14}=4\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (555=\frac{15}{2}(a+65)), (a=9), and \(d=\frac{65-9}{14}=4\). Exam tip: use last term and sum to find the first term.
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
चुने गए (12) पदों का योग (6(2a+245)=1602) देता है इसलिए (a=11)। परीक्षा में चयनित भाग को अलग समान्तर श्रेणी मानें। / The selected (12) terms give (6(2a+245)=1602), so (a=11). Exam tip: treat the selected part as a separate AP.
अनुपात को योग सूत्र में रखने पर (d=6) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को समीकरण में बदलें। / Putting the ratio in the sum formula gives (d=6). Exam tip: convert the ratio into an equation.
अंतिम पद (134) होगा इसलिए \(d=\frac{134-18}{29}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (134), so \(d=\frac{134-18}{29}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
दो समीकरणों से (a=-2) और (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{20}=1100\)। परीक्षा में पदों के योग को (a) और (d) में बदलें। / The two equations give (a=-2) and (d=6), so \(S_{20}=1100\). Exam tip: convert term sums into (a) and (d).
इन योगों से (a=5) और (d=4) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=1539\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) में लिखकर हल करें। / These sums give (a=5) and (d=4), so \(S_{27}=1539\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d).
पद \(112,126,\ldots,350\) हैं और कुल (18) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(112,126,\ldots,350\), making (18) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
यह समान्तर श्रेणी \(44,55,\ldots,297\) है जिसमें (24) पद हैं। परीक्षा में पहले पदों की संख्या निकालें। / This is the AP \(44,55,\ldots,297\) with (24) terms. Exam tip: find the number of terms first.
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
(S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) धनात्मक होने पर अधिकतम (n=34) है। परीक्षा में असमानता हल करके पूर्णांक सीमा लें। / (S_n=\frac{n}{2}(309-9n)) is positive up to (n=34). Exam tip: solve the inequality and then take the integer limit.
\(a_1=S_1=5\) और \(a_2=S_2-S_1=13\) इसलिए (d=8)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) से शुरू करें। / \(a_1=S_1=5\) and \(a_2=S_2-S_1=13\), so (d=8). Exam tip: start with \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
\(t_8=67\), \(t_{26}=193\) और कुल (19) पद हैं इसलिए योग (2470) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_8=67\), \(t_{26}=193\), and there are (19) terms, so the sum is (2470). Exam tip: count the selected terms correctly.
(2208=\frac{n}{2}(8+176)) से (n=24) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं। / From (2208=\frac{n}{2}(8+176)), (n=24). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.
(824=8[28+15d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (824=8[28+15d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
\(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1854-1649=205\) है। परीक्षा में किसी पद के लिए लगातार दो योग घटाएं। / \(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1854-1649=205\). Exam tip: subtract two consecutive sums to find a term.
दो पदों से (d=5) और (a=4) मिलता है इसलिए \(S_{19}=931\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें। / The two terms give (d=5) and (a=4), so \(S_{19}=931\). Exam tip: find (a) and (d) first.
(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
योग सूत्र रखने पर (n=18) मिलता है। परीक्षा में केवल धनात्मक पूर्णांक मूल चुनें। / Using the sum formula gives (n=18). Exam tip: choose only the positive integer root.
(S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688). Exam tip: simplify the bracket first.
कुल पौधे (S_{16}=8[70+15(8)]=1520) हैं। परीक्षा में साप्ताहिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें। / Total plants are (S_{16}=8[70+15(8)]=1520). Exam tip: treat the weekly increase as the common difference.
दोनों योगों के समीकरण हल करने पर (a=-2) और (d=4) मिलता है। परीक्षा में दो योगों से (a) और (d) साथ-साथ निकालें। / Solving the two sum equations gives (a=-2) and (d=4). Exam tip: find (a) and (d) together from two sums.
(11) पदों में (6)वाँ पद मध्य पद है इसलिए \(t_6=\frac{385}{11}=35\)। परीक्षा में विषम पदों की श्रेणी में मध्य पद का उपयोग करें। / In (11) terms, the (6)th term is the middle term, so \(t_6=\frac{385}{11}=35\). Exam tip: use the middle term for an odd number of terms.
समीकरण से \(d=\frac{18}{n+1}\) मिलता है इसलिए एक निश्चित मान नहीं निकलता। परीक्षा में संबंध में बचा हुआ चर देखें। / The equation gives \(d=\frac{18}{n+1}\), so no fixed value is determined. Exam tip: check whether a variable remains in the relation.
(S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) में (n=14) रखने पर (1085) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं। / Substituting (n=14) in (S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) gives (1085). Exam tip: options can be checked quickly too.
ऐसी संख्याएँ \(12,24,\ldots,120\) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
(0=9[2a+17(4)]) से (a=-34) है। परीक्षा में शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखें। / From (0=9[2a+17(4)]), (a=-34). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket to zero.
विषम पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें। / For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.
\(S_1=6\), \(S_2=6\) और आगे योग घटता है इसलिए अधिकतम (6) है। परीक्षा में छोटे पूर्णांक मान जांचें। / \(S_1=6\), \(S_2=6\), and the sum decreases afterward, so the maximum is (6). Exam tip: check small integer values.
\(t_6=50\) और \(t_{25}=126\) हैं इसलिए योग (\frac{20}{2}(50+126)=1760) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें। / \(t_6=50\) and \(t_{25}=126\), so the sum is (\frac{20}{2}(50+126)=1760). Exam tip: count the selected terms correctly.
दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए \(d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}\) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से \(d=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें। / The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
संख्याएँ \(12,17,\ldots,97\) हैं और कुल (18) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली समान्तर श्रेणी का पहला पद सही चुनें। / The numbers are \(12,17,\ldots,97\), and there are (18) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder AP correctly.
समीकरण (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) से (n=23) है। परीक्षा में \(S_n\) और \(t_n\) दोनों अलग लिखें। / The equation (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) gives (n=23). Exam tip: write \(S_n\) and \(t_n\) separately.
अनुपात को योग सूत्र में रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को क्रॉस गुणा करके समीकरण बनाएं। / Putting the ratio in the sum formula gives (d=5). Exam tip: cross-multiply the ratio to form an equation.
यह \(45,42,39,\ldots\) श्रेणी है और (S_{12}=6[90+11(-3)]=342)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें। / This is the AP \(45,42,39,\ldots\), and (S_{12}=6[90+11(-3)]=342). Exam tip: treat the decrease as a negative common difference.
(\frac{n}{2}[8+9(n-1)]=1485) हल करने पर (n=18) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक मूल को छोड़ दें। / Solving (\frac{n}{2}[8+9(n-1)]=1485) gives (n=18). Exam tip: reject the negative root.
(777=7(a+96)) से (a=15) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (777=7(a+96)), (a=15). Exam tip: use the last term and sum to find the first term.
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
योग (S_n=n(103-3n)) है और (n=17) पर अधिकतम (901) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें। / The sum is (S_n=n(103-3n)), and the maximum (901) occurs at (n=17). Exam tip: check integer values near the vertex.
\(a=S_1=8\) और \(a_2=S_2-S_1=20\) है इसलिए (d=12) और (a+d=20)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) निकालें। / \(a=S_1=8\) and \(a_2=S_2-S_1=20\), so (d=12) and (a+d=20). Exam tip: find \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
(1375=\frac{25}{2}(7+l)) से (l=103) है। परीक्षा में (a+l) वाला सूत्र समय बचाता है। / From (1375=\frac{25}{2}(7+l)), (l=103). Exam tip: the (a+l) form saves time.
अंतिम पद (25+19(-2)=-13) है इसलिए औसत \(\frac{25-13}{2}=6\) है। परीक्षा में औसत प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है। / The last term is (25+19(-2)=-13), so the average is \(\frac{25-13}{2}=6\). Exam tip: the average is the average of first and last terms.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
(336=6(a+51)) से (a=5) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद तुरंत निकलता है। / From (336=6(a+51)), (a=5). Exam tip: use last term and sum to get the first term quickly.
दो योगों से (a=3) और (d=5) मिलते हैं इसलिए \(S_{18}=819\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) के रूप में लिखकर हल करें। / The two sums give (a=3) and (d=5), so \(S_{18}=819\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d) and solve.
दिए गए सूत्र में (n=12) रखने पर \(S_{12}=564\) मिलता है। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=12) in the given formula gives \(S_{12}=564\). Exam tip: directly substitute (n) in the given \(S_n\).
(\frac{n}{2}[16+5(n-1)]=775) हल करने पर (n=17) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक पूर्णांक मूल चुनें। / Solving (\frac{n}{2}[16+5(n-1)]=775) gives (n=17). Exam tip: choose the positive integer root.
(810=\frac{15}{2}(19+l)) से (l=89) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद चाहिए हो तो (a+l) वाला सूत्र तेज है। / From (810=\frac{15}{2}(19+l)), (l=89). Exam tip: when the last term is needed, the (a+l) form is fast.
पद \(84,96,\ldots,252\) हैं और कुल (15) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(84,96,\ldots,252\), making (15) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
वांछित योग \(S_{20}-S_{10}=1120-310=810\) है। परीक्षा में बीच के पदों के लिए कुल योगों का अंतर लें। / The required sum is \(S_{20}-S_{10}=1120-310=810\). Exam tip: use the difference of cumulative sums for middle terms.
दो पदों से (d=5) और (a=6) मिलता है इसलिए \(S_{21}=1176\)। परीक्षा में पहले (a) और (d) निकालें। / The two terms give (d=5) and (a=6), so \(S_{21}=1176\). Exam tip: find (a) and (d) first.
\(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1692-1513=179\) है। परीक्षा में किसी पद के लिए लगातार दो योग घटाएं। / \(a_{18}=S_{18}-S_{17}=1692-1513=179\). Exam tip: subtract two consecutive sums to find a term.
योग सूत्र रखने पर समीकरण से (n=9) मिलता है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भी धनात्मक (n) ही लें। / Using the sum formula gives (n=9). Exam tip: even in a decreasing AP, take the positive value of (n).
(S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903). Exam tip: simplify the bracket first.
