सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2-a=b^2-b\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-a=b^2-b\). Which is the equivalence class of (3)?
#quadratic expression
#equivalence class
#real numbers
#advanced
A ({-2,3})
B ({3})
C ({2,3})
D ({-3,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,3})
Step 1
Concept
\(3^2-3=6\)। / \(3^2-3=6\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2-x=6\) से \(x^2-x-6=0\), अर्थात ((x-3)(x+2)=0)। / \(x^2-x=6\) gives \(x^2-x-6=0\), that is ((x-3)(x+2)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=3) या (x=-2), और वर्ग ({-2,3}) है। / Hence (x=3) or (x=-2), so the class is ({-2,3}).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2+2a=b^2+2b\)। (-1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+2a=b^2+2b\). Which is the equivalence class of (-1)?
#quadratic expression
#singleton class
#equivalence relation
#real numbers
A ({-1})
B ({-1,1})
C ({-3,-1})
D सभी वास्तविक संख्याएँ / all real numbers
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
((-1)2 +2(-1)=1-2=-1)। / ((-1)2 +2(-1)=1-2=-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+2x=-1\) से \(x^2+2x+1=0\), यानी ((x+1)2 =0)। / \(x^2+2x=-1\) gives \(x^2+2x+1=0\), or ((x+1)2 =0).
Step 3
Exam Tip
केवल (x=-1) मिलता है, इसलिए तुल्यता वर्ग एकल है। / Only (x=-1) is obtained, so the equivalence class is singleton.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\sin^2 a=\sin^2 b\)। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(\sin^2 a=\sin^2 b\). Which of the following numbers belongs to the equivalence class of (0)?
#trigonometric relation
#sine square
#equivalence class
#real numbers
A \(\pi\)
B \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\frac{\pi}{4}\)
D \(\frac{\pi}{6}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\pi\)
Step 1
Concept
\(\sin^2 0=0\)। / \(\sin^2 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin^2 \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान वर्ग में है। / \(\sin^2 \pi=0\), so \(\pi\) is in the same class as (0).
Step 3
Exam Tip
वर्ग में वे कोण आएँगे जिनकी ज्या का वर्ग (0) है। / The class contains angles whose squared sine value is (0).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\cos^2 a=\cos^2 b\)। \(\frac{\pi}{3}\) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या अवश्य होगी?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(\cos^2 a=\cos^2 b\). Which of the following must be in the equivalence class of \(\frac{\pi}{3}\)?
#cosine square
#equivalence class
#trigonometry
#advanced
A \(\frac{2\pi}{3}\)
B \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\pi\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{2\pi}{3}\)
Step 1
Concept
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), इसलिए वर्ग मान \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), so the squared value is \(\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसका वर्ग भी \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), whose square is also \(\frac{1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक मान समान हो सकते हैं। / After squaring, positive and negative values may become equal.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{a}{b}\) (2) की पूर्णांक घात हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}\) is an integral power of (2). Which is the equivalence class of (3)?
#positive real numbers
#powers of 2
#equivalence class
#ratio relation
A \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)
B \({2^n:n\in Z}\)
C \({3+n:n\in Z}\)
D ({3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)
Step 1
Concept
(x) तभी (3) से सम्बन्धित होगा जब \(\frac{x}{3}=2^n\), जहाँ \(n\in Z\)। / A number (x) is related to (3) when \(\frac{x}{3}=2^n\), where \(n\in Z\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=3\cdot 2^n\) मिलेगा। / This gives \(x=3\cdot 2^n\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात पर आधारित सम्बन्धों में गुणात्मक रूप से वर्ग लिखना चाहिए। / For ratio-based relations, write the class in multiplicative form.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?
On positive integers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same power of (2), that is, \(a=2^k m\) and \(b=2^k n\), where (m,n) are odd. What forms the equivalence class of (12)?
#power of 2
#positive integers
#equivalence class
#number theory
A वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात हो / Numbers having exactly power (2) of (2)
B सभी (12) के गुणज / All multiples of (12)
C सभी सम संख्याएँ / All even numbers
D केवल (12) / Only (12)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात हो / Numbers having exactly power (2) of (2)
Step 1
Concept
\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसमें (2) की ठीक (2) घात है। / \(12=2^2\cdot 3\), so it has exactly power (2) of (2).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध केवल (2) की इस घात को देखता है। / The relation checks only this power of (2).
Step 3
Exam Tip
अतः वर्ग में वे संख्याएँ आएँगी जिन्हें (4) से भाग दिया जा सके, पर (8) से नहीं। / Hence the class contains numbers divisible by (4) but not by (8).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो \(R\cap S\) के तुल्यता वर्ग किस प्रकार समझे जा सकते हैं?
If (R) and (S) are equivalence relations on a set (A), how can the equivalence classes of \(R\cap S\) be understood?
#intersection of equivalence relations
#partition refinement
#theory
#advanced
A दोनों विभाजनों के साझा सूक्ष्म भागों के रूप में / As common refined blocks of both partitions
B हमेशा (A) के रूप में / Always as (A)
C हमेशा एकल अवयवों के रूप में / Always as singleton elements
D हमेशा रिक्त समुच्चय के रूप में / Always as empty sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों विभाजनों के साझा सूक्ष्म भागों के रूप में / As common refined blocks of both partitions
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में वही युग्म रहते हैं जो दोनों सम्बन्धों में हैं। / \(R\cap S\) keeps only pairs that are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अवयव तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / Thus two elements remain together only when they are together in both (R) and (S).
Step 3
Exam Tip
इस कारण \(R\cap S\) के वर्ग दोनों विभाजनों के और छोटे साझा भाग बनाते हैं। / Therefore its classes are common refined blocks of the two partitions.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(A=\{1,2,3\}\), (R) के वर्ग ({1,2},{3}) हैं और (S) के वर्ग ({1},{2,3}) हैं, तो \(R\cup S\) तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\), (R) has classes ({1,2},{3}), and (S) has classes ({1},{2,3}), why is \(R\cup S\) not an equivalence relation?
#union of equivalence relations
#transitivity failure
#finite set
#advanced
A क्योंकि संक्रामकता टूटती है / Because transitivity fails
B क्योंकि स्वतुल्यता टूटती है / Because reflexivity fails
C क्योंकि सममिति टूटती है / Because symmetry fails
D क्योंकि \(R\cup S\) रिक्त है / Because \(R\cup S\) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि संक्रामकता टूटती है / Because transitivity fails
Step 1
Concept
\(R\cup S\) में ((1,2)) आता है क्योंकि यह (R) में है। / ((1,2)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) आता है क्योंकि यह (S) में है। / ((2,3)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (S).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह न (R) में है न (S) में। / Transitivity would require ((1,3)), but it is in neither (R) nor (S).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
किसी समुच्चय (A) पर सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?
On a set (A), which is the largest equivalence relation?
#largest equivalence relation
#universal relation
#cartesian product
#theory
A \(A\times A\)
B \(\varnothing\)
C \(I_A\)
D कोई सम्बन्ध नहीं / no relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(A\times A\)
Step 1
Concept
सबसे बड़े सम्बन्ध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होंगे। / The largest relation contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / \(A\times A\) is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सार्विक सम्बन्ध ही सबसे बड़ा तुल्यता सम्बन्ध है। / Therefore the universal relation is the largest equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
किसी समुच्चय (A) पर सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध कौन-सा होता है?
On a set (A), which is the smallest equivalence relation?
#smallest equivalence relation
#identity relation
#reflexive pairs
#theory
A \(I_A={(a,a):a\in A}\)
B \(A\times A\)
C \(\varnothing\)
D \(A\cup A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(I_A={(a,a):a\in A}\)
Step 1
Concept
तुल्यता सम्बन्ध में हर अवयव स्वयं से सम्बन्धित होना जरूरी है। / In an equivalence relation, every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((a,a)) वाले युग्म लेने पर सममिति और संक्रामकता भी बनी रहती है। / Taking only the pairs ((a,a)) preserves symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान सम्बन्ध सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध है। / Hence the identity relation is the smallest equivalence relation.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
