Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय नहीं है/It is closed but not commutative
Step 1
Concept
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए बंदता है। / If \(a\neq0\) and \(b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। / \(\frac{a}{b}\) is not generally equal to \(\frac{b}{a}\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
भाग की संक्रिया में बंदता और क्रमविनिमेयता अलग-अलग जांचें। / For division operations, test closure and commutativity separately.
A. बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहीं/Closed and commutative, but not associative
Step 1
Concept
धनात्मक (a,b) के लिए \(\sqrt{ab}\) धनात्मक है, इसलिए बंदता है। / For positive (a,b), \(\sqrt{ab}\) is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), so it is commutative.
Step 3
Exam Tip
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। / For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.
Step 3
Exam Tip
तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं। / Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0).
पहले कोष्ठक के अंदर (2*3=2+3-1=4) निकालें। / First calculate inside the bracket: (2*3=2+3-1=4).
Step 2
Why this answer is correct
अब (4*4=4+4-1=7) मिलेगा। / Now (4*4=4+4-1=7).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संक्रिया को सामान्य जोड़ न समझें, हर बार दी गई परिभाषा लगाएं। / Do not treat the operation as ordinary addition; apply the given definition each time.
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e-1=a) से (e=1) मिलता है। / From (a+e-1=a), we get (e=1).
Step 3
Exam Tip
(a+b-k) रूप में तत्समक प्रायः (k) होता है, लेकिन फिर भी शर्त लगाकर जांचें। / In operations of the form (a+b-k), the identity is often (k), but always verify through the identity condition.
परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। / By definition, (x*2=x+2+2x).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2+2x=8) से (3x=6), इसलिए (x=2)। / From (x+2+2x=8), we get (3x=6), so (x=2).
Step 3
Exam Tip
संक्रिया वाले समीकरण में पहले संक्रिया को सामान्य बीजीय रूप में बदलें। / In operation equations, first convert the operation into an ordinary algebraic equation.
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) लिखें। / For identity (e), write (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+e+\frac{ae}{2}=a\) से (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq-2\), इसलिए (e=0)। / \(a+e+\frac{ae}{2}=a\) gives (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0). Since \(a\neq-2\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
निष्कासित मान पर ध्यान देने से भाग और गुणन की गलती नहीं होती। / Paying attention to the excluded value avoids algebraic mistakes.
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए \(4+x+\frac{4x}{2}=0\)। इससे (4+3x=0), इसलिए \(x=-\frac{4}{3}\)। / For inverse (x), \(4+x+\frac{4x}{2}=0\). Thus (4+3x=0), so \(x=-\frac{4}{3}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम का मान समुच्चय में होना चाहिए; यहाँ \(-\frac{4}{3}\neq-2\), इसलिए मान्य है। / The inverse must belong to the set; here \(-\frac{4}{3}\neq-2\), so it is valid.
