समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर क्रिया \(\ast\) इस प्रकार है: \(a\ast b=a\)। क्या यह द्विआधारी क्रिया है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), an operation \(\ast\) is defined by \(a\ast b=a\). Is it a binary operation?
#binary operation
#closure
#relations and functions
A हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा (A) में है / Yes, because the result is always in (A)
B नहीं, क्योंकि परिणाम (b) पर निर्भर नहीं है / No, because the result does not depend on (b)
C नहीं, क्योंकि (A) में केवल तीन अवयव हैं / No, because (A) has only three elements
D हाँ, केवल जब (a=b) हो / Yes, only when (a=b)
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा (A) में है / Yes, because the result is always in (A)
Step 1
Concept
द्विआधारी क्रिया में हर \(a,b\in A\) के लिए परिणाम फिर से (A) में होना चाहिए। / For a binary operation, every result for \(a,b\in A\) must lie in (A).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a\ast b=a\), और (a) हमेशा (A) का अवयव है। / Here \(a\ast b=a\), and (a) always belongs to (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में परिणाम की बंदता पहले जांचें। / In exams, first check closure of the result.
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प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय (N) पर क्रिया \(a\ast b=a-b\) दी गई है। क्या यह (N) पर द्विआधारी क्रिया है?
On the set of natural numbers (N), the operation \(a\ast b=a-b\) is given. Is it a binary operation on (N)?
#binary operation
#natural numbers
#closure
A हाँ, क्योंकि घटाव हमेशा संभव है / Yes, because subtraction is always possible
B नहीं, क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या न भी हो सकता है / No, because the result may not be a natural number
C हाँ, क्योंकि (a) और (b) प्राकृतिक हैं / Yes, because (a) and (b) are natural
D नहीं, क्योंकि घटाव कोई क्रिया नहीं है / No, because subtraction is not an operation
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या न भी हो सकता है / No, because the result may not be a natural number
Step 1
Concept
(N) पर द्विआधारी क्रिया के लिए (a-b) हमेशा (N) में आना चाहिए। / For a binary operation on (N), (a-b) must always be in (N).
Step 2
Why this answer is correct
(2-5=-3), जो (N) में नहीं है। / (2-5=-3), which is not in (N).
Step 3
Exam Tip
एक विरोधी उदाहरण मिलते ही बंदता टूट जाती है। / One counterexample is enough to reject closure.
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पूर्णांकों के समुच्चय (Z) पर क्रिया \(a\ast b=a+b+1\) दी गई है। निम्न में से सही कथन कौन-सा है?
On the set of integers (Z), the operation \(a\ast b=a+b+1\) is given. Which statement is correct?
#integers
#binary operation
#closure
A यह (Z) पर द्विआधारी क्रिया है / It is a binary operation on (Z)
B यह केवल धनात्मक पूर्णांकों पर द्विआधारी है / It is binary only on positive integers
C यह (Z) पर द्विआधारी नहीं है / It is not binary on (Z)
D यह केवल (a=b) होने पर परिभाषित है / It is defined only when (a=b)
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Correct Answer
A. यह (Z) पर द्विआधारी क्रिया है / It is a binary operation on (Z)
Step 1
Concept
पूर्णांकों में जोड़ करने पर परिणाम पूर्णांक ही रहता है। / The sum of integers is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+1) भी हर \(a,b\in Z\) के लिए पूर्णांक है। / (a+b+1) is also an integer for every \(a,b\in Z\).
Step 3
Exam Tip
(Z) पर जोड़ या जोड़ से बने सरल रूप सामान्यतः बंद रहते हैं। / On (Z), expressions made using addition usually remain closed.
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वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (R) पर क्रिया \(a\ast b=ab\) दी गई है। इसका तत्समक अवयव कौन-सा है?
On the set of real numbers (R), the operation \(a\ast b=ab\) is given. What is the identity element?
#identity element
#multiplication
#real numbers
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए \(a\ast e=a\) और \(e\ast a=a\) होना चाहिए। / An identity element (e) must satisfy \(a\ast e=a\) and \(e\ast a=a\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा में \(a\cdot1=a\) और \(1\cdot a=a\) होता है। / In multiplication, \(a\cdot1=a\) and \(1\cdot a=a\).
Step 3
Exam Tip
गुणा की क्रिया में (1) को तुरंत पहचानें। / For multiplication, quickly identify (1) as the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर क्रिया \(a\ast b=a+b\) के लिए (5) का प्रतिलोम अवयव क्या होगा?
For the operation \(a\ast b=a+b\) on real numbers, what is the inverse of (5)?
#inverse element
#addition
#real numbers
A (5)
B (0)
C (-5)
D (1)
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Step 1
Concept
जोड़ में तत्समक अवयव (0) होता है। / The identity element for addition is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का प्रतिलोम ऐसा (x) होगा कि (5+x=0)। इसलिए (x=-5)। / The inverse of (5) is a number (x) such that (5+x=0), so (x=-5).
Step 3
Exam Tip
जोड़ के लिए प्रतिलोम संख्या का ऋणात्मक होता है। / For addition, the inverse is the negative of the number.
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समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर क्रिया \(\ast\) इस प्रकार है: \(a\ast b=ab\)। (1) का इस क्रिया के अंतर्गत प्रतिलोम क्या है?
On the set \(A=\{0,1\}\), the operation \(\ast\) is defined by \(a\ast b=ab\). What is the inverse of (1) under this operation?
#inverse element
#small set
#multiplication
A (0)
B (1)
C (0) और (1) दोनों / Both (0) and (1)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
इस क्रिया में तत्समक (1) है, क्योंकि गुणा में (1) संख्या को नहीं बदलता। / The identity is (1) because multiplication by (1) does not change a number.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\cdot1=1\), इसलिए (1) अपना ही प्रतिलोम है। / \(1\cdot1=1\), so (1) is its own inverse.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में विकल्प सीधे रखकर जांचना आसान होता है। / In a small set, checking options directly is helpful.
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यदि \(a\ast b=a+b-2\) वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, तो तत्समक अवयव ज्ञात करें।
If \(a\ast b=a+b-2\) is defined on real numbers, find the identity element.
#identity element
#custom operation
#real numbers
A (0)
B (1)
C (2)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए \(a\ast e=a\) होना चाहिए। / For identity (e), \(a\ast e=a\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-2=a) से (e=2) मिलता है। दूसरी ओर (e+a-2=a) भी (e=2) देता है। / From (a+e-2=a), we get (e=2). Also, (e+a-2=a) gives (e=2).
Step 3
Exam Tip
तत्समक के लिए दोनों ओर से जांच करना न भूलें। / Always check identity from both sides.
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यदि \(a\ast b=a+b+ab\), तो \(0\ast 5\) का मान क्या है?
If \(a\ast b=a+b+ab\), what is the value of \(0\ast 5\)?
#value of operation
#custom operation
#substitution
A (0)
B (5)
C (10)
D (1)
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Step 1
Concept
दिए गए नियम में (a=0) और (b=5) रखें। / Put (a=0) and (b=5) in the given rule.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\ast5=0+5+0\cdot5=5\)। / \(0\ast5=0+5+0\cdot5=5\).
Step 3
Exam Tip
सरल गणना में भी क्रिया का नियम ध्यान से लगाएं। / Even in simple calculations, apply the operation rule carefully.
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क्रिया \(a\ast b=a+2b\) के लिए \(3\ast 4\) का मान ज्ञात करें।
For the operation \(a\ast b=a+2b\), find the value of \(3\ast 4\).
#operation value
#substitution
#binary operation
A (7)
B (10)
C (11)
D (14)
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Step 1
Concept
नियम \(a\ast b=a+2b\) है। / The rule is \(a\ast b=a+2b\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\ast4=3+2\cdot4=11\)। / \(3\ast4=3+2\cdot4=11\).
Step 3
Exam Tip
(a) और (b) की जगह बदलने की गलती न करें। / Do not interchange the positions of (a) and (b).
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यदि \(a\ast b=2a+b\), तो क्या यह क्रिया क्रमविनिमेय है?
If \(a\ast b=2a+b\), is the operation commutative?
#commutative operation
#custom operation
#easy
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, सामान्यतः नहीं / No, not generally
C हाँ, केवल वास्तविक संख्याओं पर / Yes, only on real numbers
D नहीं, क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / No, because it is not defined
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Correct Answer
B. नहीं, सामान्यतः नहीं / No, not generally
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए \(a\ast b=b\ast a\) होना चाहिए। / For commutativity, \(a\ast b=b\ast a\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ast b=2a+b\), जबकि \(b\ast a=2b+a\)। ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / \(a\ast b=2a+b\), while \(b\ast a=2b+a\), which are not generally equal.
Step 3
Exam Tip
एक सरल उदाहरण, जैसे (a=1,b=2), जल्दी जांच देता है। / A simple example like (a=1,b=2) checks this quickly.
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