Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। / The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे। / If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
(3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। / Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते। / Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर फलन के लिए (f(1)=f(1)), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every function, (f(1)=f(1)), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(1)=g(1)), तो (g(1)=f(1)) भी सही है। / If (f(1)=g(1)), then (g(1)=f(1)) is also true.
Step 3
Exam Tip
यदि (f(1)=g(1)) और (g(1)=h(1)), तो (f(1)=h(1)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / If (f(1)=g(1)) and (g(1)=h(1)), then (f(1)=h(1)), so it is an equivalence relation.
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। / If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation.
सम्बन्ध संख्याओं को सम और विषम दो प्रकारों में बाँटता है। / The relation separates numbers into two types: even and odd.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में विषम भाग ({1,3,5}) और सम भाग ({2,4}) बनते हैं। / In (A), the odd block is ({1,3,5}) and the even block is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध हमेशा समुच्चय का विभाजन बनाता है, इसलिए यहाँ (2) भाग हैं। / An equivalence relation always forms a partition, so there are (2) blocks here.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For any integer (a), (a+a=2a), which is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है तथा (b) और (c) की भी समान है, तो (a) और (c) की भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) has the same parity as (c).
किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। / For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। / If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence.
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है। / Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। / Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation.
