Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) है। परीक्षा में (a), (b), (c) को सही पहचानना सबसे जरूरी है। / The quadratic formula is \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). In exams, identifying (a), (b), and (c) correctly is most important.
\(a_{36}=8\times36+15=303\)। बने हुए सूत्र में (n=36) रखकर सीधे उत्तर पाएं। / \(a_{36}=8\times36+15=303\). Put (n=36) in the formed formula to get the answer directly.
सी आर योजना 1944 से जुड़ी है। इसे स्वतंत्रता से पहले कांग्रेस और लीग समझौते के प्रयास से याद रखें। / The C R Formula is associated with 1944. Remember it as an attempt at Congress-League settlement before independence.
संख्या रेखा पर दूरी (|a-b|) होती है। निरपेक्ष मान दूरी को धनात्मक बनाता है। / The distance on the number line is (|a-b|). Absolute value makes the distance positive.
यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-14)2-4(1)(13)=144), इसलिए \(x=\frac{14\pm12}{2}\) से (1) और (13) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-14)2-4(1)(13)=144), so \(x=\frac{14\pm12}{2}\) gives (1) and (13). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-19)2-4(1)(56)=137), इसलिए \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-19)2-4(1)(56)=137), so \(x=\frac{19\pm\sqrt{137}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-12)2-4(1)(11)=100), इसलिए \(x=\frac{12\pm10}{2}\) से (1) और (11) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-12)2-4(1)(11)=100), so \(x=\frac{12\pm10}{2}\) gives (1) and (11). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
यहां (D=(-16)2-4(1)(37)=108), इसलिए \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-16)2-4(1)(37)=108), so \(x=\frac{16\pm6\sqrt{3}}{2}=8\pm3\sqrt{3}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-10)2-4(1)(7)=72), इसलिए \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-10)2-4(1)(7)=72), so \(x=\frac{10\pm6\sqrt{2}}{2}=5\pm3\sqrt{2}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-13)2-4(1)(22)=81), इसलिए \(x=\frac{13\pm9}{2}\) है। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल होता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(22)=81), so \(x=\frac{13\pm9}{2}\). In exams, if (D) is a perfect square, the answer simplifies quickly.
(D=(-8)2-4(1)(3)=52), इसलिए \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-8)2-4(1)(3)=52), so \(x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है। / Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
(D=(-4)2-4(1)(1)=12), इसलिए \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-4)2-4(1)(1)=12), so \(x=\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify the square root.
यहां (D=32-4(1)(-3)=21), इसलिए \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-3) का संकेत सही रखें। / Here (D=32-4(1)(-3)=21), so \(x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-3) correct.
(D=(-14)2-4(1)(45)=16), इसलिए \(x=\frac{14\pm4}{2}\) से (5) और (9) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-14)2-4(1)(45)=16), so \(x=\frac{14\pm4}{2}\) gives (5) and (9). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-10)2-4(1)(24)=4), इसलिए \(x=\frac{10\pm2}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-10)2-4(1)(24)=4), so \(x=\frac{10\pm2}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=22-4(1)(-2)=12), इसलिए \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करें। / Here (D=22-4(1)(-2)=12), so \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
(D=(-10)2-4(1)(21)=16), इसलिए \(x=\frac{10\pm4}{2}\) से (3) और (7) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-10)2-4(1)(21)=16), so \(x=\frac{10\pm4}{2}\) gives (3) and (7). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
यहां (D=(-8)2-4(1)(12)=16), इसलिए \(x=\frac{8\pm4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-8)2-4(1)(12)=16), so \(x=\frac{8\pm4}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=1-4(1)(-1)=5), इसलिए \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-1) का संकेत सही रखें। / Here (D=1-4(1)(-1)=5), so \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-1) correct.
\(x^2+x-1=0\) के सरल पूर्णांक गुणनखंड नहीं मिलते, इसलिए सूत्र विधि आसान है। परीक्षा में ऐसे मामलों में द्विघात सूत्र सुरक्षित रहता है। / \(x^2+x-1=0\) has no simple integer factors, so the formula method is easier. In exams, the quadratic formula is safe in such cases.
(D=(-6)2-4(1)(8)=4), इसलिए \(x=\frac{6\pm2}{2}\) से (2) और (4) मिलते हैं। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-6)2-4(1)(8)=4), so \(x=\frac{6\pm2}{2}\) gives (2) and (4). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), इसलिए \(x=\frac{4\pm6}{2}\) मिलता है। परीक्षा में सूत्र लगाते समय (c) का ऋण चिन्ह न भूलें। / Here (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), so \(x=\frac{4\pm6}{2}\). In exams, do not forget the negative sign of (c) while using the formula.
द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंदर \(b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में इसे विविक्तकर (D) भी कहते हैं। / In the quadratic formula, the part inside the square root is \(b^2-4ac\). In exams, it is also called the discriminant (D).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=5), (b=2), (c=-7) हैं। परीक्षा में (c) का संकेत जरूर देखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=5), (b=2), and (c=-7). In exams, always check the sign of (c).
द्विघात सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) में हर (2a) होता है। परीक्षा में (2a) भूलना सामान्य गलती है। / In \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), the denominator is (2a). In exams, forgetting (2a) is a common mistake.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=4), (b=-3), (c=-1) हैं। परीक्षा में (b) और (c) के चिन्ह जरूर लिखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=4), (b=-3), and (c=-1). In exams, write the signs of (b) and (c) carefully.
\(b^2-4ac\) को विविक्तकर कहते हैं और यह मूलों की प्रकृति बताता है। परीक्षा में इसे (D) से भी लिखा जाता है। / \(b^2-4ac\) is called the discriminant and it tells the nature of roots. In exams, it is also written as (D).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से (a=3), (b=5), (c=-2) हैं। परीक्षा में (c) का संकेत जरूर देखें। / From standard form \(ax^2+bx+c=0\), (a=3), (b=5), and (c=-2). In exams, always check the sign of (c).
A. क्षेत्र समूह मुद्दा नेतृत्व और स्वराज अर्थ को साथ पढ़ना/Studying region group issue leadership and meaning of swaraj together
Step 1
Concept
इस उपविषय में अवध गुडेम और असम जैसे क्षेत्र हैं। / This subtopic includes regions like Awadh Gudem and Assam.
Step 2
Why this answer is correct
हर क्षेत्र में समूह और मुद्दा अलग है। / Each region has a different group and issue.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों के लिए क्षेत्र समूह मुद्दा नेतृत्व और अर्थ की कड़ी बनाएं। / For hard questions make a chain of region group issue leadership and meaning.
A. प्रत्यक्ष शासन में विदेशी प्रशासन अधिक खुला होता है जबकि अप्रत्यक्ष शासन स्थानीय मध्यस्थों से चलता है/Direct rule has more open foreign administration while indirect rule works through local intermediaries
Explanation
Simple Explanation
अप्रत्यक्ष शासन में स्थानीय शासक औपनिवेशिक नियंत्रण का माध्यम बनते थे। परीक्षा में नाइजीरिया उदाहरण याद रखें। / In indirect rule local rulers became a medium of colonial control. For exams remember Nigeria as an example.
A. प्रत्यक्ष शासन में सीधा प्रशासन और अप्रत्यक्ष में स्थानीय शासकों के माध्यम से नियंत्रण/Direct rule used direct administration and indirect rule used control through local rulers
Explanation
Simple Explanation
दोनों औपनिवेशिक नियंत्रण के अलग तरीके थे। परीक्षा में प्रशासन की विधियों को उदाहरणों के साथ याद रखें। / Both were different methods of colonial control. For exams remember administrative methods with examples.
A. कंपनी शासन में व्यापारिक कंपनी नियंत्रण करती थी जबकि राजकीय शासन में राज्य सीधे शासन करता था/In company rule a trading company controlled while in state rule the state ruled directly
Explanation
Simple Explanation
कंपनी शासन व्यापार से सत्ता में बदल सकता था। परीक्षा में ईस्ट इंडिया कंपनी और ब्रिटिश राज का क्रम याद रखें। / Company rule could change from trade to power. For exams remember the sequence of East India Company and British Raj.
A. विदेशी शक्ति द्वारा सीधे प्रशासन चलाना/Direct administration by a foreign power
Explanation
Simple Explanation
प्रत्यक्ष शासन में औपनिवेशिक शक्ति प्रशासन सीधे नियंत्रित करती है। परीक्षा में direct rule और indirect rule का अंतर समझें। / In direct rule the colonial power directly controls administration. For exams understand the difference between direct rule and indirect rule.
डायरेक्ट एक्शन डे 16 अगस्त 1946 से जुड़ा है। परीक्षा में विभाजन से पहले की प्रमुख घटनाओं की तारीखें याद रखें। / Direct Action Day is associated with 16 August 1946. For exams remember dates of major events before partition.
A. साम्प्रदायिक हिंसा और अविश्वास बहुत बढ़ गया/Communal violence and distrust increased sharply
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने राजनीतिक समझौते को कठिन बनाया। परीक्षा में विभाजन की पृष्ठभूमि समझें। / The violence of 1946 made political compromise difficult. Exam tip: understand the background of Partition.
A. शीघ्र सत्ता हस्तांतरण और विभाजन समाधान की ओर दबाव/Pressure toward quick transfer of power and partition solution
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने संयुक्त समाधान को कठिन बनाया। परीक्षा में सत्ता हस्तांतरण की पृष्ठभूमि समझें। / The violence of 1946 made a united solution difficult. Exam tip: understand background of transfer of power.
A. विभाजन की दिशा और शीघ्र निर्णय का दबाव बढ़ा/It increased pressure toward partition and quick decision
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने संयुक्त समाधान को कठिन किया। परीक्षा में सत्ता हस्तांतरण की पृष्ठभूमि याद रखें। / The violence of 1946 made a united solution difficult. Exam tip: remember the background of transfer of power.
A. साम्प्रदायिक तनाव और अविश्वास बढ़ गया/Communal tension and distrust increased
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने संयुक्त समाधान को और कठिन बनाया। परीक्षा में प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस को विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 made a united solution more difficult. Exam tip: connect Direct Action Day with background of Partition.
A. साम्प्रदायिक हिंसा ने विश्वास और संयुक्त समाधान को कमजोर किया/Communal violence weakened trust and a united solution
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने समझौते की संभावना घटाई। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 reduced the chance of compromise. Exam tip is to link it with the background of Partition.
A. साम्प्रदायिक हिंसा से विभाजन की संभावना मजबूत हुई/Communal violence strengthened the possibility of partition
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने समझौते की संभावना कमजोर की। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 weakened the possibility of compromise. Exam tip is to link it with the background of Partition.
A. साम्प्रदायिक ध्रुवीकरण और विभाजन की ओर/Toward communal polarisation and partition
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने संयुक्त समाधान की संभावना को कमजोर किया। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 weakened the possibility of a united solution. Exam tip: connect it with background of partition.
1946 की हिंसा ने विभाजन की दिशा को और तेज किया। परीक्षा में प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस को विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 accelerated the move toward partition. Exam tip: connect Direct Action Day with background of partition.
A. साम्प्रदायिक हिंसा और अविश्वास बढ़ गया/Communal violence and distrust increased
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने विभाजन की आशंका को बढ़ाया। परीक्षा में इसे 1947 की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 increased the fear of Partition. Exam tip is to link it with the background of 1947.
A. साम्प्रदायिक तनाव बढ़ा और विभाजन की संभावना तेज हुई/Communal tension increased and possibility of partition grew
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने राजनीतिक विभाजन को और गहरा किया। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 deepened political division. Exam tip: connect it with background of partition.
A. साम्प्रदायिक तनाव और विभाजन की आशंका बढ़ी/Communal tension and fear of partition increased
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने राजनीतिक समझौते को कठिन बनाया। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 made political compromise difficult. Exam tip is to link it with the background of Partition.
प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस मुस्लिम लीग द्वारा घोषित किया गया था। परीक्षा में 1946 और विभाजन राजनीति याद रखें। / Direct Action Day was declared by the Muslim League. Exam tip: remember 1946 and partition politics.
डायरेक्ट एक्शन डे 1946 में हुआ था। परीक्षा में इसे विभाजन से पहले बढ़ते साम्प्रदायिक तनाव से जोड़ें। / Direct Action Day took place in 1946. Exam tip is to link it with rising communal tension before Partition.
A. साम्प्रदायिक ध्रुवीकरण और विभाजन की ओर/Toward communal polarisation and partition
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने संयुक्त समाधान की संभावना को कमजोर किया। परीक्षा में प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस को विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 weakened the possibility of a united solution. Exam tip: connect Direct Action Day with the background of partition.
A. साम्प्रदायिक हिंसा और विभाजन की संभावना बढ़ी/Communal violence and possibility of partition increased
Explanation
Simple Explanation
1946 की हिंसा ने राजनीतिक समझौते को और कठिन बनाया। परीक्षा में इसे विभाजन की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The violence of 1946 made political compromise more difficult. Exam tip is to connect it with the background of partition.
A. साम्प्रदायिक तनाव और विभाजन की संभावना बढ़ी/Communal tension and possibility of partition increased
Explanation
Simple Explanation
1946 की घटनाओं ने विभाजन की दिशा को और तेज किया। परीक्षा में प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस को विभाजन राजनीति से जोड़ें। / The events of 1946 accelerated the move toward partition. Exam tip: connect Direct Action Day with partition politics.
प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस मुस्लिम लीग ने घोषित किया था। परीक्षा में इसे 1946 की विभाजन राजनीति से जोड़ें। / Direct Action Day was declared by the Muslim League. Exam tip: connect it with partition politics of 1946.
प्रत्यक्ष कार्रवाई दिवस 1946 में मुस्लिम लीग द्वारा मनाया गया था। परीक्षा में इसे विभाजन की राजनीति से जोड़ें। / Direct Action Day was observed by the Muslim League in 1946. Exam tip: connect it with the politics of partition.
विविक्तकर हमेशा \(D=b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में सूत्र लिखने से पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The discriminant is always \(D=b^2-4ac\). In exams identify (a), (b), and (c) before using the formula.
यहां (D=(-10)2-4(5)(-3)=160) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण दूसरा पद जुड़ता है। / Here (D=(-10)2-4(5)(-3)=160). In exams, a negative (c) makes the second term add.
यहां (D=(-6)2-4(3)(-2)=60) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण दूसरा पद जुड़ता है। / Here (D=(-6)2-4(3)(-2)=60). In exams, a negative (c) makes the second term add.
यहां (D=(-4)2-4(2)(-3)=40) है। परीक्षा में ऋणात्मक (c) के कारण जोड़ बनता है। / Here (D=(-4)2-4(2)(-3)=40). In exams, a negative (c) makes the term add.
(x-2-3x+2=(x-1)(x-2)) इसलिए मूल (1) और (2) हैं। छोटे अंकों में गुणनखंडन तेज रहता है। / (x-2-3x+2=(x-1)(x-2)) so the roots are (1) and (2). For small numbers factorisation is faster.
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो/Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। / First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। / Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें। / Finally write the contradiction with coprimality.
\(S_{25}=\frac{25}{2}[18+120]=1725\) है। कोष्ठक के अंदर (2a) और ((n-1)d) अलग-अलग जोड़ें। / \(S_{25}=\frac{25}{2}[18+120]=1725\). Add (2a) and ((n-1)d) separately inside the bracket.
(50=36+p) से (p=14) और \(a_{27}=81+14=95\)। पहले स्थिरांक निकालें फिर मांगा पद रखें। / From (50=36+p), (p=14) and \(a_{27}=81+14=95\). First find the constant, then substitute the required term number.
(-44=10-3n) से (3n=54) इसलिए (n=18)। प्रत्यक्ष सूत्र में समीकरण को सीधे हल करें। / From (-44=10-3n), (3n=54) so (n=18). Solve the direct formula equation directly.
स्थान अंतर (18-11=7) और (d=13) है इसलिए अंतर \(7\times13=91\)। दोनों पद अलग से निकालना जरूरी नहीं। / The position gap is (18-11=7) and (d=13) so the difference is \(7\times13=91\). You do not need to find both terms separately.
(n=1) रखने पर \(a_1=15\) और (n) का गुणांक (4) ही (d) है। प्रत्यक्ष सूत्र से दोनों मान तुरंत मिलते हैं। / Putting (n=1), \(a_1=15\) and the coefficient of (n) is (d=4). The direct formula gives both values quickly.
\(a_{26}=95-5\times26=-35\)। घटते सूत्र में घटाव के बाद चिन्ह जांचें। / \(a_{26}=95-5\times26=-35\). In a decreasing formula check the sign after subtraction.
(n=34) रखने पर \(a_{34}=6\times34+7=211\)। प्रत्यक्ष सूत्र में केवल सही (n) रखें। / Putting (n=34), \(a_{34}=6\times34+7=211\). Substitute only the correct value of (n) in the direct formula.
(-35=7-2n) से (2n=42) इसलिए (n=21)। प्रत्यक्ष सूत्र में समीकरण सीधा हल करें। / From (-35=7-2n), (2n=42) so (n=21). Solve the direct formula equation directly.
स्थान अंतर (15-9=6) है और (d=11) है इसलिए अंतर \(6\times11=66\)। ऐसे प्रश्न में दोनों पद अलग से निकालना जरूरी नहीं। / The position gap is (15-9=6) and (d=11), so the difference is \(6\times11=66\). You do not need to find both terms separately.
(n=1) रखने पर \(a_1=1\) और (n) का गुणांक (3) ही (d) है। प्रत्यक्ष सूत्र से दोनों मान तुरंत मिलते हैं। / Putting (n=1), \(a_1=1\) and the coefficient of (n) is (d=3). The direct formula gives both values quickly.
\(a_{23}=82-4\times23=-10\)। घटते प्रत्यक्ष सूत्र में घटाव को ध्यान से करें। / \(a_{23}=82-4\times23=-10\). Do subtraction carefully in a decreasing direct formula.
(n=26) रखने पर \(a_{26}=5\times26+8=138\)। प्रत्यक्ष सूत्र में सही पद संख्या रखें। / Putting (n=26), \(a_{26}=5\times26+8=138\). Substitute the correct term number in the direct formula.
\(a_{32}=6\times32+5=197\)। बनाए गए सूत्र में (n) का सही मान रखें। / \(a_{32}=6\times32+5=197\). Substitute the correct value of (n) in the formed formula.
(-10=50-4n) से (4n=60), अतः (n=15)। प्रत्यक्ष सूत्र में समीकरण को सीधे हल करें। / From (-10=50-4n), (4n=60), so (n=15). Solve the direct formula equation directly.
(a_{11}-a_5=(101)-(47)=54), या \(6d=6\times9=54\)। पदों के अंतर में स्थानों का अंतर उपयोग करें। / (a_{11}-a_5=(101)-(47)=54), or \(6d=6\times9=54\). Use the difference of positions for term differences.
(n=1) रखने पर \(a_1=7\) और लगातार पदों का अंतर (2) है। प्रत्यक्ष सूत्र में (d) (n) के गुणांक से मिलता है। / Putting (n=1), \(a_1=7\), and consecutive terms differ by (2). In a direct formula, (d) is the coefficient of (n).
\(a_{22}=7-3\times22=-59\)। घटते प्रत्यक्ष सूत्र में ऋण चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / \(a_{22}=7-3\times22=-59\). Pay special attention to the negative sign in a decreasing direct formula.
A. आर्द्रभूमि में पक्षियों और जलीय जीवों का रहना/Birds and aquatic life living in wetlands
Explanation
Simple Explanation
आर्द्रभूमि अनेक जीवों को आवास और भोजन देती है। परीक्षा में जल निकायों को जैव विविधता से जोड़ें। / Wetlands provide habitat and food to many organisms. Exam tip: link water bodies with biodiversity.
A. रेखा को उसी दिशा में प्रवाहित करना/Flow the line in the same direction
Explanation
Simple Explanation
वस्तु की दिशा के साथ रेखा आंख को सही मार्ग देती है। परीक्षा में दिशा और प्रवाह साथ देखें। / A line along the object's direction guides the eye correctly. In exams observe direction and flow together.
घने बिंदु गहरा मान बनाते हैं। परीक्षा में stippling में density को value से जोड़ें। / Dense dots create darker value. Exam tip: connect density with value in stippling.
A. मुहाने पर गाद निक्षेप से मुख्य धारा का विभाजन/Division of main channel by silt deposition at the mouth
Explanation
Simple Explanation
डेल्टा में निक्षेपण नदी को कई वितरिकाओं में बांट देता है। परीक्षा में वितरिका और डेल्टा संबंध याद रखें। / Deposition in a delta divides the river into many distributaries. For exams remember the distributary and delta relation.
C. जलोढ़ मिट्टी और नदी जल/Alluvial soil and river water
Explanation
Simple Explanation
गंगा का मैदान जलोढ़ मिट्टी और नदी जल के कारण कृषि के लिए उपयोगी है। परीक्षा में गंगा मैदान को उपजाऊ मैदान याद रखें। / The Ganga Plain is useful for agriculture due to alluvial soil and river water. For exams remember it as a fertile plain.
A. इसमें औपचारिक स्वतंत्रता के बाद भी आर्थिक या राजनीतिक प्रभाव बना रह सकता है/Economic or political influence may continue after formal independence
Explanation
Simple Explanation
नवउपनिवेशवाद में प्रत्यक्ष शासन नहीं लेकिन निर्भरता रह सकती है। परीक्षा में आर्थिक सहायता व्यापार और निवेश के प्रभाव याद रखें। / Neo colonialism has no direct rule but dependence can remain. For exams remember effects of aid trade and investment.
A. आर्थिक सहायता व्यापार और निवेश के माध्यम से/Through aid trade and investment
Explanation
Simple Explanation
नवउपनिवेशवाद में आर्थिक और राजनीतिक प्रभाव स्वतंत्रता के बाद भी रह सकता है। परीक्षा में निर्भरता समझें। / In neo colonialism economic and political influence can remain after independence. For exams understand dependence.
A. जटिल अंतरराष्ट्रीय प्रश्नों पर जनमत के दीर्घकालिक परिणाम गहरे हो सकते हैं/Referendums on complex international issues can have deep long term effects
Explanation
Simple Explanation
ब्रेक्सिट ने संप्रभुता अर्थव्यवस्था और पहचान की बहस को तेज किया। परीक्षा में इसे आधुनिक यूरोपीय राजनीति से जोड़ें। / Brexit intensified debate on sovereignty economy and identity. For exams connect it with modern European politics.
A. पश्चिमी शक्तियों ने हवाई आपूर्ति से नाकेबंदी का जवाब दिया/Western powers answered blockade through air supply
Explanation
Simple Explanation
बर्लिन एयरलिफ्ट ने संकल्प और संयम दोनों दिखाए। परीक्षा में इसे बर्लिन नाकेबंदी से जोड़ें। / The Berlin Airlift showed both resolve and restraint. For exams connect it with the Berlin Blockade.
A. जवाबी परमाणु विनाश के डर ने सावधानी पैदा की/Fear of retaliatory nuclear destruction created caution
Explanation
Simple Explanation
परमाणु भय ने प्रत्यक्ष युद्ध को रोका लेकिन प्रतिनिधि युद्ध बढ़े। परीक्षा में प्रतिरोध और प्रतिनिधि युद्ध को साथ समझें। / Nuclear fear prevented direct war but proxy wars increased. Exam tip: understand deterrence and proxy wars together.
A. क्योंकि अमेरिका और सोवियत संघ सीधे बड़े युद्ध में नहीं भिड़े/Because the USA and USSR did not fight a major direct war
Explanation
Simple Explanation
शीत युद्ध में पूंजीवाद और साम्यवाद के बीच तनाव था। परीक्षा में इसे प्रत्यक्ष युद्ध के बजाय गुटीय प्रतिस्पर्धा मानें। / The Cold War involved tension between capitalism and communism. For exams, treat it as bloc rivalry rather than direct war.
A. अन्यायपूर्ण अलगाव को नैतिक और राजनीतिक रूप से उजागर करना/Exposing unjust segregation morally and politically
Explanation
Simple Explanation
अहिंसक आंदोलन ने नस्लीय अन्याय को सार्वजनिक मुद्दा बनाया। परीक्षा में मार्टिन लूथर किंग जूनियर याद रखें। / Nonviolent movement made racial injustice a public issue. Exam tip: remember Martin Luther King Jr.
A. महाशक्तियां परमाणु युद्ध से बचते हुए प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं/Superpowers wanted influence while avoiding nuclear war
Explanation
Simple Explanation
अमेरिका और सोवियत संघ ने कई क्षेत्रों में अप्रत्यक्ष संघर्ष किए। परीक्षा में कोरिया और वियतनाम को उदाहरण मानें। / The USA and Soviet Union fought indirectly in many regions. Exam tip: use Korea and Vietnam as examples.
