Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें। / In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। / Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। / At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं। / Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions.
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
(a=0) पर फलन स्थिर है। / If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है। / None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। / \(x^3+a x\) is an odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। / Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। / Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है। / For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range.
