Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। / This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें। / In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials.
इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है। / For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone.
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें। / When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior.
\(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। / \(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। / Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं। / Continuity plus end behavior can prove onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams.
\(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। / The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। / As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें। / After finding the minimum, compare it with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। / If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value.
