In an arithmetic progression the first term is (6) and (S_{12}=4S_6). What is the common difference?एक समान्तर श्रेणी में प्रथम पद (6) है और (S_{12}=4S_6) है। सार्व अंतर क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (12)(12)
The supplied answer is not consistent with the AP calculation, so the correct decision is revise. Let the first term be a = 6 and the common difference be d. The sum formula is S_n = n/2[2a + (n-1)d]. Thus S_12 = 12/2[12 + 11d] = 6(12 + 11d), while S_6 = 6/2[12 + 5d] = 3(12 + 5d). The condition S_12 = 4S_6 gives 6(12 + 11d) = 12(12 + 5d). Dividing by 6 gives 12 + 11d = 24 + 10d, so d = 12. Therefore option C is mathematically supported, not merely by the supplied explanation’s displayed equation. However, the supplied explanation writes 4·3(12+5d), which is correct, and solving it actually gives d = 12. Option A, 8, does not satisfy the equation; option B, 10, also fails; option C, 12, satisfies both sums; option D, 14, fails. The concern is not the answer but that the displayed intermediate equation should be explained more clearly. Memory cue: calculate S_12 and S_6 separately before substituting.दिया गया उत्तर गणना से मेल खाता है, इसलिए विकल्प C, 12, सही है। यहाँ प्रथम पद a = 6 और सार्व अंतर d मानें। योग का सूत्र है S_n = n/2[2a + (n-1)d]। अतः S_12 = 12/2[12 + 11d] = 6(12 + 11d), जबकि S_6 = 6/2[12 + 5d] = 3(12 + 5d)। शर्त S_12 = 4S_6 रखने पर 6(12 + 11d) = 4 × 3(12 + 5d) = 12(12 + 5d)। 6 से भाग देने पर 12 + 11d = 24 + 10d मिलता है, इसलिए d = 12। विकल्प C सही है। विकल्प A, 8, रखने पर दोनों योगों की शर्त पूरी नहीं होती। विकल्प B, 10, भी सही नहीं बैठता। विकल्प D, 14, भी समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। यहाँ दिए गए उत्तर में परिणाम सही है; केवल बीच की गणना को साफ-साफ दिखाना उपयोगी है। याद रखें: पहले S_12 और S_6 अलग-अलग निकालें, फिर S_12 = 4S_6 लगाएँ।
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