In an arithmetic progression, the first term is 9 and S₆ : S₁₂ = 2 : 7. What is the common difference?किसी समान्तर श्रेणी में प्रथम पद 9 है और S₆ : S₁₂ = 2 : 7 है। सार्व अंतर क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 66
Answer: C, d = 6. Use S_n = n/2[2a + (n − 1)d] with a = 9. For six terms, S_6 = 6/2[18 + 5d] = 3(18 + 5d) = 54 + 15d. For twelve terms, S_12 = 12/2[18 + 11d] = 6(18 + 11d) = 108 + 66d. The ratio condition gives (54 + 15d)/(108 + 66d) = 2/7. Cross-multiply: 7(54 + 15d) = 2(108 + 66d), so 378 + 105d = 216 + 132d. Rearranging gives 162 = 27d, hence d = 6. Check: S_6 = 54 + 90 = 144 and S_12 = 108 + 396 = 504; 144:504 reduces by 72 to 2:7. Therefore option C is correct. Options A, B, and D fail this ratio check. The ratio applies to complete partial sums, not directly to individual terms.उत्तर: C, d = 6। यहाँ a = 9 है और समान्तर श्रेणी के योग का सूत्र S_n = n/2[2a + (n − 1)d] है। छह पदों के लिए S_6 = 6/2[18 + 5d] = 3(18 + 5d) = 54 + 15d। बारह पदों के लिए S_12 = 12/2[18 + 11d] = 6(18 + 11d) = 108 + 66d। दिए गए अनुपात से (54 + 15d)/(108 + 66d) = 2/7। क्रॉस गुणा करने पर 7(54 + 15d) = 2(108 + 66d), अर्थात 378 + 105d = 216 + 132d। इसलिए 162 = 27d और d = 6। जाँच: S_6 = 144 तथा S_12 = 504; 144:504 को 72 से सरल करने पर 2:7 मिलता है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D इस अनुपात को संतुष्ट नहीं करते। ध्यान दें कि दिया गया अनुपात पूर्ण आंशिक योगों का है, सीधे पदों का अनुपात नहीं।
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