Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। / (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / Once range and codomain match, onto is proved.
\(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। / \(2\mathbb{Z}\) is the set of all even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है। / With codomain restricted to even integers, this function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं/Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें। / When a formula gives only odd or even values, check onto carefully.
(2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। / (2n-1) gives all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है। / If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto.
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है। / For rational functions, the minimum denominator helps determine the range.
(x=0) पर मान (1) मिलता है। / At (x=0), the value (1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। / As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है। / Whether a boundary value is attained matters in onto questions.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
