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\(y=80-3t\) में \(t\) के गुणांक \(-3\) का अर्थ है कि हर इकाई समय पर राशि 3 से घटती है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। \(0.9^t\) घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(a+bt\) पहचानें। / In \(y=80-3t\), the coefficient \(-3\) means the quantity falls by 3 in every time unit, so it is linear decay. \(0.9^t\) represents exponential decay. Exam tip: identify linear relations in the form \(a+bt\).
यहाँ W(t)=75-5t एक रैखिक व्यंजक है, क्योंकि t की घात 1 है। t का गुणांक -5 है, अर्थात t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर पानी की मात्रा 5 लीटर घटती है। इसलिए यह रेखीय क्षय है। स्थिर मात्रा में t का कोई पद नहीं होता, जबकि घातीय परिवर्तन में चर घात में होता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप at+b में a का ऋणात्मक होना क्षय दर्शाता है। / Here, W(t)=75-5t is a linear expression because the power of t is 1. The coefficient of t is -5, so the amount of water decreases by 5 litres for every 1-unit increase in t. Therefore, it represents linear decay. A constant amount would have no t-term, while in exponential change the variable appears in the exponent. Exam tip: in the linear form at+b, a negative value of a indicates decay.
आरंभिक मान वह मान है जो स्वतंत्र चर के 0 होने पर प्राप्त होता है। यहाँ \(n=0\) रखने पर \(P(0)=40+6(0)=40\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर 40 है। संख्या 6 वृद्धि की दर (ढलान) है, आरंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: \(a+bn\) के रूप में लिखे नियम में स्थिर पद \(a\) आरंभिक मान होता है। / The initial value is the value obtained when the independent variable is 0. Substituting \(n=0\), we get \(P(0)=40+6(0)=40\), so 40 is correct. The number 6 is the rate of increase (slope), not the initial value. Exam tip: In a rule of the form \(a+bn\), the constant term \(a\) is the initial value.
रेखीय नियम में t का गुणांक प्रति इकाई परिवर्तन दर बताता है। S(t)=120-8t में t का गुणांक -8 है, इसलिए t में 1 की वृद्धि होने पर S का मान 8 घटता है। 120 प्रारम्भिक मान है, दर नहीं; जबकि 8 कमी का परिमाण है, उसकी दिशा को दर्शाने वाला ऋण चिह्न आवश्यक है। परीक्षा टिप: y=a+bt के रूप में b को देखकर सीधे दर ज्ञात करें। / In a linear rule, the coefficient of t gives the rate of change per unit. In S(t)=120-8t, the coefficient of t is -8, so S decreases by 8 when t increases by 1. Here, 120 is the initial value, not the rate; 8 gives only the magnitude of the decrease, so the negative sign is essential. Exam tip: In the form y=a+bt, the rate of change is b.
दिया है, \(A(t)=9+7t\)। \(t=3\) रखने पर \(A(3)=9+7\times3=9+21=30\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 30 है। 21 केवल \(7\times3\) का मान है; इसमें स्थिर पद 9 भी जोड़ना होता है। परीक्षा टिप: फलन का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Given \(A(t)=9+7t\). Substituting \(t=3\), we get \(A(3)=9+7\times3=9+21=30\). Hence, the correct answer is 30. The value 21 is only \(7\times3\); the constant term 9 must also be added. Exam tip: To evaluate a function, replace the variable with the given value and simplify step by step.
दिया है \(B(h)=96-6h\)। \(h=4\) रखने पर \(B(4)=96-6(4)=96-24=72\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 72 है। 24 केवल \(6\times4\) का मान है; इसमें 96 में से घटाना अभी बाकी है। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर संख्या रखिए, फिर गणना के क्रम का पालन कीजिए। / Given \(B(h)=96-6h\). Substituting \(h=4\), we get \(B(4)=96-6(4)=96-24=72\). Therefore, 72 is correct. The value 24 is only \(6\times4\); it still needs to be subtracted from 96. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given value for the variable and then follow the order of operations.
नियम \(y=14+9x\) में \(x\) का गुणांक \(+9\) है। इसलिए \(x\) में 1 की वृद्धि होने पर \(y\) हर बार 9 बढ़ता है। \(y=30-9x\) में 9 की कमी होती है, जबकि \(y=x^2+9\) में वृद्धि समान नहीं रहती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में प्रति चरण परिवर्तन \(x\) का गुणांक \(b\) होता है। / In \(y=14+9x\), the coefficient of \(x\) is \(+9\). Therefore, whenever \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 9 each time. In \(y=30-9x\), the value decreases by 9, while in \(y=x^2+9\), the increase is not constant. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
नियम \(y=50-7x\) में \(x\) का गुणांक \(-7\) है। इसलिए \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का मान 7 घटता है। \(y=50+7x\) में 7 की वृद्धि होती है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(b\) का ऋणात्मक चिह्न कमी दर्शाता है। / In \(y=50-7x\), the coefficient of \(x\) is \(-7\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 7. In \(y=50+7x\), the value increases by 7, not decreases. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), a negative value of \(b\) indicates decrease.
यहाँ C(d)=25+5d में d का गुणांक 5 है। d में 1 की वृद्धि करने पर 5d वाला पद 5 बढ़ता है, इसलिए C(d) भी 5 बढ़ता है। 25 स्थिर पद है, इसलिए d बदलने पर उसमें कोई परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bd में b, चर में 1 इकाई परिवर्तन पर मान का परिवर्तन बताता है। / In C(d)=25+5d, the coefficient of d is 5. When d increases by 1, the term 5d increases by 5, so C(d) also increases by 5. The constant term 25 does not change when d changes. Exam tip: In a linear expression a+bd, b gives the change in the value for a 1-unit change in the variable.
गुणांक (-4) है इसलिए मान हर चरण में (4) घटता है। घटने की मात्रा धनात्मक रूप में (4) है। / The coefficient is (-4), so the value decreases by (4) each step. The amount of decrease is (4) in positive form.
दिए गए व्यंजक में \(w=4\) रखने पर \(Q(4)=20+10\times4=20+40=60\) प्राप्त होता है। इसलिए अभ्यास प्रश्नों की संख्या 60 होगी। 40 केवल \(10\times4\) है; इसमें प्रारम्भिक 20 प्रश्न जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक का मान ज्ञात करते समय चर का मान रखकर गुणा पहले करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute \(w=4\) into the expression: \(Q(4)=20+10\times4=20+40=60\). Therefore, the number of practice questions is 60. The value 40 represents only \(10\times4\); the initial 20 questions must also be added. Exam tip: When evaluating a linear expression, substitute the variable value, multiply first, and then add or subtract.
दिया है कि \(R(d)=55-3d\)। \(d=5\) रखने पर \(R(5)=55-3(5)=55-15=40\) किग्रा मिलता है। इसलिए सही उत्तर 40 किग्रा है। 15 किग्रा केवल 5 दिनों में घटी हुई मात्रा है, बचा हुआ चावल नहीं। परीक्षा टिप: फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(R(d)=55-3d\). Substituting \(d=5\), \(R(5)=55-3(5)=55-15=40\) kg. Therefore, 40 kg of rice remains. The value 15 kg is only the amount decreased in 5 days, not the amount left. Exam tip: To find a function value, substitute the given number for the variable, multiply first, and then add or subtract.
x के स्थान पर 6 रखने पर M(6)=18+2(6)=18+12=30 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। 36 प्राप्त करने के लिए 18 और 12 को गलत तरीके से गुणा करना पड़ेगा। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Substitute 6 for x: M(6)=18+2(6)=18+12=30. Therefore, option B is correct. Getting 36 would require incorrectly multiplying 18 and 12. Exam tip: When evaluating a function, substitute the given value for the variable first and then follow the order of operations.
यहाँ x के स्थान पर 7 रखने पर \(N(7)=45-5\times7=45-35=10\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 15 प्राप्त करना सामान्यतः \(5\times7\) की गणना या घटाव में त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Substitute 7 for x: \(N(7)=45-5\times7=45-35=10\). Therefore, the correct answer is 10. A value such as 15 can result from an error in calculating \(5\times7\) or in subtraction. Exam tip: when evaluating a function, substitute the given value first, then perform multiplication and subtraction.
रैखिक नियम का सामान्य रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) वृद्धि या ह्रास की दर है। \(y=18+6x\) में नियत पद \(18\) है तथा \(x\) का गुणांक \(+6\) है, इसलिए यह वृद्धि दर्शाता है। विकल्प B में \(-6\) होने से ह्रास होता है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए नियत पद और दर के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the rate of growth or decay. In \(y=18+6x\), the constant term is \(18\) and the coefficient of \(x\) is \(+6\), so it represents growth. Option B has \(-6\), which represents decay. Exam tip: identify the constant term for the initial value and the coefficient of \(x\) for the rate.
रैखिक क्षय का नियम \(y=a-rx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(r\) क्षय दर है। यहाँ \(a=64\) तथा \(r=8\) रखने पर \(y=64-8x\) मिलता है। विकल्प A में मान 8 की वृद्धि हो रही है, इसलिए वह वृद्धि का नियम है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान स्थिर पद होता है और क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होता है। / A linear decay rule has the form \(y=a-rx\), where \(a\) is the initial value and \(r\) is the decay rate. Substituting \(a=64\) and \(r=8\) gives \(y=64-8x\). Option A represents growth by 8, not decay. Exam tip: the initial value is the constant term, and decay has a negative coefficient of \(x\).
दिया है: \(F(t)=13+4t\)। \(t=0\) रखने पर \(F(0)=13+4(0)=13\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 13 है। 4 वृद्धि की दर (\(t\) का गुणांक) है, प्रारंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t=0\) पर मान हमेशा स्थिर पद \(a\) होता है। / Given \(F(t)=13+4t\), substitute \(t=0\): \(F(0)=13+4(0)=13\). Therefore, the correct answer is 13. The number 4 is the rate of growth (the coefficient of \(t\)), not the initial value. Exam tip: In a linear expression \(a+bt\), the value at \(t=0\) is always the constant term \(a\).
फलन में t=0 रखने पर G(0)=82-9(0)=82 प्राप्त होता है। अतः प्रारम्भिक मान 82 है। 73 तब मिलता है जब t=1 हो, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक फलन का प्रारम्भिक मान ज्ञात करने के लिए स्वतंत्र चर में 0 रखें। / Substituting t=0 gives G(0)=82-9(0)=82. Hence, the initial value is 82. The value 73 is obtained when t=1, so it is not correct here. Exam tip: To find the initial value of a linear function, substitute 0 for the independent variable.
L(5)=16+3(5)=31 और L(2)=16+3(2)=22। अतः L(5)-L(2)=31-22=9। यहाँ स्थिर पद 16 दोनों मानों में कट जाता है; केवल 3 प्रति इकाई की वृद्धि और t में 3 इकाइयों का अंतर महत्वपूर्ण है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt के लिए L(x)-L(y)=b(x-y) का उपयोग करें। / L(5)=16+3(5)=31 and L(2)=16+3(2)=22. Therefore, L(5)-L(2)=31-22=9. The constant term 16 cancels in the difference; only the rate 3 per unit and the 3-unit change in t matter. Exam tip: for a linear expression a+bt, use L(x)-L(y)=b(x-y).
दिया है कि \(T(t)=100-12t\)। अतः \(T(1)=100-12=88\) और \(T(3)=100-36=64\)। इसलिए \(T(1)-T(3)=88-64=24\)। विकल्प A में 12 केवल प्रति इकाई समय की कमी है, जबकि 1 से 3 तक समयांतराल 2 है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन मान अलग-अलग निकालकर फिर उनका अंतर लें। / Given \(T(t)=100-12t\), \(T(1)=100-12=88\) and \(T(3)=100-36=64\). Hence, \(T(1)-T(3)=88-64=24\). Option A, 12, is only the decrease per unit time; the interval from 1 to 3 is 2 units. Exam tip: Find each function value separately before subtracting them.
यहाँ y=20+0x को सरल करने पर y=20 मिलता है। x का गुणांक 0 होने के कारण x बदलने पर भी y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह स्थिर मान है। रेखीय वृद्धि या क्षय के लिए x का गुणांक क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक तथा शून्येतर होना चाहिए। परीक्षा टिप: x का गुणांक 0 हो तो व्यंजक स्थिर होता है। / Here, y=20+0x simplifies to y=20. Since the coefficient of x is 0, the value of y does not change when x changes, so it represents a constant value. Linear growth or decay requires a non-zero positive or negative coefficient of x, respectively. Exam tip: if the coefficient of x is 0, the expression is constant.
रैखिक व्यंजक Z(t)=7+11t में t का गुणांक 11 है। t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर Z का मान 11 इकाई बढ़ता है, इसलिए वृद्धि दर 11 है। 7 प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: at+b के रूप में लिखे रैखिक व्यंजक में t का गुणांक वृद्धि या ह्रास की दर बताता है। / In the linear expression Z(t)=7+11t, the coefficient of t is 11. For every increase of 1 unit in t, Z increases by 11 units, so the growth rate is 11. The number 7 is the initial value, not the growth rate. Exam tip: In a linear expression of the form at+b, the coefficient of t gives the rate of growth or decay.
रेखीय व्यंजक \(V(t)=90-15t\) में \(t\) का गुणांक \(-15\) परिवर्तन की दर दर्शाता है। ऋण चिह्न बताता है कि \(V\) का मान घट रहा है। क्षय दर का परिमाण \(|-15|=15\) होता है, इसलिए सही उत्तर 15 है। \(-15\) दर की दिशा बताता है, उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: किसी दर का परिमाण ज्ञात करने के लिए उसके निरपेक्ष मान का प्रयोग करें। / In the linear expression \(V(t)=90-15t\), the coefficient of \(t\), \(-15\), represents the rate of change. The negative sign shows that \(V\) is decreasing. The magnitude of the decay rate is \(|-15|=15\), so 15 is correct. \(-15\) gives the direction of change, not its magnitude. Exam tip: use the absolute value to find the magnitude of a rate.
शुरुआती राशि 22 है, इसलिए जब \(x=0\) हो तो \(y=22\) होना चाहिए। प्रत्येक चरण में 4 की वृद्धि होने पर \(x\) का गुणांक \(+4\) होगा। अतः नियम \(y=22+4x\) है। विकल्प C में शुरुआती मान और वृद्धि दर आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(a\) शुरुआती मान तथा \(b\) प्रति चरण परिवर्तन होता है। / The starting quantity is 22, so when \(x=0\), the value of \(y\) must be 22. Since it increases by 4 at every step, the coefficient of \(x\) is \(+4\). Therefore, the rule is \(y=22+4x\). In option C, the initial value and the rate of increase have been interchanged. Exam tip: in \(y=a+bx\), \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step.
आरंभिक राशि 70 है, इसलिए जब \(x=0\) हो तो \(y=70\) होना चाहिए। प्रत्येक चरण में 5 की कमी होने से \(x\) का गुणांक \(-5\) होगा। अतः नियम \(y=70-5x\) है। \(y=70+5x\) और \(y=5x+70\) में राशि बढ़ती है, घटती नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद होता है और कमी के लिए ढाल ऋणात्मक होती है। / The starting quantity is 70, so when \(x=0\), the value of \(y\) must be 70. Since it decreases by 5 at each step, the coefficient of \(x\) is \(-5\). Therefore, the rule is \(y=70-5x\). In \(y=70+5x\) and \(y=5x+70\), the quantity increases rather than decreases. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value, and a decrease has a negative slope.
यहाँ E(2)=10+8(2)=26 तथा E(3)=10+8(3)=34 है। अतः दोनों मानों का अंतर 34-26=8 है। 16 जैसी त्रुटि तब हो सकती है जब 8t में t के दो अलग मानों को जोड़ दिया जाए, जबकि यहाँ केवल एक इकाई की वृद्धि है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में लगातार मानों का अंतर हमेशा b होता है। / Here, E(2)=10+8(2)=26 and E(3)=10+8(3)=34. Therefore, the difference is 34-26=8. A value such as 16 may result from incorrectly adding the two values of t in 8t; here t increases by only one unit. Exam tip: in a linear expression a+bt, the difference between consecutive values is always b.
यहाँ \(Y(2)=66-6(2)=54\) और \(Y(3)=66-6(3)=48\) है। अतः \(Y(2)\) से \(Y(3)\) तक कमी \(54-48=6\) है। \(12\) दो समय-इकाइयों की कमी होती, जबकि यहाँ केवल एक समय-इकाई का अंतर है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a-bt\) में प्रत्येक एक इकाई \(t\) बढ़ने पर मान \(b\) से घटता है। / Here, \(Y(2)=66-6(2)=54\) and \(Y(3)=66-6(3)=48\). Therefore, the decrease from \(Y(2)\) to \(Y(3)\) is \(54-48=6\). A decrease of \(12\) would occur over two time units, whereas this question compares consecutive time values. Exam tip: in a linear expression \(a-bt\), the value decreases by \(b\) whenever \(t\) increases by one unit.
रेखीय ह्रास में \(t\) की घात 1 होती है और उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। \(12-3t\) की ढाल \(-3\) है। \(12-3t^2\) घटता है, पर वह रैखिक नहीं है। परीक्षा में घात और ढाल का चिन्ह जाँचें। / In linear decay, \(t\) has power 1 and its coefficient is negative. \(12-3t\) has slope \(-3\). Although \(12-3t^2\) decreases, it is not linear. Exam tip: check the power of \(t\) and the sign of the slope.
\(P(t)=45-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर राशि 3 घटती है। \(45+3t\) वृद्धि दिखाता है, जबकि \(t^2\) वाली कमी समान दर की नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(t)=45-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for each one-unit increase in time. \(45+3t\) shows growth, while a \(t^2\) term does not give a constant rate. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative variable coefficient.
समीकरण y=11+2x में x का गुणांक 2 है, जो धनात्मक है। इसलिए x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y 2 इकाई बढ़ता है; अतः यह रैखिक वृद्धि दर्शाता है। रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m का चिन्ह वृद्धि या क्षय बताता है। / In y=11+2x, the coefficient of x is 2, which is positive. Thus, when x increases by 1 unit, y increases by 2 units, so the equation represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=mx+c, the sign of m indicates growth or decay.
दिया गया समीकरण y=48-6x एक रैखिक व्यंजक है और x का गुणांक -6 है। इसका अर्थ है कि x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y का मान 6 से घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय दर्शाता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि y का मान x के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण y=a+bx में b धनात्मक हो तो वृद्धि और ऋणात्मक हो तो क्षय होता है। / The equation y=48-6x is linear, and the coefficient of x is -6. This means that when x increases by 1, y decreases by 6, so it represents linear decay. It is not a constant function because y changes with x. Exam tip: In a linear equation y=a+bx, a positive b indicates growth and a negative b indicates decay.
दिया है: \(U(t)=5t+15\)। \(t=7\) रखने पर \(U(7)=5\times7+15=35+15=50\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 50 है। 45 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि \(5\times7=35\) में 15 जोड़ने पर 50 होता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / Given \(U(t)=5t+15\). Substituting \(t=7\), \(U(7)=5\times7+15=35+15=50\). Therefore, 50 is correct. Getting 45 is incorrect because adding 15 to \(5\times7=35\) gives 50. Exam tip: To find a function value, substitute the given number for the variable, then follow the order of operations.
दिया है कि \(J(t)=81-7t\)। \(t=8\) रखने पर \(J(8)=81-7(8)=81-56=25\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 25 है। 32 तब मिलता यदि \(7\times 8\) को 49 मान लिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर मान रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(J(t)=81-7t\). Substituting \(t=8\), we get \(J(8)=81-7(8)=81-56=25\). Therefore, 25 is the correct option. The value 32 could result from incorrectly calculating \(7\times8\) as 49. Exam tip: substitute the value first, then perform multiplication before subtraction.
यहाँ \(X(4)=8+6\times4=32\) और \(X(0)=8\) है। इसलिए अंतर \(32-8=24\) होगा। विकल्प 32, \(X(4)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t\) के परिवर्तन को गुणांक \(b\) से गुणा करके अंतर जल्दी निकाला जा सकता है। / Here, \(X(4)=8+6\times4=32\) and \(X(0)=8\). Therefore, the difference is \(32-8=24\). Option 32 is the value of \(X(4)\), not the difference. Exam tip: In a linear expression \(a+bt\), multiply the change in \(t\) by the coefficient \(b\) to find the change in the value quickly.
यहाँ P(0)=90-3(0)=90 और P(12)=90-3(12)=54 है। अतः P(0)-P(12)=90-54=36। विकल्प 30 इसलिए गलत है क्योंकि कमी की दर 3 को 12 से गुणा करने पर 36 मिलता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में t के दोनों मान अलग-अलग रखकर फिर अंतर निकालें। / Here, P(0)=90-3(0)=90 and P(12)=90-3(12)=54. Therefore, P(0)-P(12)=90-54=36. Option 30 is incorrect because multiplying the decrease rate 3 by 12 gives 36. Exam tip: Substitute both values of t separately in a linear expression, then find their difference.
B. प्रत्येक 1 इकाई x बढ़ने पर y में 3 की वृद्धि होती है/For every increase of 1 in x, y increases by 3
Explanation
Simple Explanation
नियम (y=3x+10) में x का गुणांक 3 है। इसका अर्थ है कि x में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर y का मान 3 इकाई बढ़ता है। 10 स्थिर पद है, जो x=0 पर आरंभिक मान बताता है; इसलिए 10 को वृद्धि दर मानना गलत है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप y=mx+c में m परिवर्तन की दर और c आरंभिक मान होता है। / In the rule (y=3x+10), the coefficient of x is 3. It means that y increases by 3 units for every 1-unit increase in x. The number 10 is the constant term and gives the initial value when x=0, so it is not the rate of increase. Exam tip: in the linear form y=mx+c, m is the rate of change and c is the initial value.
नियम में
(y=85-10x) का गुणांक
(-10) है। इसका अर्थ है कि
(x) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर
(y) का मान 10 घटता है। इसलिए 10 प्रति चरण कमी की मात्रा बताता है। आरंभिक मान 85 है, क्योंकि
(x=0) रखने पर
(y=85) मिलता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम
(y=a+bx) में
(b) परिवर्तन की दर बताता है; ऋणात्मक
(b) कमी दर्शाता है। / In
(y=85-10x), the coefficient is
(-10). This means that when
(x) increases by 1, the value of
(y) decreases by 10. Hence, 10 represents the decrease per step. The initial value is 85 because
(y=85) when
(x=0). Exam tip: In a linear rule
(y=a+bx),
(b) gives the rate of change; a negative
(b) indicates a decrease.
दिया है, \(P(t)=a+5t\)। \(t=0\) रखने पर \(P(0)=a+5(0)=a\) मिलता है। क्योंकि \(P(0)=18\) है, इसलिए \(a=18\)। विकल्प 5 वृद्धि की दर है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t=0\) रखने पर प्रारम्भिक मान \(a\) मिलता है। / Given \(P(t)=a+5t\), substitute \(t=0\): \(P(0)=a+5(0)=a\). Since \(P(0)=18\), we get \(a=18\). The number 5 is the rate of increase, not the initial value. Exam tip: in a linear expression \(a+bt\), putting \(t=0\) gives the initial value \(a\).
\(P(t)=60-4t\) में \(t\) का गुणांक \(-4\) है, इसलिए हर 1 समय-इकाई पर मात्रा 4 से घटती है; यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। \(0.9^t\) घातांकीय ह्रास है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप में चर की घात 1 होती है। / In \(P(t)=60-4t\), the coefficient of \(t\) is \(-4\), so the quantity decreases by 4 for every one-unit increase in time. This is linear decay. \(60(0.9)^t\) shows exponential decay. Exam tip: in a linear expression, the variable has power 1.
समीकरण \(y=15+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की स्थिर दर (ढाल) है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय ह्रास होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+bt\) में \(b\) का चिह्न वृद्धि या ह्रास बताता है। / In \(y=15+kt\), \(k\) is the constant rate of change (slope) of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: in \(y=a+bt\), the sign of \(b\) tells whether there is growth or decay.
समीकरण (y=52-kt) में (t) के साथ जुड़ा गुणांक (-k) है। क्योंकि (k>0), इसलिए (-k) ऋणात्मक है और (t) बढ़ने पर (kt) का मान बढ़ता है, जिससे 52 में से अधिक मान घटता है। अतः (y) घटेगा। (y) केवल तब स्थिर रहता जब (k=0) होता। परीक्षा टिप: रेखीय समीकरण में चर का गुणांक धनात्मक हो तो मान बढ़ता है और ऋणात्मक हो तो घटता है। / In (y=52-kt), the coefficient of (t) is (-k). Since (k>0), (-k) is negative. As (t) increases, (kt) increases, so a larger value is subtracted from 52; therefore, (y) decreases. (y) would remain constant only if (k=0). Exam tip: in a linear expression, a positive coefficient indicates increase, while a negative coefficient indicates decrease.
दिया है कि H(t)=32+2t। H(10) ज्ञात करने के लिए t के स्थान पर 10 रखें: H(10)=32+2(10)=32+20=52। इसलिए सही उत्तर 52 है। 42 केवल 32+10 करने पर मिलेगा, जिसमें 2×10 का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: फलन का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Given H(t)=32+2t, substitute 10 for t: H(10)=32+2(10)=32+20=52. Therefore, 52 is the correct answer. The value 42 would result from adding 10 to 32 and incorrectly missing the multiplication 2×10. Exam tip: To evaluate a function, replace the variable with the given value and then perform the operations in order.
दिया है कि \(K(t)=110-11t\)। \(t=5\) रखने पर \(K(5)=110-11(5)=110-55=55\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 55 है। 66 तब मिलता यदि घटाई जाने वाली राशि 44 होती, जबकि यहाँ \(11\times 5=55\) है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को कोष्ठक सहित रखें। / Given \(K(t)=110-11t\). Substituting \(t=5\), \(K(5)=110-11(5)=110-55=55\). Therefore, the correct answer is 55. The value 66 would result only if the amount subtracted were 44, but here \(11\times 5=55\). Exam tip: When evaluating a function, substitute the given value for the variable using brackets.
A. \(y\) 3 इकाई घटता है/\(y\) decreases by 3 units
Explanation
Simple Explanation
\(x\) का गुणांक ढाल है, जो यहाँ \(-3\) है। इसलिए \(\Delta x=1\) रखने पर \(\Delta y=-3\times1=-3\) मिलता है; अर्थात \(y\) 3 इकाई घटता है। 7 केवल प्रारम्भिक मान है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दर्शाती है। / The coefficient of \(x\) is the slope, and here it is \(-3\). For \(\Delta x=1\), \(\Delta y=-3\times1=-3\), so \(y\) decreases by 3 units. The 7 is only the initial value. Exam tip: a negative slope indicates decay.
\(y=30-2x\) में x का गुणांक \(-2\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) पहचानें। / In \(y=30-2x\), the coefficient of x is the constant negative number \(-2\), so y decreases by 2 for every 1-unit rise in x. Expressions with \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify the form \(y=a+bx\).
शुरुआत में, अर्थात \(x=0\) पर, संख्या \(2\) है। प्रत्येक चरण में \(3\) जुड़ता है, इसलिए \(x\) चरणों में कुल वृद्धि \(3x\) होगी। अतः नियम \(y=2+3x\) है। \(y=2-3x\) घटाव दर्शाता है, जबकि \(y=3x-2\) में प्रारंभिक मान \(-2\) हो जाता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में प्रारंभिक मान स्थिर पद और प्रति-चरण परिवर्तन \(x\) का गुणांक होता है। / At the start, that is, when \(x=0\), the number is \(2\). Since \(3\) is added at every step, the total increase after \(x\) steps is \(3x\). Therefore, the rule is \(y=2+3x\). The expression \(y=2-3x\) represents decay, while \(y=3x-2\) has an initial value of \(-2\). Exam tip: in a linear rule, the constant term is the starting value and the coefficient of \(x\) is the change per step.
दिया है y=28+5x। x=4 रखने पर y=28+5(4)=28+20=48 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 48 है। विकल्प 52 तब मिलता यदि 28 में 24 जोड़ा जाता, पर 5×4 का मान 20 होता है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा पहले करें। / Given y=28+5x, substitute x=4: y=28+5(4)=28+20=48. Therefore, 48 is correct. Option 52 would result from incorrectly treating 5×4 as 24, whereas it equals 20. Exam tip: Substitute the given value for the variable and perform multiplication before addition.
\(y=12-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\), 5 इकाई घटता है। \(y=5x+12\) स्थिर दर से वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में रैखिक ह्रास पहचानने के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / In \(y=12-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units whenever \(x\) increases by 1. \(y=5x+12\) shows constant growth instead. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) identifies linear decay.
रैखिक बहुपद का रूप \(a+bx\) होता है। यहाँ \(b=-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(12-3x^2\) क्षय दिखाता है, पर वह रैखिक नहीं है। परीक्षा में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक जाँचें। / A linear polynomial has the form \(a+bx\). Here \(b=-3\), so the value decreases by 3 for every increase of 1 in x. \(12-3x^2\) also decreases but is not linear. In exams, check that the power of x is 1 and its coefficient is negative.
\(y=12-3x\) में \(x\) के गुणांक \(-3\) स्थिर है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(12-3x^2\) में कमी स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक स्थिर ढाल रैखिक क्षय बताती है। / In \(y=12-3x\), the constant coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for every 1-unit rise in \(x\). In \(12-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: a negative constant slope indicates linear decay.
