Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\lceil x\rceil\) हर (x) के लिए कोई पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives an integer for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), taking (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन का सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक प्राप्त होता है। / When the codomain of the ceiling function is \(\mathbb{Z}\), every integer is obtained.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) का मान हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
मंजिल या छत फलन में सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो तो आच्छादकता सावधानी से देखें। / For floor or ceiling functions with codomain \(\mathbb{R}\), check onto carefully.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([4,\infty\)) है/Not onto because range is \([4,\infty\))
Step 1
Concept
दो बिंदुओं (-2) और (2) से दूरी का योग कम से कम (4) होता है। / The sum of distances from (-2) and (2) is at least (4).
Step 2
Why this answer is correct
([-2,2]) के बीच मान (4) और बाहर जाने पर इससे बड़े मान मिलते हैं। / Between (-2) and (2), the value is (4), and outside this interval larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
मापांक योग में दूरी का अर्थ समझना परास निकालने में मदद करता है। / Interpreting modulus as distance helps find the range.
इस मापांक योग का न्यूनतम मान (4) है। / The minimum value of this modulus sum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) बड़ा होने पर मान अनंत तक बढ़ सकता है इसलिए (4) से ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / As (|x|) becomes large, the value can grow without bound, so all values above (4) are obtained.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक परास सहक्षेत्र के बराबर हो तो फलन आच्छादक है। / If the actual range equals the codomain, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2+1\ge1\) इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। / Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में अंदर की न्यूनतम मात्रा परास तय करती है। / For square-root functions, the minimum of the inside expression determines the range.
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें। / Choose the preimage while respecting the domain restriction.
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1-\sqrt{y}\) लेने पर \(x\le1\) और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking \(x=1-\sqrt{y}\) gives \(x\le1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन की अलग शाखा भी सही सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकती है। / A different branch of a quadratic can also be onto for a suitable codomain.
\(x\to-\infty\) पर \(x^3\) के कारण मान \(-\infty\) की ओर जाता है और \(x\to\infty\) पर दोनों पद मिलकर \(\infty\) की ओर जाते हैं। / As \(x\to-\infty\), the \(x^3\) term makes the value go to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), both terms make it go to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में असीम जाता है तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / When a continuous function goes unbounded in both directions, it is onto \(\mathbb{R}\).
\(x\ge0\) पर \(x^2\) से सभी अरिणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं। / For \(x\ge0\), \(x^2\) gives all non-negative real values.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर \(-x^2\) से सभी ऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं और (0) पहले भाग से मिल जाता है। / For (x<0), \(-x^2\) gives all negative real values, and (0) is obtained from the first part.
Step 3
Exam Tip
खंडों में दिए फलन में हर खंड का परास अलग निकालकर उनका सम्मिलित परास देखें। / For a piecewise function, find the range of each part and then take their union.
