Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln x+4\) भी सभी वास्तविक मान ले सकता है, क्योंकि ऊपर खिसकाव से \(\mathbb{R}\) परास नहीं बदलता। / \(\ln x+4\) also takes all real values, because shifting \(\mathbb{R}\) still gives \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत पर \(\mathbb{R}\) को ढकता है। / A logarithmic function on its natural domain covers all real values.
A. क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता/Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
Step 1
Concept
(0<x<1) पर \(\ln x<0\) होता है। / For (0<x<1), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, जिसमें ऋणात्मक मान नहीं हैं, इसलिए दिए गए रूप में यह (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) फलन ठीक से नहीं बनता। / The codomain is (\(0,\infty\)), which does not contain negative values, so the given mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने से पहले फलन की परिभाषा सही है या नहीं, यह देखें। / Before testing onto nature, check whether the function is well-defined.
(x) के (0) से \(\pi\) तक जाने पर \(\cos x\) (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / As (x) goes from (0) to \(\pi\), \(\cos x\) takes every value from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए उसका हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every value in it is obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय अंतरालों पर परास ध्यान से पहचानें। / Identify the range carefully on restricted trigonometric intervals.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\pi]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे इस प्रांत से नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, but they are not obtained from this domain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में प्रांत बदलने से आच्छादीपन बदलता है। / For trigonometric functions, changing the domain changes onto nature.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर वास्तविक सहप्रांत मान किसी न किसी (x) से मिलता है। / Thus every real codomain value is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the standard onto interval for \(\tan x\).
A. क्योंकि इसका परास केवल ([0,1]) है/Because its range is only ([0,1])
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) (0) से (1) तक मान लेता है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), \(\tan x\) takes values from (0) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
बड़े सहप्रांत के सामने छोटा परास आच्छादीपन नहीं देता। / A small range cannot cover a larger codomain.
