A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Step 1
Concept
Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर / By shifting (2) units right. Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
Step 3
Exam Tip
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है।
In the line (y=3), the value of (y) is (3) for every (x). So it is a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नियत फलन (f(x)=3) / Constant function (f(x)=3). In the line (y=3), the value of (y) is (3) for every (x). So it is a constant function.
Step 3
Exam Tip
रेखा (y=3) में (y) का मान हर (x) के लिए (3) है। इसलिए यह नियत फलन है।
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\) / Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\). The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: \(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता।
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
For odd degree continuous polynomials, check end behavior. चरण 1: \(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें।
A. हाँ क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) है/Yes because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
Take any real number (y) in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt[3]{y-1}\) is real and gives \(x^3+1=y\).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic function does not destroy onto property over \(\mathbb{R}\). चरण 1: सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। चरण 2: \(x=\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक है और \(x^3+1=y\) देता है। चरण 3: घन फलन में ऊर्ध्व स्थानांतरण सर्वाच्छादकता नहीं हटाता।
Simple odd-power polynomial functions often cover the whole real codomain. चरण 1: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: तब (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3=y) मिल जाता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बहुपद अक्सर पूरे वास्तविक सहप्रांत को ढकते हैं।
\(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Such cubic functions cover all real values. चरण 1: \(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। चरण 2: \(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं।
For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
In exams, cubic functions often cover all real values. चरण 1: आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। चरण 2: \(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं।
From \(y=3x^3-2\), we get \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\).
Step 2
Why this answer is correct
This is real for every real (y), so the function is onto. The cubic function is increasing, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
Cube roots are defined for every real number. चरण 1: \(y=3x^3-2\) से \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\) मिलता है। चरण 2: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादी है। घन फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी भी है। चरण 3: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है।
This gives \(x=\sqrt[3]{y+2}\), valid for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic function remains onto \(\mathbb{R}\). चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x^3-2=y\) रखें। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए मान्य है। चरण 3: घन फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव होने पर भी आच्छादीपन बना रहता है।
A. हर (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है/For every (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
Put (f(x)=y), giving \(x^3+1=y\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
A cubic form can obtain all real values. चरण 1: (f(x)=y) रखने पर \(x^3+1=y\) मिलता है। चरण 2: इससे \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: घन रूप में सभी वास्तविक मान प्राप्त हो सकते हैं।
To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Even a cubic function can repeat values if it has turning points. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। चरण 3: घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं।
A cubic function is not always one-one; turning behaviour can create repeated values. चरण 1: दो अलग इनपुटों के मान जांचें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। चरण 3: घन फलन भी हर बार एकैकी नहीं होता; उसमें मोड़ होने पर समान मान आ सकते हैं।
It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone. चरण 1: अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। चरण 2: यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। चरण 3: घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है।
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions. चरण 1: एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। चरण 2: (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है।
Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is always one-one. चरण 1: \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है।
\(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity. चरण 1: \(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। चरण 2: \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती।
This simple odd-power rule remains one-one on integers. चरण 1: घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। चरण 3: विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है।
Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। चरण 3: जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है।
The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Simple increasing odd-power functions are often one-one. चरण 1: घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं।
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
If many inputs give the same output, the function is not one-one. चरण 1: (f(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1))। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। चरण 3: एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता।
This is the safest method to prove one-one in written exams. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखें। चरण 2: \(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है।
A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: \(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है।
From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। चरण 3: घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है।
The basic odd-power cubic function is one-one on integers. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। चरण 3: विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है।
A basic cubic function and its translation keep the one-one property. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। चरण 3: सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं।
Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a cube function keeps it one-one. चरण 1: \(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। चरण 2: (2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। चरण 3: घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है।
\(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
Linear transformations of a basic cubic function remain one-one. चरण 1: \(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। चरण 2: (2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। चरण 3: सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं।
\(x^3\) is an increasing function on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
The basic odd-power cubic function is one-one. चरण 1: \(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: अगर \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: विषम घात का सरल घन फलन एकैकी होता है।
(f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0), and (f\(-\sqrt{3}\)=0), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
A cubic polynomial goes from very negative to very positive values, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
A cubic function need not always be one-one. चरण 1: (f(0)=0), (f\(\sqrt{3}\)=0) और (f\(-\sqrt{3}\)=0) से एकैकीपन टूटता है। चरण 2: घन बहुपद के मान बहुत ऋणात्मक से बहुत धनात्मक तक जाते हैं इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। चरण 3: घन फलन हमेशा एकैकी हो यह जरूरी नहीं है।
The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: \(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है।
The cubic ((x-2)3) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
Shifting does not change bijectivity. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती।
Then \(y+1=2x^3\), so \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
In inverse questions, isolate (x) first and then change the variable. चरण 1: \(y=2x^3-1\) मानें। चरण 2: \(y+1=2x^3\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\)। चरण 3: प्रतिलोम में पहले (x) को अलग करें, फिर चर बदलें।
In inverse values, we find the input from the output. चरण 1: (f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए \(x^3=8\)। चरण 2: (x=2) रखने पर \(2^3=8\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम मान में निर्गत से आगत खोजा जाता है।
A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation like equality
Step 1
Concept
For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
So the relation behaves like equality.
Step 3
Exam Tip
Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। चरण 2: इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। चरण 3: समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7}). चरण 1: \(y=x^3-7\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y+7\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y+7}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7})।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(4)) के लिए \(x^3-4=4\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}). चरण 1: \(y=x^3+5\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y-5\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y-5}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5})।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(10)) के लिए \(x^3+2=10\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(7)) के लिए \(x^3-1=7\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिल जाता है/Yes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y+2}\) exists
Step 1
Concept
For onto, every real (y) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
From \(x^3-2=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y+2}\).
Step 3
Exam Tip
This is real for every real (y), so the function is onto. चरण 1: आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। चरण 2: \(x^3-2=y\) से \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है। चरण 3: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है।
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है/Yes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
For onto, every real (y) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
From \(x^3+1=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
This is real for every real (y), so the function is onto. चरण 1: आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। चरण 2: \(x^3+1=y\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। चरण 3: यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है।
For \(x^3\), different real inputs give different outputs, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
Hence every (y) has a preimage, so the function is onto as well. चरण 1: \(x^3\) में (x) बढ़ने पर मान भी अलग-अलग ढंग से बदलता है, इसलिए यह एक-एकी है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक है। चरण 3: इसलिए हर (y) की पूर्वछवि मिलती है और फलन आच्छादक भी है।
