Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। / The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। / For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती। / For onto, values outside the codomain do not matter.
यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है। / In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful.
कुल फलन \(2^5=32\) हैं। / Total functions are \(2^5=32\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं। / Therefore onto functions are (32-2=30).
(C) के किसी भी (c) के लिए (g) आच्छादक होने से कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c)। / For any \(c\in C\), since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक होने से उस (b) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (f) is onto, for that (b), there is \(a\in A\) such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (g(f(a))=c) इसलिए संयोजन आच्छादक है। / Then (g(f(a))=c), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक है तो हर \(c\in C\) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। / If \(g\circ f\) is onto, then for every \(c\in C\), there is \(a\in A\) such that (g(f(a))=c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(a)) कोई (B) का सदस्य है इसलिए (g) से (c) मिल रहा है। / Here (f(a)) is an element of (B), so (g) produces (c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (C) का हर सदस्य (g) के परास में है और (g) आच्छादक है। / Hence every element of (C) is in the range of (g), so (g) is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक होने से (g) का पर्याप्त भाग (C) को ढकता है। / If \(g\circ f\) is onto, a sufficient part of (g)'s domain covers (C).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (f) का पूरा (B) ढकना जरूरी नहीं सिद्ध होता। / This does not prove that (f) covers the whole of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के उल्टे निष्कर्षों में केवल वही बात मानें जो तर्क से अनिवार्य हो। / In reverse conclusions about composition, accept only what is logically forced.
