Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी भी वास्तविक (a,b) के लिए \(a^2+b\) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। / For any real (a,b), \(a^2+b\) is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, जैसे (1*2=3) और (2*1=5)। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\). They are not generally equal; for example, (1*2=3) and (2*1=5).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
(a+b+ab) को ((a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। / (a+b+ab) can be written as ((a+1)(b+1)-1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq-1\) और \(b\neq-1\), तो ((a+1)(b+1)\neq0), इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। / If \(a\neq-1\) and \(b\neq-1\), then ((a+1)(b+1)\neq0), so the result cannot be (-1).
Step 3
Exam Tip
बंदता में निष्कासित मान को पहचानने के लिए गुणन रूप बहुत उपयोगी है। / A product form is very useful for detecting excluded values in closure questions.
A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)/\(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
Step 1
Concept
(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
(a+b+ab) और (a+b-ab) में चिह्न अलग होता है, इसलिए जल्दबाजी में पुराना सूत्र न लगाएं। / The signs differ in (a+b+ab) and (a+b-ab), so do not reuse a formula blindly.
अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) चाहिए, क्योंकि तत्समक (0) है। / To be self-inverse, (a*a=0), since the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), इसलिए (a=0) या (a=-2)। / (a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), so (a=0) or (a=-2).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों में (0) और (-2) दोनों दिख रहे हैं, पर (-2) भी सही है; इसलिए प्रश्न में यदि एक उत्तर चाहिए तो विकल्पों की रचना सावधानी से होनी चाहिए। / Since both (0) and (-2) appear in the options, the item has two correct choices and must be corrected before use.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब हर (a), (e) को विभाजित करे। (12) इस समुच्चय के सभी अवयवों का गुणज है। / This happens when every (a) divides (e). Here (12) is a multiple of all elements of the set.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) संक्रिया में तत्समक सामान्यतः समुच्चय का ऐसा बड़ा अवयव होता है जो सभी से विभाज्य हो। / For a \(\gcd\) operation, the identity is usually a greatest common multiple-like element inside the set.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (e=1) पर सही है क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / This works for (e=1), since (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
\(\operatorname{lcm}\) में (1) को पहले जांचें, क्योंकि वह हर संख्या को अपरिवर्तित रखता है। / In an \(\operatorname{lcm}\) operation, check (1) first because it leaves every number unchanged.
परिभाषा लगाएं: (2*x=2+x-2x)। / Apply the definition: (2*x=2+x-2x).
Step 2
Why this answer is correct
(2-x=3) से (x=-1) मिलता है। / From (2-x=3), we get (x=-1).
Step 3
Exam Tip
संक्रिया में चर दो जगह आ सकता है, इसलिए पहले पूरा बीजीय समीकरण बनाएं। / The variable may appear in two places in an operation, so first form the complete algebraic equation.
