Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\), \(x^6+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है। / Even powers with a positive shift have a range bounded below.
\(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। / Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता। / A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B).
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं। / The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-\frac{\pi}{2}\) पर मान (-1) और \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मान (1) है, इसलिए बीच के सभी मान मिलते हैं। / At \(x=-\frac{\pi}{2}\), the value is (-1), and at \(x=\frac{\pi}{2}\), the value is (1), so all values between them are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में अंतिम बिंदुओं के मान जाँचकर आच्छादी को जल्दी पहचाना जा सकता है। / On a closed interval, checking endpoint values helps identify onto behavior quickly.
कुल फलन \(3^6\) होंगे। / Total functions are \(3^6\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी फलन \(3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\) मिलते हैं। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलनों की गिनती में पहले सभी फलन लें, फिर छूटे हुए सहप्रांत तत्वों वाले फलन घटाएँ। / For counting onto functions, start with all functions and subtract those missing codomain elements.
