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दिया है: \(H(t)=30+6t\)। \(t=5\) रखने पर \(H(5)=30+6(5)=30+30=60\) cm। इसलिए सही उत्तर 60 cm है। 66 cm तब मिलता यदि \(30+6\times6\) किया जाता, पर यहाँ \(t=5\) है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर जोड़ें। / Given \(H(t)=30+6t\). Substituting \(t=5\), \(H(5)=30+6(5)=30+30=60\) cm. Therefore, 60 cm is correct. 66 cm would result from using \(t=6\), but the given value is \(t=5\). Exam tip: after substitution, perform multiplication before addition.
दिया है: \(W(t)=180-12t\)। \(t=9\) रखने पर \(W(9)=180-12(9)=180-108=72\) लीटर। इसलिए सही उत्तर 72 लीटर है। 84 लीटर तब मिलता यदि कमी 12 लीटर प्रति समय के बजाय 96 लीटर कुल मान ली जाती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में पहले समय का मान सूत्र में रखकर गुणा करें, फिर आरंभिक मात्रा में से घटाएँ। / Given \(W(t)=180-12t\). Substituting \(t=9\), \(W(9)=180-12(9)=180-108=72\) litres. Therefore, 72 litres is correct. The nearby distractor 84 litres does not result from substituting 9 correctly in the given expression. Exam tip: in a linear decay expression, substitute the time value first, multiply, and then subtract the decrease from the initial amount.
\(P(n)=72-5n\) में n का गुणांक −5 है, इसलिए n में 1 बढ़ने पर P का परिवर्तन −5 होता है। \(72-5n^2\) में n² होने से ह्रास रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में चर की घात 1 होती है। / In \(P(n)=72-5n\), the coefficient of n is −5, so increasing n by 1 changes P by −5. \(72-5n^2\) is not linear because it contains n². Exam tip: a linear expression has the variable to power 1.
A. मात्रा प्रत्येक समय-इकाई में 5 इकाई घटती है/The quantity decreases by 5 units per unit of time.
Explanation
Simple Explanation
\(t\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए समय 1 इकाई बढ़ने पर \(R\) 5 इकाई कम होता है। 90 प्रारम्भिक मात्रा है, वृद्धि की दर नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक क्षय दर्शाता है। / The coefficient of \(t\) is \(-5\), so when time increases by 1 unit, \(R\) falls by 5 units. Here 90 is the initial amount, not the rate of growth. Exam tip: a negative coefficient indicates decay.
दिया है कि बचत राशि \(S(m)=400+60m\) है। \(S(m)=760\) रखने पर \(400+60m=760\) मिलता है। अतः \(60m=360\), इसलिए \(m=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 महीने है। 5 महीने बाद राशि \(700\) रुपये होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में किसी निश्चित राशि के लिए पहले \(S(m)\) को उस राशि के बराबर रखें। / The savings model is \(S(m)=400+60m\). Put \(S(m)=760\): \(400+60m=760\). Thus, \(60m=360\), so \(m=6\). Therefore, the amount will be ₹760 after 6 months. After 5 months, the amount would be ₹700, so that option is incorrect. Exam tip: To find the time for a given value in a linear model, equate the model to the target value first.
बैटरी का प्रतिशत 50 होने के लिए \(B(h)=50\) रखें। अतः \(120-10h=50\), इसलिए \(10h=70\) और \(h=7\) मिलता है। \(h=6\) पर बैटरी 60% होगी, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में पहले दिए गए मान के बराबर मॉडल रखें, फिर चर को हल करें। / Set \(B(h)=50\) because the battery level is required to be 50%. Thus, \(120-10h=50\), so \(10h=70\) and \(h=7\). At \(h=6\), the battery level would be 60%, so that option is not correct. Exam tip: In linear decay questions, equate the model to the required value first and then solve for the variable.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ \(a=42\) तथा \(b=+5\) है, इसलिए नियम \(y=42+5x\) होगा। विकल्प A में \(-5\) होने से मान बढ़ने के बजाय घटता है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए नियत पद और वृद्धि/ह्रास के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, \(a=42\) and \(b=+5\), so the rule is \(y=42+5x\). In option A, \(-5\) represents decay rather than growth. Exam tip: identify the constant term for the initial value and the coefficient of \(x\) for the rate of change.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ आरंभिक मान \(210\) है और हर चरण में \(14\) की कमी होती है, इसलिए \(b=-14\) होगा। अतः नियम \(y=210-14x\) है। विकल्प A में वृद्धि दर्शाई गई है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: “कमी” या “ह्रास” शब्द दिखे तो \(x\) का गुणांक ऋणात्मक रखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, the initial value is \(210\), and the value decreases by \(14\) each step, so \(b=-14\). Therefore, the rule is \(y=210-14x\). Option A represents an increase, not a decrease. Exam tip: Words such as “decrease” or “decay” indicate a negative coefficient of \(x\).
\(y=40-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में हर 1 की वृद्धि पर y 3 घटता है। \(40+3x\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=40-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 for every increase of 1 in x. \(40+3x\) represents growth, not decay. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
\(y=42-5x\) में x का गुणांक \(-5\) स्थिर है, इसलिए x बढ़ने पर y हर बार समान मात्रा से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=42-5x\), the coefficient of x is the constant \(-5\), so y falls by an equal amount each time x increases. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: for linear decay, look for x to power 1 with a negative coefficient.
दिया है कि \(A(t)=a+9t\)। \(t=3\) रखने पर \(A(3)=a+9\times3=a+27\) होगा। क्योंकि \(A(3)=57\), इसलिए \(a+27=57\), अतः \(a=30\)। विकल्प 27 वृद्धि का मान है, आरंभिक मान \(a\) नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए फलन में पहले निर्दिष्ट \(t\) का मान रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(A(t)=a+9t\), substitute \(t=3\): \(A(3)=a+9\times3=a+27\). Since \(A(3)=57\), we get \(a+27=57\), so \(a=30\). Option 27 is the amount added over 3 time units, not the initial value \(a\). Exam tip: substitute the specified value of \(t\) first, then solve the resulting equation.
दिया है R(t)=b-11t और R(4)=76। t=4 रखने पर b-11(4)=76, अर्थात b-44=76। दोनों पक्षों में 44 जोड़ने पर b=120 मिलता है। इसलिए सही विकल्प 120 है। 110 लेने पर R(4)=110-44=66 होगा, 76 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक व्यंजक में दिए गए t का मान पहले प्रतिस्थापित करें, फिर अज्ञात पद को अलग करें। / Given R(t)=b-11t and R(4)=76. Substituting t=4 gives b-11(4)=76, so b-44=76. Adding 44 to both sides gives b=120. Hence, 120 is the correct option. If b were 110, then R(4)=110-44=66, not 76. Exam tip: In a linear expression, first substitute the given value of the variable and then isolate the unknown term.
\(b\), \(x\) के प्रति इकाई परिवर्तन की दर या ढाल है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(Q(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दिखाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय पहचानने के लिए ढाल का चिह्न देखें। / The coefficient \(b\) is the rate of change, or slope, per unit increase in \(x\). If \(b<0\), \(Q(x)\) decreases as \(x\) rises, so it represents decay. In contrast, \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: use the sign of the slope to identify growth or decay.
A. हर घंटे टंकी में पानी की मात्रा 5 लीटर कम होती है।
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में किसी राशि में बराबर समयांतराल पर एक निश्चित मात्रा की कमी होती है। हर घंटे 5 लीटर कम होना इसी नियम का पालन करता है। आधी होना घातांकीय क्षय है। परीक्षा टिप: “निश्चित मात्रा” रैखिक परिवर्तन की पहचान है। / In linear decay, a quantity decreases by a fixed amount in equal time intervals. Losing 5 litres every hour follows this pattern. Becoming half each hour is exponential decay. Exam tip: look for a fixed difference, not a fixed ratio.
रेखीय वृद्धि के लिए दर धनात्मक और आरंभिक मान (24) चाहिए। (y=24+7x) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Linear growth needs a positive rate and initial value (24). (y=24+7x) satisfies both conditions.
रेखीय नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(x=0\) रखने पर आरंभिक मान \(a\) मिलता है। \(y=150-12x\) में आरंभिक मान 150 है और \(x\) का गुणांक \(-12\) है, इसलिए मान रेखीय रूप से घटता है। \(y=12-150x\) में क्षय तो है, पर उसका आरंभिक मान 12 है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान जाँचने के लिए \(x=0\) रखें और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where the initial value is \(a\), found by putting \(x=0\). In \(y=150-12x\), the initial value is 150 and the coefficient of \(x\) is \(-12\), so the value decreases linearly. \(y=12-150x\) also represents decay, but its initial value is 12. Exam tip: put \(x=0\) to check the initial value, and look for a negative slope to identify decay.
दिया है कि \(M(t)=m+8t\)। \(t=2\) रखने पर \(M(2)=m+16=44\), इसलिए \(m=28\)। अब \(t=7\) रखने पर \(M(7)=28+8\times7=28+56=84\)। अतः सही उत्तर 84 है। 76 तब मिलता यदि वृद्धि को गलत तरीके से गिना जाए। परीक्षा टिप: पहले दी हुई शर्त से अज्ञात स्थिरांक \(m\) ज्ञात करें, फिर मांगा गया \(t\) रखें। / Given \(M(t)=m+8t\). Substituting \(t=2\), \(M(2)=m+16=44\), so \(m=28\). Now, at \(t=7\), \(M(7)=28+8\times7=28+56=84\). Therefore, 84 is the correct answer. The value 76 can result from incorrectly counting the increase. Exam tip: first use the given condition to find the unknown constant \(m\), then substitute the required value of \(t\).
दिया है \,\(N(t)=n-6t\)। जब \(t=5\), तब \(N(5)=n-30=70\), इसलिए \(n=100\)। अतः \(N(12)=100-6\times12=100-72=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 34 प्राप्त करना घटाव में गलती करने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई मान से अज्ञात स्थिरांक \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(t\) का मान रखें। / Given \(N(t)=n-6t\). At \(t=5\), \(N(5)=n-30=70\), so \(n=100\). Therefore, \(N(12)=100-6\times12=100-72=28\). Hence, 28 is correct. A value such as 34 can result from an error in subtraction. Exam tip: first find the unknown constant \(n\) from the given value, then substitute the required value of \(t\).
दिए गए मानों को समीकरण y=45+kx में रखने पर 81=45+6k मिलता है। अतः 6k=36, इसलिए k=6। विकल्प 36 केवल 81-45 का अंतर है; k ज्ञात करने के लिए इसे x के मान 6 से भाग देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में अज्ञात गुणांक निकालने से पहले दिए गए x और y के मान सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting the given values into y=45+kx gives 81=45+6k. Hence, 6k=36 and k=6. Option 36 is only the difference 81-45; it must be divided by x=6 to find k. Exam tip: In a linear equation, substitute the given x and y values before solving for the unknown coefficient.
दिया है कि जब \(x=8\), तब \(y=136\)। अतः \(136=200-8k\)। इसलिए \(8k=64\), जिससे \(k=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 64 केवल \(8k\) का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(x\) और \(y\) के मान समीकरण में रखकर अज्ञात पद को अलग करें। / At \(x=8\), the value of \(y\) is 136. Substituting in the equation gives \(136=200-8k\). Hence, \(8k=64\), so \(k=8\). Note that 64 is the value of \(8k\), not of \(k\). Exam tip: Substitute the given values first, then isolate the unknown term carefully.
B. B(t) का मान बड़ा है/The value of B(t) is greater
Explanation
Simple Explanation
t=7 रखने पर A(7)=20+5(7)=55 और B(7)=50+2(7)=64 प्राप्त होता है। चूँकि 64, 55 से बड़ा है, इसलिए B(t) का मान बड़ा है। दोनों बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके मान अलग-अलग हैं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजकों की तुलना करने से पहले दोनों में दिए गए t का मान रखकर सरल कीजिए। / Substituting t=7 gives A(7)=20+5(7)=55 and B(7)=50+2(7)=64. Since 64 is greater than 55, the value of B(t) is greater. They are not equal because the two values are different. Exam tip: To compare linear expressions at a given value, substitute that value into both expressions first.
\(t=6\) रखने पर \(C(6)=140-8\times6=92\) और \(D(6)=110-3\times6=92\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों मॉडलों के मान बराबर हैं, अर्थात \(C(6)=D(6)\)। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि किसी भी मॉडल का मान दूसरे से अधिक नहीं है; दोनों शून्य भी नहीं हैं। परीक्षा टिप: तुलना करने से पहले दोनों व्यंजकों में दिए गए \(t\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Substituting \(t=6\), \(C(6)=140-8\times6=92\) and \(D(6)=110-3\times6=92\). Hence, the two model values are equal, so \(C(6)=D(6)\). Options A and B are incorrect because neither value is greater than the other, and both values are not zero. Exam tip: evaluate each expression separately at the given value of \(t\) before comparing them.
\(T(t)=102\) रखने पर \(54+6t=102\) मिलता है। अतः \(6t=48\), इसलिए \(t=8\)। इसलिए सही विकल्प C है। उदाहरण के लिए, \(t=7\) पर \(T(t)=54+42=96\) होगा, 102 नहीं। परीक्षा टिप: पहले लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखें, फिर चर वाले पद को अलग करके हल करें। / Putting \(T(t)=102\) gives \(54+6t=102\). Hence, \(6t=48\), so \(t=8\). Therefore, option C is correct. For example, at \(t=7\), \(T(t)=54+42=96\), not 102. Exam tip: equate the function to the target value first, then isolate and solve for the variable.
दिया है \(U(t)=150-15t\)। \(U(t)=45\) रखने पर \(150-15t=45\) मिलता है। अतः \(-15t=-105\), इसलिए \(t=7\)। \(t=9\) रखने पर मान \(15\) आएगा, 45 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में लक्ष्य मान को फलन में रखकर \(t\) के लिए समीकरण हल करें। / Given \(U(t)=150-15t\), put \(U(t)=45\). This gives \(150-15t=45\), so \(-15t=-105\) and hence \(t=7\). If \(t=9\), the value is \(15\), not 45. Exam tip: In linear decay questions, substitute the target value into the function and solve the resulting equation for \(t\).
पहले f(x+4)=25+6(x+4)=25+6x+24 होगा। अतः f(x+4)-f(x)=(25+6x+24)-(25+6x)=24। इसलिए सही विकल्प 24 है। 18 एक संभावित भ्रम है, पर 6 की दर से 4 इकाई की वृद्धि 6×4=24 देती है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन ax+b में x को h से बढ़ाने पर फलन का अंतर हमेशा ah होता है। / First, f(x+4)=25+6(x+4)=25+6x+24. Therefore, f(x+4)-f(x)=(25+6x+24)-(25+6x)=24. Hence, 24 is the correct option. 18 may seem tempting, but an increase of 4 units at a rate of 6 gives 6×4=24. Exam tip: For a linear function ax+b, increasing x by h always changes the function by ah.
रैखिक क्षय का सामान्य रूप \(a-bx\) होता है, जहाँ \(b>0\)। \(P(x)=80-6x\) में \(x\) के 1 बढ़ने पर मान 6 घटता है। \(80+6x\) रैखिक वृद्धि है। परीक्षा में \(x\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / Linear decay has the form \(a-bx\), where \(b>0\). In \(P(x)=80-6x\), the value decreases by 6 for every increase of 1 in \(x\). \(80+6x\) shows linear growth. In exams, check the sign of the \(x\)-coefficient.
रैखिक व्यंजक \(y=a+bx\) में \(a=y(0)\) होता है और \(b\), \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। यहाँ \(y(0)=18\) तथा वृद्धि 7 है, इसलिए \(y=18+7x\) होगा। \(y=7+18x\) में प्रारम्भिक मान 7 और वृद्धि 18 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर नियत पद तुरंत जाँच लें। / In a linear expression \(y=a+bx\), \(a=y(0)\), while \(b\) gives the change in \(y\) for every increase of 1 in \(x\). Here, \(y(0)=18\) and the increase is 7, so \(y=18+7x\). In \(y=7+18x\), the initial value is 7 and the rate of increase is 18, so it is not correct. Exam tip: Substitute \(x=0\) to check the constant term quickly.
रेखीय संबंध का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a=y(0)\) और \(b\), \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन है। यहाँ \(y(0)=130\) तथा हर बार 8 की कमी है, इसलिए \(b=-8\) होगा। अतः समीकरण \(y=130-8x\) है। विकल्प A में \(y\) बढ़ता है, जबकि विकल्प B में आरंभिक मान \(8\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर स्थिर पद आरंभिक मान बताता है। / A linear relation has the form \(y=a+bx\), where \(a=y(0)\) and \(b\) is the change in \(y\) for each increase of 1 in \(x\). Here, \(y(0)=130\) and \(y\) decreases by 8 each time, so \(b=-8\). Hence, \(y=130-8x\). In option A, \(y\) increases, while option B has initial value 8. Exam tip: put \(x=0\) to identify the initial value from the constant term.
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(x\) का गुणांक \(a\) ऋणात्मक होने पर \(x\) बढ़ने के साथ बहुपद का मान घटता है। \(-3x+7\) में गुणांक \(-3\) है। परीक्षा टिप: केवल \(x\) के गुणांक का चिह्न देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the value decreases as \(x\) increases when the coefficient \(a\) is negative. In \(-3x+7\), the coefficient of \(x\) is \(-3\). Exam tip: check the sign of the \(x\)-coefficient first.
x=4 रखने पर y=170-10(4)=130 मिलता है। x=11 रखने पर y=170-10(11)=60 मिलता है। अतः दोनों y-मानों का अंतर 130-60=70 है। 60 केवल x=11 पर y का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर निकालते समय दोनों x-मान रखकर y-मानों का अंतर लें। / Putting x=4 gives y=170-10(4)=130. Putting x=11 gives y=170-10(11)=60. Therefore, the difference between the two y-values is 130-60=70. Note that 60 is the value of y at x=11, not the difference. Exam tip: For a linear expression, substitute both x-values first and then subtract the resulting y-values.
दिया है \(D(d)=4+1.5d\)। \(d=8\) रखने पर \(D(8)=4+1.5\times8=4+12=16\) जीबी मिलता है। इसलिए सही उत्तर 16 है। 14 केवल वृद्धि वाला भाग है और इसमें प्रारम्भिक 4 जीबी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए मान को हर जगह प्रतिस्थापित करके गुणा पहले करें। / Given \(D(d)=4+1.5d\). Substituting \(d=8\), we get \(D(8)=4+1.5\times8=4+12=16\) GB. Therefore, 16 is correct. The value 14 does not include the fixed initial 4 GB and is not the total. Exam tip: Substitute the given value in every term of a linear expression, then multiply before adding.
h=10 रखने पर T(10)=44-2.5(10)=44-25=19 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 19 है। 21 प्राप्त करना गलत होगा, क्योंकि 2.5 को 10 से गुणा करने पर 25 आता है, 23 नहीं। परीक्षा में पहले गुणा करें, फिर प्रारम्भिक मान में से परिणाम घटाएँ। / Substituting h=10 gives T(10)=44-2.5(10)=44-25=19. Therefore, 19 is the correct option. Getting 21 would be incorrect because 2.5 multiplied by 10 is 25, not 23. In exams, multiply the rate by the input first and then subtract it from the initial value.
दिए गए समीकरण में x=6 रखने पर y=9+3.5(6)=9+21=30 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 30 है। विकल्प 27 केवल 9+3.5×5 लेने पर आता है, इसलिए x=6 के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute x=6 in the given equation: y=9+3.5(6)=9+21=30. Therefore, the correct answer is 30. Option 27 would result from using 9+3.5×5, so it is not correct for x=6. Exam tip: After substitution, perform multiplication before addition or subtraction.
x=10 रखने पर y=75-4.5(10)=75-45=30 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 30 है। 35 तब मिलता यदि 4.5×10 को गलत तरीके से 40 माना जाए। परीक्षा में दशमलव संख्या को 10 से गुणा करते समय दशमलव स्थान का ध्यान रखें। / Substitute x=10: y=75-4.5(10)=75-45=30. Therefore, 30 is the correct answer. The value 35 can result from incorrectly taking 4.5×10 as 40. In exams, take care of the decimal place when multiplying by 10.
A. यह न वृद्धि है, न क्षय; y स्थिर रहता है/It is neither growth nor decay; y remains constant
Explanation
Simple Explanation
यहाँ k, x का गुणांक अर्थात रेखा का ढाल है। k=0 रखने पर y=32 मिलता है, इसलिए x बदलने पर भी y का मान नहीं बदलता। अतः यह न वृद्धि है, न क्षय, बल्कि एक स्थिर फलन है। क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक, अर्थात k<0, होना चाहिए। परीक्षा टिप: रेखीय व्यंजक y=a+kx में k का चिह्न वृद्धि, क्षय या स्थिरता बताता है। / Here, k is the coefficient of x, or the slope of the line. Substituting k=0 gives y=32, so y does not change when x changes. Therefore, it is neither growth nor decay; it is a constant function. For decay, the slope must be negative, i.e., k<0. Exam tip: In y=a+kx, the sign of k tells whether the quantity grows, decays, or remains constant.
A. यह क्षय नहीं है; y स्थिर है/It is not decay; y is constant
Explanation
Simple Explanation
k=0 रखने पर y=140-0x=140 प्राप्त होता है। अतः x बदलने पर y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह न वृद्धि है और न क्षय; यह एक स्थिर फलन है। रैखिक क्षय के लिए y=140-kx में k का धनात्मक होना आवश्यक है, ताकि ढाल −k ऋणात्मक हो। परीक्षा टिप: पहले k का मान समीकरण में रखकर ढाल जाँचें। / Substituting k=0 gives y=140-0x=140. Thus, y does not change when x changes, so the relation is neither growth nor decay; it is a constant function. For linear decay in y=140-kx, k must be positive so that the slope −k is negative. Exam tip: substitute the given value of k first and then check the slope.
सदस्यों की संख्या 100 रखने पर \(60+4w=100\) मिलता है। अतः \(4w=40\), इसलिए \(w=10\)। विकल्प \(w=9\) लेने पर सदस्यों की संख्या \(60+4(9)=96\) होगी, 100 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में लक्ष्य मान रखने के बाद चर वाले पद को अलग करके हल करें। / Set the number of members equal to 100: \(60+4w=100\). Thus, \(4w=40\), so \(w=10\). If \(w=9\), the membership would be \(60+4(9)=96\), not 100. Exam tip: In a linear expression, substitute the target value first and then isolate the variable term.
120 सामान बचे होने के लिए \(I(d)=120\) रखें। अतः \(300-20d=120\), इसलिए \(20d=180\) और \(d=9\)। इसलिए सही विकल्प \(d=9\) है। \(d=8\) पर सामान \(140\) बचेगा, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक वाले प्रश्न में दी गई लक्ष्य मात्रा को व्यंजक के बराबर रखकर हल करें। / For 120 items to remain, set \(I(d)=120\). Thus, \(300-20d=120\), so \(20d=180\) and \(d=9\). Therefore, the correct option is \(d=9\). At \(d=8\), 140 items would remain, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: In a linear expression problem, equate the expression to the required target value and solve.
दिया है, \(f(x)=6x+11\)। इसलिए \(f(4)=6\times4+11=35\) तथा \(f(8)=6\times8+11=59\)। अतः \(f(4)+f(8)=35+59=94\)। विकल्प 96 तब मिल सकता है जब स्थिर पद 11 को गलत ढंग से जोड़ा या छोड़ा जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फलन मान अलग-अलग निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(f(x)=6x+11\), we get \(f(4)=6\times4+11=35\) and \(f(8)=6\times8+11=59\). Therefore, \(f(4)+f(8)=35+59=94\). The value 96 can result from incorrectly handling or omitting the constant term 11. Exam tip: evaluate each function value separately before adding them.
दिया है कि \(g(x)=90-4x\)। अतः \(g(5)=90-4(5)=70\) और \(g(12)=90-4(12)=42\)। इसलिए \(g(5)+g(12)=70+42=112\), अतः विकल्प C सही है। 106 जैसा उत्तर घटाव या गुणा में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक इनपुट मान को फलन में अलग-अलग रखकर फिर परिणामों को जोड़ें। / Given \(g(x)=90-4x\), \(g(5)=90-4(5)=70\) and \(g(12)=90-4(12)=42\). Therefore, \(g(5)+g(12)=70+42=112\), so option C is correct. An answer such as 106 may result from an error in subtraction or multiplication. Exam tip: substitute each input into the function separately before adding the outputs.
दोनों व्यंजकों के बराबर होने के लिए \(24+7x=48+4x\) होगा। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(24+3x=48\) मिलता है, इसलिए \(3x=24\) और \(x=8\)। अतः सही विकल्प \(x=8\) है। उदाहरण के लिए, \(x=6\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं आते। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर समान पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the two expressions to be equal, set \(24+7x=48+4x\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(24+3x=48\), so \(3x=24\) and \(x=8\). Therefore, \(x=8\) is correct. For example, at \(x=6\), the two values are not equal. Exam tip: equate the expressions first, then collect like terms on the same side.
दोनों मान बराबर होने के लिए \(180-9x=120-3x\) होगा। पदों को व्यवस्थित करने पर \(60=6x\), अतः \(x=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(x=10\) है। उदाहरण के लिए, \(x=12\) पर \(C(x)=72\) और \(D(x)=84\) हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the two values to be equal, \(180-9x=120-3x\). Rearranging gives \(60=6x\), so \(x=10\). Hence, the correct option is \(x=10\). For example, at \(x=12\), \(C(x)=72\) and \(D(x)=84\), so they are not equal. Exam tip: equate the two expressions first, then collect variable terms on one side.
दिया है y=36+8x और y=100। अतः 36+8x=100, इसलिए 8x=64 तथा x=8। जाँच के लिए, x=8 रखने पर y=36+8(8)=36+64=100 मिलता है। x=7 रखने पर y=92 होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लक्ष्य y का मान समीकरण में रखकर पहले x वाले पद को अलग करें। / Given y=36+8x and y=100, substitute 100 for y: 36+8x=100. Thus, 8x=64 and x=8. Checking, x=8 gives y=36+8(8)=36+64=100. For x=7, y=92, so it is not correct. Exam tip: Substitute the target value of y first, then isolate the term containing x.
दिया है कि \(y=165-12x\) और \(y=45\)। अतः \(165-12x=45\)। दोनों पक्षों से 165 घटाने पर \(-12x=-120\), इसलिए \(x=10\)। विकल्प 9 रखने पर \(y=57\) आता है, 45 नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक पद को दूसरी ओर ले जाते समय दोनों पक्षों के चिन्हों का ध्यान रखें। / Given \(y=165-12x\) and \(y=45\), we get \(165-12x=45\). Subtracting 165 from both sides gives \(-12x=-120\), so \(x=10\). If \(x=9\), then \(y=57\), not 45. Exam tip: Track signs carefully when transposing or simplifying negative terms.
यहाँ (x) में वृद्धि (14-4=10) है। समीकरण में (x) का गुणांक (5) है, इसलिए (y) में परिवर्तन (5×10=50) होगा। जाँच के लिए, (x=4) पर (y=80) और (x=14) पर (y=130) है; अतः (y) (50) बढ़ता है। (60) स्थिर पद है, लेकिन वह परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण (y=mx+c) में परिवर्तन के लिए (Δy=mΔx) का प्रयोग करें। / The increase in (x) is (14-4=10). The coefficient of (x) is (5), so the change in (y) is (5×10=50). Checking directly, (y=80) at (x=4) and (y=130) at (x=14); hence (y) increases by (50). The constant term (60) affects the starting value, not the change. Exam tip: for a linear equation (y=mx+c), use (Δy=mΔx).
यहाँ x में वृद्धि 13−3=10 है। समीकरण में x का गुणांक −11 है, इसलिए y में परिवर्तन −11×10=−110 होगा। अतः y में 110 की कमी होती है। 99 की कमी सही नहीं है, क्योंकि x में परिवर्तन 9 नहीं बल्कि 10 है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण y=a+bx में कुल परिवर्तन b×Δx होता है। / Here, the increase in x is 13−3=10. The coefficient of x in the equation is −11, so the change in y is −11×10=−110. Therefore, y decreases by 110. A decrease of 99 is incorrect because the change in x is 10, not 9. Exam tip: In a linear equation y=a+bx, the total change is b×Δx.
दिया है कि \(F(t)=26+rt\) और \(F(4)=58\)। अतः \(26+4r=58\), जिससे \(4r=32\) और \(r=8\) मिलता है। अब \(F(9)=26+8\times9=26+72=98\)। इसलिए सही विकल्प 98 है। 90 प्राप्त हो सकता है यदि \(r\) या \(9r\) की गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान को समीकरण में रखकर अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान निकालें। / Given \(F(t)=26+rt\) and \(F(4)=58\), we get \(26+4r=58\). Thus, \(4r=32\) and \(r=8\). Now \(F(9)=26+8\times9=26+72=98\). Therefore, 98 is the correct option. A value such as 90 can result from an error while finding \(r\) or calculating \(9r\). Exam tip: first substitute the given function value to find the unknown coefficient, then evaluate the required value.
दिया है कि \(G(3)=99\)। अतः \(q-7(3)=99\), यानी \(q-21=99\), इसलिए \(q=120\)। अब \(G(10)=120-7(10)=120-70=50\)। इसलिए सही उत्तर 50 है। 57 प्राप्त करना 3 से 10 तक के समयांतराल \(7\) के बजाय गलत कमी लेने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान से अज्ञात नियतांक \(q\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित मान रखें। / Given \(G(3)=99\), we get \(q-7(3)=99\), so \(q-21=99\) and hence \(q=120\). Now, \(G(10)=120-7(10)=120-70=50\). Therefore, 50 is correct. The value 57 can result from using an incorrect decrease instead of accounting for the full change from \(t=3\) to \(t=10\). Exam tip: first find the unknown constant from the given function value, then substitute the required input.
(x) में परिवर्तन (7-2=5) है और वृद्धि दर (10) है। इसलिए कुल वृद्धि \(10\times5=50\) है। / The change in (x) is (7-2=5) and the growth rate is (10). Therefore the total increase is \(10\times5=50\).
(x) में परिवर्तन (9-4=5) है और कमी दर (13) है। इसलिए कुल कमी \(13\times5=65\) है। / The change in (x) is (9-4=5) and the decay rate is (13). Therefore the total decrease is \(13\times5=65\).
