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Matrices - Topics Covered
Mathematics Matrices ke topic-wise MCQs yahan grouped context me milenge. jo aap ko Exam ki preparation me madad milegi. Ye questions exam-oriented hai and students ko concept clarity, quick revision aur board exam preparation kaafi madad karenge. Sabhi se jude MCQs important topics ke anusar arranged hai, taaki aap Matrices ko easy tarike se practice aur revise kar sake.
Introduction to matrices
25 MCQs
Types of matrices
11 MCQs
Order of a matrix
9 MCQs
Equality of matrices
3 MCQs
Equivalence relation
3 MCQs
Symmetric relation
1 MCQs
Transpose of a matrix
1 MCQs
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इस मैट्रिक्स में (2) पंक्तियां और (3) स्तंभ हैं। क्रम हमेशा पंक्ति \(\times\) स्तंभ लिखा जाता है। / This matrix has (2) rows and (3) columns. Order is always written as row \(\times\) column.
मैट्रिक्स \(C\) का आकार \(1\times3\) है (1 पंक्ति और 3 स्तंभ)। केवल एक पंक्ति वाली मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है, इसलिए उत्तर पंक्ति मैट्रिक्स है। नज़दीकी भ्रांतियाँ: स्तंभ मैट्रिक्स वह होता है जिसकी केवल एक स्तम्भ (जैसे \(3\times1\)) हो — यह यहाँ लागू नहीं होता; विकर्ण और इकाई मैट्रिक्स वर्गाकार (square) होते हैं, जबकि यह \(1\times3\) है। परīk्षा युक्ति: पहले मैट्रिक्स के आयाम (rows × columns) गिनें — यदि rows = 1 तो वह पंक्ति मैट्रिक्स है। / Matrix \(C\) has size \(1\times3\) (one row and three columns). A matrix with only one row is a row matrix, so the correct answer is row matrix. Closest distractor: a column matrix would have one column (e.g. \(3\times1\)), which is not the case here; diagonal and identity matrices must be square, unlike this \(1\times3\) matrix. Exam tip: always check the dimensions (rows × columns); if rows = 1 it's a row matrix.
कुल अवयव \(3\times4=12\) होते हैं। अवयवों की संख्या पंक्तियों और स्तंभों के गुणनफल से मिलती है। / The total elements are \(3\times4=12\). The number of elements is found by multiplying rows and columns.
प्रतिचिह्न \(a_{ij}\) में पहला सूचक \(i\) पंक्ति संख्या (row index) को दर्शाता है और दूसरा \(j\) स्तंभ संख्या (column index) को। उदाहरण के लिए \(a_{21}\) मैट्रिक्स का 2री पंक्ति तथा 1ला स्तंभ का अवयव है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि स्तंभ सूचक \(j\) होता है, विकल्प C गलत है क्योंकि कुल अवयवों की संख्या \(2\times3=6\) होती है पर यह \(i\) का अर्थ नहीं है, और विकल्प D गलत है क्योंकि मैट्रिक्स का नाम यहाँ \(A\) है। परीक्षा-सूत्र: स्मरण रखें कि परंपरागत संकेतन \(a_{ij}\) में पहला इंडेक्स = row, दूसरा = column। / In the notation \(a_{ij}\), the first index \(i\) denotes the row number (row index) and the second index \(j\) denotes the column number (column index). For example \(a_{21}\) is the element in row 2, column 1. Thus option B is correct. Option A is wrong because the column index is \(j\), option C is incorrect because the total number of elements is \(2\times3=6\) which is not what \(i\) denotes, and option D is wrong because the matrix name is \(A\). Exam tip: remember the convention a_{ij} → i = row, j = column (first index = row).
A. दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव/Element in (2)nd row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{23}\) में (2) पंक्ति संख्या और (3) स्तंभ संख्या है। इसलिए यह दूसरी पंक्ति तीसरे स्तंभ का अवयव है। / In \(a_{23}\), (2) is the row number and (3) is the column number. So it is the element in the (2)nd row and (3)rd column.
मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव (1) हैं और बाकी (0) हैं। ऐसी मैट्रिक्स को इकाई मैट्रिक्स कहते हैं। / All main diagonal elements are (1) and the remaining elements are (0). Such a matrix is called an identity matrix.
इस मैट्रिक्स के सभी अवयव शून्य (0) हैं। किसी भी आयाम का ऐसा मैट्रिक्स जिसमें सभी प्रविष्टियाँ 0 हों, उसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है — अतः उत्तर B सही है। विकल्प A (इकाई मैट्रिक्स) में मुख्य विकर्ण पर 1 होते हैं, जो यहाँ नहीं हैं। विकल्प C (स्केलर मैट्रिक्स) सामान्य रूप से λI होता है; शून्य मैट्रिक्स λ=0 के लिए स्केलर मैट्रिक्स का विशेष मामला है, पर मानक वर्गीकरण में इसे प्रमुख रूप से शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है। विकल्प D (स्तम्भ मैट्रिक्स) का अर्थ केवल एक स्तम्भ वाला मैट्रिक्स है, जबकि दिया गया मैट्रिक्स 2×2 है। परीक्षा टिप: सबसे पहले सभी तत्व देखें — यदि सभी तत्व 0 हों तो तुरंत शून्य मैट्रिक्स लिखें। / All entries of this matrix are zero, so it is a zero matrix. A matrix whose every entry is 0 is called the zero matrix — therefore B is correct. Identity matrices have 1s on the main diagonal (not true here). A scalar matrix is of the form λI; the zero matrix is the special case with λ=0, but conventionally it is identified as the zero matrix in classification questions. A column matrix has a single column, whereas the given matrix is 2×2. Exam tip: Check the entries first — if every entry is 0, the matrix is the zero matrix immediately.
C. क्रम \(4\times4\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(4\times4\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। \(4\times4\) में दोनों संख्या (4) हैं। / In a square matrix, the number of rows and columns is equal. In \(4\times4\), both numbers are (4).
C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(2\times5\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा: आयताकार मैट्रिक्स वह होता है जिसकी पंक्तियों (rows) और स्तम्भों (columns) की संख्या भिन्न हो। सामान्य रूप से क्रम \(m\times n\) जहाँ \(m\ne n\) आयताकार होगा। विकल्प C का क्रम \(2\times5\) है और \(2\ne5\), इसलिए यह आयताकार मैट्रिक्स है। विकल्प A, B और D के क्रम \(2\times2\), \(3\times3\) और \(1\times1\) हैं जिनमें पंक्तियाँ और स्तम्भ समान हैं — वे square (वर्गाकार) मैट्रिक्स हैं, इसलिए वे गलत विकल्प हैं। परीक्षा टिप: किसी भी क्रम \(m\times n\) में केवल \(m\) और \(n\) की तुलना कर लें; बराबर हों तो square, नहीं तो rectangular। / Definition: A rectangular matrix has a different number of rows and columns. In general an order \(m\times n\) matrix is rectangular if \(m\ne n\). Option C is of order \(2\times5\) and since \(2\ne5\) it is rectangular. Options A, B and D are of orders \(2\times2\), \(3\times3\) and \(1\times1\) respectively; in each of these the number of rows equals the number of columns, so they are square matrices and not rectangular. Exam tip: To decide quickly, compare the two numbers in the order \(m\times n\); equal ⇒ square, unequal ⇒ rectangular.
विकर्ण मैट्रिक्स की परिभाषा: मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य होते हैं। दिए गए मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर के अवयव 0 हैं और मुख्य विकर्ण पर 2 तथा 3 हैं; इसलिए यह विकर्ण मैट्रिक्स है। निकटतम भ्रामक विकल्प: इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 होते हैं — यहाँ वे 1 नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी मैट्रिक्स का प्रकार बताने से पहले मुख्य विकर्ण के बाहर के तत्वों को जांचें। / Definition: A diagonal matrix has all off-diagonal entries equal to zero. In the given matrix the off-diagonal entries are 0 and the diagonal entries are 2 and 3, so it is a diagonal matrix. Closest distractor: an identity matrix must have 1s on the diagonal, which this matrix does not. Exam tip: quickly check whether all non-diagonal elements are zero to recognize a diagonal matrix.
मुख्य विकर्ण पर बराबर अवयव (5) हैं और बाकी अवयव (0) हैं। ऐसी विकर्ण मैट्रिक्स अदिश मैट्रिक्स कहलाती है। / The main diagonal has equal elements (5), and the remaining elements are (0). Such a diagonal matrix is called a scalar matrix.
सामान्य रूप से \(a_{ij}\) का अर्थ है iवीं पंक्ति और jवें स्तम्भ का अवयव। अत: \(a_{12}\) का अर्थ पहली पंक्ति और दूसरे स्तम्भ का तत्व है। दी गई मैट्रिक्स में पहली पंक्ति, दूसरा स्तम्भ का मान 2 है। विकल्प A (1) गलत है क्योंकि वह \(a_{11}\) है; विकल्प C (3) और D (4) भी दूसरे पंक्ति के तत्व हैं, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा टिप: हमेशा पहले पंक्ति (i) फिर स्तम्भ (j) ढूँढें—\(a_{ij}\) = i‑th row, j‑th column। / By definition \(a_{ij}\) denotes the element in the i-th row and j-th column. So \(a_{12}\) is the element in the first row and second column. In the given matrix that entry is 2. Option A (1) is \(a_{11}\), while C (3) and D (4) are elements of the second row, so they are incorrect. Exam tip: read \(a_{ij}\) as “i-th row, j-th column” and locate row first, then column.
सांकेतिक रूप से \(a_{ij}\) का अर्थ है iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ का अवयव। यहाँ \(a_{21}\) का मतलब दूसरी पंक्ति, पहले स्तंभ का अवयव है। दूसरी पंक्ति, पहले स्तंभ में दिया गया अंक 9 है, इसलिए सही उत्तर 9 है। गलत विकल्पों में 6 पहली पंक्ति पहला स्तंभ (\(a_{11}\)) है और 7 पहली पंक्ति दूसरा स्तंभ (\(a_{12}\)) है — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा युक्ति: इंडेक्स पढ़ते समय पहले पंक्ति (row) फिर स्तंभ (column) याद रखें। / By notation \(a_{ij}\) denotes the element in the i-th row and j-th column. Thus \(a_{21}\) refers to the element in row 2, column 1. In the given matrix that entry is 9, so the correct answer is 9. For reference, 6 is \(a_{11}\) (row 1, column 1) and 7 is \(a_{12}\), so those options are incorrect. Exam tip: always read the subscript as (row, column) — i first, j second.
C. जब उनका क्रम समान हो और समान स्थानों के अवयव बराबर हों/When their orders are same and corresponding elements are equal
Explanation
Simple Explanation
दो मैट्रिक्स बराबर होने के लिए उनका क्रम समान होना चाहिए। साथ ही हर corresponding अवयव बराबर होना चाहिए। / For two matrices to be equal, their order must be the same. Also, every corresponding element must be equal.
दो सममित मैट्रिक्स के बराबर होने पर उनकी समवर्ती प्रविष्टियाँ (corresponding entries) समान होती हैं। यहाँ दोनों मैट्रिस का (1,1) स्थान क्रमशः \(x\) और \(5\) है, अतः \(x=5\)। विकल्प C (4) उलझाने वाला प्रतीत हो सकता है क्योंकि \(4\) दूसरी पंक्ति-दूसरे स्तम्भ में मौजूद है, पर बराबरी के लिये प्रत्येक समवर्ती स्थान की जाँच करनी चाहिए — किसी अन्य स्थान का मान नहीं लिया जा सकता। परीक्षा संकेत: मैट्रिक्स बराबरी में हमेशा समवर्ती अवयवों को ही बराबर मानें; पहले और दूसरे स्थान को न बदलें। / For two equal matrices, their corresponding entries are equal. Here the (1,1) entries are \(x\) and \(5\), so \(x=5\). Option C (4) might mislead since 4 appears in the (2,2) position, but equality demands comparing the same positions, not different ones. Exam tip: always equate entries at the same row and column indices when matrices are equal (compare (i,j) with (i,j)).
यहाँ सूत्र \(a_{ij}=i+j\) दिया है। \(a_{22}\) में पंक्ति सूचक \(i=2\) और स्तम्भ सूचक \(j=2\) हैं, इसलिए \(a_{22}=2+2=4\)। विकल्प B (3) गलत है — वह तब आएगा जब सूचक गलती से \(i=1,j=2\) मान लिए जाएँ। विकल्प D (5) सरल गणना त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले \(i\) और \(j\) के मान स्पष्ट कर लें और फिर सूत्र में रखें। / The rule given is \(a_{ij}=i+j\). For \(a_{22}\), the row index is \(i=2\) and the column index is \(j=2\), so \(a_{22}=2+2=4\). Option B (3) is incorrect — it would result from misreading indices as \(i=1,j=2\). Option D (5) is a simple arithmetic mistake. Exam tip: first identify the values of \(i\) and \(j\) clearly, then substitute into the formula.
कोर विचार: सूचक (indices) \(a_{ij}\) में \(i\) पंक्ति और \(j\) स्तम्भ दर्शाता है। यहाँ \(a_{31}\) के लिए \(i=3\) और \(j=1\)। दिए गए सूत्र में मान रखकर \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटस्थ भ्रान्ति: विकल्प B (4) तब आ सकता है जब कोई गलत‑सौरूप से \(j=2\) ले ले या गणना में गलती करे (उदा. \(6-2=4\))। परीक्षा टिप: सूचक लिखते समय पंक्ति‑स्तम्भ के सही क्रम की पुष्टि करें और पहले सूचक फिर सूत्र में प्रतिस्थापित करें। / Core concept: In \(a_{ij}\), \(i\) denotes the row and \(j\) the column. For \(a_{31}\) we have \(i=3\), \(j=1\). Substitute into the formula: \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\). Thus the correct value is 5. Closest distractor: option B (4) may arise if someone mistakenly used \(j=2\) or made an arithmetic slip. Exam tip: always check the order of indices (row, column) and substitute them into the formula before simplifying.
\(a_{ij}=i\) में प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयव उसी पंक्ति संख्या के बराबर होंगे। पहली पंक्ति में (1) और दूसरी में (2) आएगा। / In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
A. \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(a_{ij}=j\) का अर्थ है कि प्रत्येक अवयव उसकी स्तंभ-सूची (column index) के बराबर होगा। 2×2 मैट्रिक्स में पहली स्तंभ के सभी अवयव 1 होंगे और दूसरी स्तंभ के सभी अवयव 2 होंगे। इसलिए मैट्रिक्स \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\) बनेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(a_{ij}=i\) (पंक्ति-सूची) जैसा परिणाम देता है, और C तथा D भी किसी भी रूप में स्तंभ-सूची नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: सूचकांक \(i,j\) लिखकर हर स्थान पर सीधे नियम लागू करें — इससे भूल होने की संभावना कम होती है। / By definition \(a_{ij}=j\) means each entry equals its column index. In a 2×2 matrix all entries in column 1 are 1 and all entries in column 2 are 2. Thus \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\). Option B would correspond to \(a_{ij}=i\) (row index) and is therefore incorrect; options C and D do not follow the column-index rule either. Exam tip: write down the indices \(i,j\) for each position and substitute the rule to avoid sign/index errors.
दिए गए मैट्रिक्स में क्षैतिज रूप से तीन सूचियाँ हैं: \([1\ 2],\ [3\\ 4],\ [5\ 6]\)। इसलिए इसका क्रम \(3\times2\) है और पंक्तियों की संख्या 3 है। विकल्प A (2) गलती से कॉलमों की संख्या दर्शाता है, जबकि विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत (अधिक) हैं। परीक्षा-टिप: पंक्तियाँ गिनने के लिए मैट्रिक्स में क्षैतिज लाइन-ग्रुप को गिनें — हर क्षैतिज समूह एक पंक्ति है। / The matrix has three horizontal rows: [1 2], [3 4], [5 6]. Thus its order is \(3\times2\) and the number of rows is 3. Option A (2) confuses columns with rows; options C and D are clearly incorrect counts. Exam tip: count the horizontal bracketed lines to find the number of rows (each horizontal entry list is one row).
यदि कोई मैट्रिक्स \(m\times n\) आकार का होता है तो उसमें \(n\) स्तंभ होते हैं। यहाँ दिए गए मैट्रिक्स की पंक्तियाँ दो (2) हैं और प्रत्येक पंक्ति में चार (4) अवयव हैं, अतः इसका आकार \(2\times4\) है और स्तंभों की संख्या 4 है। विकल्प A (2) पंक्तियों की संख्या दर्शाता है, और D (8) कुल अवयवों की संख्या है; इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा-सूत्र: किसी पंक्ति में मौजूद अवयवों की संख्या गिनकर सीधे स्तंभों की संख्या पता कर लें या मैट्रिक्स का आकार \(m\times n\) पढ़ें। / For an \(m\times n\) matrix there are \(n\) columns. In this matrix each row has 4 entries and there are 2 rows, so its size is \(2\times4\) and it has 4 columns. Option A (2) is the number of rows, option D (8) is the total number of entries; option B (3) is unrelated. Exam tip: count entries in a single row or read the matrix size \((m\times n)\) to find the number of columns quickly.
एक मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति में स्तंभों की संख्या और कुल पंक्तियों की संख्या मिलकर कुल अवयव देते हैं। यदि पंक्तियों की संख्या \(m\) और स्तंभों की संख्या \(n\) है तो कुल अवयव \(m\times n\) यानी \(mn\) होंगे। विकल्प A (\(m+n\)) पंक्तियों और स्तंभों को जोड़ देता है—यह अवयवों की गिनती का सही तरीका नहीं है; B और D भी गलत हैं क्योंकि वे घटाना या भाग कर रहे हैं, न कि गुणा। परीक्षा टिप: किसी वर्ग मैट्रिक्स के लिए जहाँ \(m=n\), कुल अवयव \(n^2\) होंगे। / The number of elements equals the number of rows times the number of columns. For a matrix with \(m\) rows and \(n\) columns the total elements are \(m\times n\), i.e. \(mn\). Option A (\(m+n\)) incorrectly adds rows and columns instead of multiplying them; B (\(m-n\)) and D (\(m/n\)) are also incorrect because subtraction or division do not count grid entries. Exam tip: for a square matrix of order \(n\times n\) the total elements are \(n^2\).
मैट्रिक्स के कुल अवयव = पंक्तियाँ × स्तम्भ। यदि स्तम्भों की संख्या को n मानें तो
\(15 = 3 \times n\)
इससे \(n = 15/3 = 5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प C (12) संभवतः \(15-3\) जैसी गलत गणना का परिणाम है और इसलिए गलत है; विकल्प D (18) तब गलत है जब कोई 3×6 समझ ले, जबकि विकल्प A (3) से कुल अवयव 3×3 = 9 होंगे, जो 15 से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: हमेशा फॉर्मूला याद रखें — कुल अवयव = पंक्तियाँ × स्तम्भ और अज्ञात स्तम्भ निकालने के लिए कुल अवयव को पंक्तियों से भाग दें। / Total elements = rows × columns. Let columns = n. Then \(15 = 3 \times n\), so \(n = 15/3 = 5\). Thus 5 is correct. Option C (12) likely comes from mistakenly doing 15−3; option D (18) would correspond to 3×6 and does not match 15; option A (3) gives 3×3 = 9, not 15. Exam tip: Use elements = rows × columns and divide the total elements by the number of rows to find columns.
मैट्रिक्स के कुल अवयव = पंक्तियाँ × स्तम्भ. यहाँ कुल अवयव 24 और स्तम्भ 6 दिए हुए हैं, अतः \(24 = m \times 6\). इससे पंक्तियों की संख्या \(m = 24/6 = 4\) आती है। विकल्प B (6) गलती से स्तम्भ की संख्या को पंक्तियों समझने जैसा भ्रम है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: किसी भी मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या निकालने के लिए कुल अवयव को स्तम्भों से भाग दें। / Total elements of a matrix = rows × columns. Given total elements 24 and columns 6, we have \(24 = m \times 6\), so rows \(m = 24/6 = 4\). Option B (6) confuses columns with rows and is therefore incorrect. Exam tip: To find rows, divide total number of elements by number of columns (rows = elements ÷ columns).
किसी मैट्रिक्स में कुल अवयवों की संख्या = (पंक्तियों की संख्या) \(\times\) (स्तम्भों की संख्या)। यहाँ मैट्रिक्स का क्रम \(1\times1\) है, इसलिए कुल अवयव \(1\times1=1\)। विकल्प C (2) गलत है क्योंकि वह \(1\times2\) या \(2\times1\) जैसे आदेश के लिए सही होगा; विकल्प D (11) केवल '1' और '1' को जतन करके जोड़ा गया अंक है, वह गणितीय गुणा का परिणाम नहीं है; विकल्प A (0) तब भी गलत है जब तक मैट्रिक्स की भौतिक परिभाषा में शून्य-आकार नहीं दिया गया हो, जो इस स्तर पर लागू नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या को गुणा कर के ही अवयवों की गणना करें। / Number of elements in a matrix = (number of rows) \(\times\) (number of columns). For a \(1\times1\) matrix the count is \(1\times1=1\), so there is one element. Option C (2) would correspond to a \(1\times2\) or \(2\times1\) matrix, option D (11) is a concatenation error (not a product), and option A (0) is incorrect here. Exam tip: multiply rows by columns to get the total elements every time.
मध्यवर्ती (main) विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य हैं और विकर्ण पर क्रमशः 2, 3, 4 जैसे गैर-शून्य मान हैं। इन्हीं गुणों के कारण यह विकर्ण मैट्रिक्स है। निकटतम विचलन (Zero matrix) गलत है क्योंकि शून्य मैट्रिक्स में सभी अवयव शून्य होते हैं, पर यहाँ विकर्ण पर 2, 3, 4 हैं। पंक्ति या स्तंभ मैट्रिक्स नहीं है क्योंकि वह 1×n या n×1 का आकार होता है, जबकि यह 3×3 है। परीक्षा टिप: किसी मैट्रिक्स को विकर्ण मानने के लिए सिर्फ यह जाँचें कि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ 0 हों। / All entries outside the main diagonal are zero while the diagonal entries are 2, 3 and 4 (nonzero). These properties define a diagonal matrix. The zero-matrix option is incorrect because a zero matrix requires every entry to be 0, which is not true here. It is also not a row or column matrix since those have dimensions 1×n or n×1 whereas this is 3×3. Exam tip: Check whether all off-diagonal entries are 0 to identify a diagonal matrix quickly.
A. तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स/Identity matrix of order 3
Explanation
Simple Explanation
इकाई (identity) मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण (main diagonal) पर सभी प्रविष्टियाँ 1 होती हैं और बाकी सभी प्रविष्टियाँ 0 होती हैं। दिया गया मैट्रिक्स \(3\times3\) है और इसकी मुख्य विकर्ण पर 1 तथा शेष स्थानों पर 0 हैं, इसलिए यह तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स है। निकटतम भ्रामक विकल्प शून्य मैट्रिक्स इसलिए गलत है क्योंकि शून्य मैट्रिक्स में सभी प्रविष्टियाँ 0 होतीं — यहाँ मुख्य विकर्ण पर 1 हैं। पंक्ति और स्तंभ मैट्रिक्स का आकार क्रम में एक पंक्ति या एक स्तंभ होता है, इसलिए वे भी उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा युक्ति: पहचान के लिए मुख्य विकर्ण (diagonal) पर 1 हैं या नहीं तुरंत देख लें। / An identity matrix has 1s on the main diagonal and 0s elsewhere. The given matrix is 3×3 with ones on its main diagonal and zeros in all other positions, so it is the identity matrix of order 3. The closest distractor, the zero matrix, is incorrect because a zero matrix has every entry equal to 0, whereas here diagonal entries are 1. Row and column matrices are of sizes 1×n or n×1 respectively, so they do not match a 3×3 identity matrix. Exam tip: quickly check the main diagonal — if all are 1 and others 0, it's an identity matrix.
विकर्ण मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) होते हैं। मुख्य विकर्ण के अवयव (0) या nonzero हो सकते हैं। / In a diagonal matrix, all elements outside the main diagonal are (0). Main diagonal elements may be (0) or nonzero.
अदिश (scalar) मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स होती है जिसे kI के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ I इकाई मैट्रिक्स है और k समान स्केलर है। इसलिए मुख्य विकर्ण पर सभी प्रविष्टियाँ समान (= k) होती हैं और सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प पंक्ति मैट्रिक्स है — पर वह केवल एक पंक्ति में तत्व रखती है और विकर्ण पर समानता या अन्य अवयवों के शून्य होने की कोई शर्त नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी मैट्रिक्स को scalar मानने के लिए उसे kI के रूप में व्यक्त कर पाना चाहिए (सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य और विकर्ण बराबर)। / A scalar matrix is of the form kI, where I is the identity matrix and k is a scalar. Thus every main diagonal entry equals k and every off-diagonal entry is zero. The closest distractor, row matrix, only means nonzero entries may lie in a single row and does not require equal diagonal entries or zero off-diagonals. Exam tip: Check if the matrix can be written as kI — if yes, it's a scalar matrix.
इकाई मैट्रिक्स (नोटेशन अक्सर \(I_n\)) की परिभाषा यह है कि इसके मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव 1 होते हैं और बाकी सभी अवयव 0 होते हैं। इसलिए दिया गया विवरण सीधे इकाई मैट्रिक्स को सूचित करता है। निकटतम भ्रामक विकल्प 'विकर्ण मैट्रिक्स' है — वह भी केवल मुख्य विकर्ण पर संभावित गैर-शून्य अवयव रखता है, पर वे अनिवार्य रूप से 1 नहीं होते; इकाई मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है जहाँ विकर्ण पर सभी मान 1 हैं। 'शून्य मैट्रिक्स' में सभी अवयव 0 होते हैं (न तो विकर्ण पर 1) और 'आयताकार मैट्रिक्स' आकार से संबंधित है और सामान्यतः वर्गाकार नहीं भी हो सकती, जबकि इकाई मैट्रिक्स वर्गाकार होना आवश्यक है। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प को चुनते समय जाँचें कि क्या मैट्रिक्स वर्गाकार है और विकर्ण के मान विशेष रूप से 1 हैं। / An identity matrix (commonly denoted \(I_n\)) is defined by having 1s on the main diagonal and 0s elsewhere, so the given description matches the identity matrix exactly. The closest distractor is the diagonal matrix — it has zeros off the main diagonal but its diagonal entries need not be 1; the identity matrix is just the special diagonal matrix with all diagonal entries equal to 1. The zero matrix has all entries 0 (including the diagonal), and a rectangular matrix refers to shape and may not be square, whereas an identity matrix must be square. Exam tip: verify the matrix is square and that diagonal entries are specifically 1 before selecting the answer.
परिवर्तित मैट्रिक्स में पंक्तियां स्तंभ बन जाती हैं। इसलिए \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\)। / In transpose, rows become columns. Hence \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\).
Transpose लेने पर पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं। इसलिए \(2\times3\) का transpose \(3\times2\) होगा। / On taking transpose, rows and columns interchange. Therefore the transpose of \(2\times3\) has order \(3\times2\).
कोर अवधारणा: किसी मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण उस अनुक्रम को दर्शाता है जो ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ तक जाता है, अर्थात् उन अवयवों के लिए पंक्ति और स्तम्भ सूचक समान होते हैं (\(i=i\))। यहाँ \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\) में \(a_{11}=1\) और \(a_{22}=2\) हैं, इसलिए मुख्य विकर्ण के अवयव 1 और 2 हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D (0, 2) गलत है क्योंकि उसका पहला अवयव 0 मैट्रिक्स का \(a_{12}\) है न कि \(a_{11}\)। परीक्षा टिप: मुख्य विकर्ण के लिए हमेशा पहले और दूसरे इंडेक्स बराबर देखें (\(a_{11},a_{22},a_{33}\) ... )—ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ पढ़ें। / Core idea: The main diagonal consists of entries where the row and column indices are equal (i.e. \(i=i\)), running from top-left to bottom-right. For \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\), we have \(a_{11}=1\) and \(a_{22}=2\), so the diagonal elements are 1 and 2. The closest distractor D (0, 2) is wrong because its first entry 0 is \(a_{12}\), not a diagonal entry. Exam tip: Check positions with equal row and column indices (\(a_{11},a_{22},a_{33},\dots\)) to find the main diagonal quickly.
मुख्य विकर्ण (main diagonal) वे स्थान हैं जहाँ तत्वों के सूचकांक बराबर होते हैं (a11, a22)। इन स्थानों पर इस मैट्रिक्स में 0 और 0 हैं। off-diagonal वे तत्व होते हैं जहाँ सूचकांक बराबर नहीं होते (a12 और a21)। यहाँ a12 = 5 और a21 = 7 हैं, अतः off-diagonal अवयव 5 और 7 हैं। निकटतम विचलन (जैसे विकल्प C या D) एक विकर्ण और एक off-diagonal मिलाकर देते हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले a11, a22 जैसे प्रमुख विकर्ण के स्थान पहचानें (i=j), बाकी सभी i≠j वाले off-diagonal होंगे। / The main diagonal entries are those with equal row and column indices (a11, a22); here they are 0 and 0. Off-diagonal entries have unequal indices (a12 and a21). In this matrix a12 = 5 and a21 = 7, so the off-diagonal elements are 5 and 7. Closest distractors (options C or D) mix a diagonal zero with an off-diagonal value, which is why they are incorrect. Exam tip: locate positions with i=j first to find the main diagonal; all other positions (i≠j) are off-diagonal.
A. संख्याओं की आयताकार व्यवस्था/A rectangular arrangement of numbers
Explanation
Simple Explanation
मैट्रिक्स संख्याओं या व्यंजकों की आयताकार व्यवस्था है। इसे पंक्तियों और स्तंभों में लिखा जाता है। / A matrix is a rectangular arrangement of numbers or expressions. It is written in rows and columns.
मैट्रिक्स का क्रम (order) = (पंक्तियों की संख्या) \times (स्तंभों की संख्या)। दिए गए मैट्रिक्स में एक ही पंक्ति और तीन स्तम्भ हैं, इसलिए इसका क्रम \(1\times3\) है। विकल्प B \((3\times1)\) गलती से स्तम्भ-मैट्रिक्स बताता है — यदि आप मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ कर दें तो वह \(3\times1\) हो जाएगा, पर मूल मैट्रिक्स \(1\times3\) है। परीक्षा टिप: पहले पंक्तियों की संख्या गिनें, फिर स्तम्भों की — क्रम हमेशा rows×columns होता है। / The order of a matrix is (number of rows) × (number of columns). The given matrix has 1 row and 3 columns, so its order is \(1\times3\). Option B (\(3\times1\)) describes a column matrix and would be the order after transposing; it is not the order of the given row matrix. Exam tip: always count rows first, then columns — write order as rows×columns.
इस मैट्रिक्स में चार अलग पंक्तियाँ (2, 3, 4, 5) और एक ही स्तंभ है, इसलिए इसका क्रम \(4\times1\) है। विकल्प A (\(1\times4\)) निकटतम ग़लत विकल्प है क्योंकि वह एक पंक्ति और चार स्तंभ वाला मैट्रिक्स दर्शाता — यहाँ पंक्तियाँ चार हैं, न कि एक। परीक्षा टिप: क्रम लिखते समय हमेशा पहले पंक्तियाँ (rows) और फिर स्तंभ (columns) गिनें। / The matrix has four rows (2, 3, 4, 5) and one column, so its order is \(4\times1\). Option A (\(1\times4\)) is the closest distractor but incorrect because it denotes a 1-row, 4-column matrix; here there are 4 rows. Exam tip: Always count rows first, then columns (rows × columns).
A. पहली पंक्ति और तीसरा स्तंभ/(1)st row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{13}\) में (1) पंक्ति को और (3) स्तंभ को बताता है। index का क्रम हमेशा पंक्ति फिर स्तंभ होता है। / In \(a_{13}\), (1) tells the row and (3) tells the column. The index order is always row then column.
मैट्रिक्स में पंक्तियाँ क्षैतिज (horizontal) सूचियाँ होती हैं। दो-पंक्ति वाली इस मैट्रिक्स में पहली पंक्ति \((1,2,3)\) और दूसरी पंक्ति नीचे वाली सूचियाँ \((4,5,6)\) है। विकल्प A पहली पंक्ति है, विकल्प C और D स्तम्भ (column) हैं जैसे पहली और तीसरी स्तम्भ। परीक्षा टिप: पंक्ति की पहचान के लिए पहले इंडेक्स (row index) देखें — दूसरी पंक्ति वह है जहाँ पहला सूचक 2 होगा। / Rows of a matrix are the horizontal lists of entries. For this 2×3 matrix the first row is (1,2,3) and the second (bottom) row is (4,5,6). Option A is the first row; options C and D are columns (first and third column respectively). Exam tip: use the row index (the first index) to identify which horizontal list is the required row.
स्तम्भ (column) मैट्रिक्स की ऊर्ध्वाधर सूची होती है। दिए गए मैट्रिक्स में तीसरे कॉलम के तत्व पहले पंक्ति का तीसरा तत्व 3 और दूसरी पंक्ति का तीसरा तत्व 6 हैं, इसलिए तीसरा स्तम्भ \(\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\) है। निकटतम ग़लत विकल्प \(\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) वास्तव में दूसरा स्तम्भ है; \(\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\) का आयाम इस 2×3 मैट्रिक्स से मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: कॉलम चुनते समय ऊपर से नीचे तत्व पढ़ें और कॉलम का सूचकांक याद रखें। / A column of a matrix is the vertical list of entries. In the given matrix the third column takes the third entry from the first row (3) and the third entry from the second row (6), so it is \(\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\). The closest distractor \(\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) is the second column, and \(\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\) has three entries and does not match the 2×3 matrix. Exam tip: read column entries top to bottom and use the column index to pick the correct vertical list.
दो मैट्रिक्स का समान होना तभी संभव है जब उनका क्रम समान हो और सभी संबंधित प्रविष्टियाँ समान हों। यहां दोनों का क्रम 2×2 है और अधिकांश प्रविष्टियाँ समान हैं (1, 2, 3) लेकिन अंतिम प्रविष्टियाँ 4 और 5 अलग हैं। इसलिए \(A\ne B\)। विकल्प A गलत है क्योंकि एक प्रविष्टि भिन्न है; विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों का क्रम समान (2×2) है; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई भी मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स नहीं है। परीक्षा-सुझाव: दो मैट्रिक्स बराबर हैं यह जाँचने के लिए क्रम की जाँच करें और प्रत्येक संबंधित प्रविष्टि की तुलना करें। / Two matrices are equal only if they have the same order and every corresponding entry is equal. Both A and B are 2×2 and entries (1,2,3) match, but the (2,2) entries are 4 and 5 which are different. Hence A ≠ B. Option A is wrong because one corresponding entry differs; option C is wrong because both matrices have the same order (2×2); option D is wrong because neither matrix is a zero matrix. Exam tip: to test equality check order first, then compare each corresponding element one by one.
दोनों मैट्रिस समान हैं तो उनके समान स्थानों पर के अवयव समान होंगे। पहली पंक्ति–पहला स्तम्भ से \(x=3\) और दूसरी पंक्ति–दूसरा स्तम्भ से \(y=4\)। अतः \((x,y)=\,(3,4)\)। निकटतम विकरल \((4,3)\) गलत है क्योंकि इसमें x और y के मान आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: मैट्रिस की समान पंक्ति–स्तम्भ स्थितियों को सीधे बराबर रखें। / Equal matrices have equal corresponding entries. From the (1,1) entry we get \(x=3\), and from the (2,2) entry \(y=4\). Hence \((x,y)=(3,4)\). The closest distractor \((4,3)\) is wrong because it swaps the values of x and y. Exam tip: always equate entries at the same (row,column) positions when comparing matrices.
मैट्रिक्स \(A\) में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तम्भ हैं, अतः इसका क्रम \((2\times3)\) है। ट्रांसपोज़ (transpose) ऑपरेशन पंक्तियों और स्तम्भों को स्वैप कर देता है, इसलिए \(A^T\) का क्रम \((3\times2)\) होगा। विकल्प \((2\times3)\) केवल मूल मैट्रिक्स का क्रम दर्शाता है और ट्रांसपोज़ के लिए गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा "पंक्तियाँ × स्तम्भ" गिनें; ट्रांसपोज़ में दोनों बदल जाते हैं। / Matrix \(A\) has 2 rows and 3 columns, so its order is \((2\times3)\). The transpose swaps rows and columns, hence \(A^T\) has order \((3\times2)\). The option \((2\times3)\) refers to the original matrix, not the transpose. Exam tip: read every matrix as "rows × columns" and flip them for the transpose.
शून्य मैट्रिक्स की परिभाषा: हर प्रविष्टि 0 होती है। विकल्प A में चारों तत्व 0 हैं इसलिए यह 2×2 शून्य मैट्रिक्स है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (पहचान मैट्रिक्स) में अग्ररेखा पर 1 हैं, इसलिए वह शून्य मैट्रिक्स नहीं हो सकता। परिक्षा सुझाव: किसी मैट्रिक्स को शून्य मानने से पहले सभी प्रविष्टियाँ जाँचें — कोई भी 0 के अलग मान होने पर वह शून्य मैट्रिक्स नहीं होगा। / Definition: a zero matrix has every entry equal to 0. In option A all four entries are 0, so it is the 2×2 zero matrix. The closest distractor B is the identity matrix with 1s on the diagonal, so it is not a zero matrix. Exam tip: verify every entry — a single nonzero entry immediately rules out the zero matrix.
इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी (0) होते हैं। यह रूप दूसरे विकल्प में है। / An identity matrix has (1) on the main diagonal and (0) elsewhere. This form is in the second option.
जब सभी अवयव (0) हों, तो मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स होती है। यह definition पर आधारित सीधा प्रश्न है। / When all elements are (0), the matrix is a zero matrix. This is a direct definition-based question.
(i=j) मुख्य विकर्ण को दर्शाता है, जहां अवयव (1) हैं। \(i\ne j\) पर बाकी अवयव (0) हैं, इसलिए यह इकाई मैट्रिक्स है। / (i=j) represents the main diagonal, where the elements are (1). For \(i\ne j\), the other elements are (0), so it is an identity matrix.
मुख्य विकर्ण पर समान अवयव (3) हैं और बाहर के अवयव (0) हैं। इसलिए (A) अदिश मैट्रिक्स है। / The main diagonal has equal elements (3), and outside elements are (0). Therefore (A) is a scalar matrix.
सूचकांक \(a_{ij}\) में पहला सूचकांक पंक्ति (row) और दूसरा स्तम्भ (column) दर्शाता है। इसलिए \(a_{22}\) दूसरी पंक्ति तथा दूसरे स्तम्भ का अवयव है। मैट्रिक्स \(A\) की दूसरी पंक्ति, दूसरी स्तम्भ में दिया गया अवयव \(6\) है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(9=a_{11}\), \(8=a_{12}\) और \(7=a_{21}\) हैं। परीक्षा टिप: हर बार \(a_{ij}\) पढ़ते समय पहले 'i' को पंक्ति और फिर 'j' को स्तम्भ समझें। / \(a_{ij}\) denotes the element in the i-th row and j-th column. Thus \(a_{22}\) is the element in the second row and second column. In matrix \(A\) that entry is \(6\). The other choices correspond to \(9=a_{11},\ 8=a_{12},\ 7=a_{21}\). Exam tip: Always read \(a_{ij}\) as row i, column j to locate the element quickly.
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