Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह सतत विषम घात का बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। / Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है। / For increasing polynomials, identifying the range becomes easier.
\(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। / \(x^5-x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं। / Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3\) ([-1,1]) पर लगातार बढ़ता है। / \(x^3\) is continuously increasing on ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(x=-1) पर (-1) और (x=1) पर (1) मिलता है इसलिए बीच के सभी मान भी मिलते हैं। / At (x=-1), it gives (-1), and at (x=1), it gives (1), so all intermediate values are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर सतत बढ़ते फलन का परास सिरों से मिल जाता है। / For a continuous increasing function on a closed interval, the range comes from endpoint values.
C. आच्छादक है क्योंकि हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) है/Onto because for every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र ([0,1]) है इसलिए केवल (0) से (1) तक के लक्ष्य मान जाँचने हैं। / The codomain is ([0,1]), so only target values from (0) to (1) must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) भी ([-1,1]) में है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) also lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सहक्षेत्र पर जाँची जाती है पूरे संभावित परास पर नहीं। / Onto is checked against the codomain, not against extra values outside it.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि हर अरिणात्मक पूर्णांक वर्ग नहीं होता/Not onto because every non-negative integer is not a square
Step 1
Concept
\(n^2\) केवल पूर्ण वर्ग देता है जैसे (0,1,4,9)। / \(n^2\) gives only perfect squares such as (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र में (2) और (3) जैसे अरिणात्मक पूर्णांक हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / The codomain contains non-negative integers like (2) and (3), which are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र अरिणात्मक होने पर भी सभी मान मिलें यह जरूरी नहीं। / Even with a non-negative codomain, not every value must be obtained.
