Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए (f(x)\ge0)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो परास में नहीं आ सकतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में अक्सर परास नीचे से सीमित होता है। / Even-power polynomials are often bounded below.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) वाले प्रश्नों में प्रांत बहुत महत्त्वपूर्ण होता है। / In \(\tan x\) questions, the domain is very important.
A. फलन सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/The function is continuous and goes from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+3x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3+3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद प्रायः \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / Continuous cubic polynomials are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
(|x-5|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x-5|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) है, पर इसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-2), but it has no preimage.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर जाँचते समय ऋणात्मक मान देखें। / For absolute value functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\), check negative values.
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक देता है। / (2n+1) always gives odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (2), जिनका पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also has even integers, such as (2), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम और विषम का निरीक्षण तेज तरीका है। / For integer functions, parity is a quick check.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / The codomain is the set of odd integers only.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम (y) को (y=2n+1) लिख सकते हैं जहाँ \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\)। / Every odd (y) can be written as (y=2n+1), where \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही सूत्र आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same formula onto.
\(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^2+1\), we get \(x^2=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। / Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है। / To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain.
