Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (2) परास में नहीं आता/Because (2) is not in the range
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+x^2}\) का मान सीमित रहता है और (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2})। / \(\frac{x}{1+x^2}\) is bounded and satisfies (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर (f(x)=2) संभव नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but (f(x)=2) is impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में परास की सीमा पहचानें। / For rational expressions, identify range bounds.
(f(x)=\frac{x}{1+x-2}) का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) (x=1) पर और न्यूनतम \(-\frac{1}{2}\) (x=-1) पर है। / (f(x)=\frac{x}{1+x-2}) has maximum \(\frac{1}{2}\) at (x=1) and minimum \(-\frac{1}{2}\) at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
बीच के सभी मान सततता के कारण मिलते हैं। / All intermediate values are obtained by continuity.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल सहप्रांत हो तो अंतिम बिंदुओं को भी जाँचें। / If the codomain is a closed interval, check endpoints too.
सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। / For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important.
\(1+x^2\ge1\), इसलिए (0<f(x)\le1)। / Since \(1+x^2\ge1\), (0<f(x)\le1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y\in(0,1]) के लिए \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any (y\in(0,1]), \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
परास निकालने के लिए समीकरण को \(x^2\) के रूप में लिखें। / To find range, rewrite the equation in terms of \(x^2\).
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में आता है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में भी फलन आच्छादी हो सकता है यदि सहप्रांत सही चुना जाए। / Even on a restricted domain, a function can be onto if codomain is chosen correctly.
([-1,1]) पर \(x^2\) के मान ([0,1]) में रहते हैं। / On ([-1,1]), values of \(x^2\) lie in ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जैसे \(-\frac{1}{2}\), जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) also contains negative values such as \(-\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
समान प्रांत रखने से आच्छादी होना तय नहीं होता। / Having a similar-looking domain does not guarantee onto.
