Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है। / For onto checking, one missing codomain element is enough.
\(x\ge 0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}) और (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}) है। / For \(x\ge 0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), and for (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए उपयुक्त \(x=\frac{y}{1-y}\) जब \(y\ge0\), और \(x=\frac{y}{1+y}\) जब (y<0) लिया जा सकता है। / For any \(y\in(-1,1)\), choose \(x=\frac{y}{1-y}\) when \(y\ge0\), and \(x=\frac{y}{1+y}\) when (y<0).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में चिन्ह के अनुसार पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For piecewise-looking expressions, find the preimage according to sign.
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें। / In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully.
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto.
कुल फलन \(3^5\) होंगे। / Total functions are \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी संख्या \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी गणना के लिए छूटे हुए सहप्रांत तत्वों को घटाएँ। / For finite sets, subtract functions missing codomain elements.
आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर तत्व को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / An onto function needs at least one preimage for every codomain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) तत्व हैं, इसलिए (B) के (5) तत्वों को पूरा नहीं ढका जा सकता। / (A) has only (3) elements, so it cannot cover all (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत के तत्व सहप्रांत से कम हों, सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन असंभव है। / For finite sets, if domain size is less than codomain size, onto functions are impossible.
\(x\to\infty\) पर \(x^3-x\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(x^3-x\to-\infty\)। / As \(x\to\infty\), \(x^3-x\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(x^3-x\to-\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
बहुपद सतत है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान लेता है। / The polynomial is continuous, so it takes every real value in between.
Step 3
Exam Tip
घन बहुपद में सिरों का व्यवहार आच्छादी जाँच में बहुत उपयोगी है। / For cubic polynomials, end behavior is very useful for onto checking.
