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For no integer can ((x-2)2+1=0), so there is no element.
Step 3
Exam Tip
When a positive term is added to a square, check for the empty set carefully. चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1) है। चरण 2: किसी पूर्णांक के लिए ((x-2)2+1=0) नहीं हो सकता, इसलिए कोई अवयव नहीं है। चरण 3: वर्ग में धन संख्या जुड़ने पर रिक्त समुच्चय की संभावना ध्यान से जाँचें।
Among natural numbers, only (x=1) lies in this range.
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, select elements only from the given number set. चरण 1: \(x^2<2x\) से (x(x-2)<0) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में केवल (x=1) इस सीमा के बीच आता है। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए हुए संख्या-समूह में ही अवयव चुनें।
The integer solutions are (0) and (1), so \(A=\{0,1\}\).
Step 3
Exam Tip
For a finite set, count the boundary elements when they are included. चरण 1: \(x^2\leq x\) को (x(x-1)\leq 0) लिखा जाता है। चरण 2: पूर्णांक हल (0) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{0,1\}\)। चरण 3: परिमित समुच्चय की गिनती करते समय सीमा सहित अवयव देखें।
In \(10<x^2<20\), the perfect square (16) fits, while (9) does not.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=16\) gives \(x=\pm4\), not (3).
Step 3
Exam Tip
For square conditions, test both positive and negative integers. चरण 1: \(10<x^2<20\) में वर्ग (16) ही पूर्ण वर्ग के रूप में आता है, और (9) छोटा है। चरण 2: \(x^2=16\) से \(x=\pm4\) मिलता है, पर \(3^2=9\) नहीं आता। चरण 3: वर्गों की सीमा में धन और ऋण दोनों पूर्णांक जाँचें।
When an absolute value equals a negative number, think of the empty set. चरण 1: परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए (|x-3|=-1) को कोई वास्तविक संख्या पूरा नहीं कर सकती। चरण 3: परिमाण को ऋणात्मक संख्या के बराबर देखते ही रिक्त समुच्चय पर विचार करें।
In an integer interval, list all values between the bounds. चरण 1: \(|x+2|\leq 1\) का अर्थ \(-1\leq x+2\leq 1\) है। चरण 2: घटाने पर \(-3\leq x\leq -1\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांक सीमा में सभी बीच के मान लिखें।
Taking only the positive root in a square equation gives an incomplete answer. चरण 1: \(x^2=4\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, इसलिए दोनों (A) में आएँगी। चरण 3: वर्ग समीकरण में केवल धन मूल लेना अधूरा उत्तर देता है।
The domain is real numbers, so irrational real numbers are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The real solutions of \(x^2=3\) are \(\sqrt{3}\) and \(-\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
The difference between rational and real domains is very important in exams. चरण 1: क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का है, इसलिए अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी मान्य हैं। चरण 2: \(x^2=3\) के वास्तविक हल \(\sqrt{3}\) और \(-\sqrt{3}\) हैं। चरण 3: परिमेय और वास्तविक क्षेत्र में अंतर परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है।
Natural numbers greater than (50) are \(51,52,53,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
There is no last element, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
Having a lower bound does not make a set finite. चरण 1: (50) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(51,52,53,\ldots\) हैं। चरण 2: इनके लिए कोई अंतिम अवयव नहीं है, इसलिए समुच्चय अनंत है। चरण 3: निचली सीमा होने से समुच्चय परिमित नहीं हो जाता।
The condition is (x<100), so no three-digit number is possible.
Step 3
Exam Tip
Read the number type and the bound together. चरण 1: तीन अंकों की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (100) है। चरण 2: शर्त (x<100) है, इसलिए कोई तीन अंकों की संख्या नहीं मिलती। चरण 3: संख्या-प्रकार और सीमा दोनों को साथ पढ़ें।
From \(x^2<30\), the possible integers run from (-5) to (5).
Step 2
Why this answer is correct
The integers divisible by (3) among them are (-3,0,3).
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, remember to check (0) too. चरण 1: \(x^2<30\) से संभावित पूर्णांक (-5) से (5) तक हैं। चरण 2: इनमें (3) से विभाज्य पूर्णांक (-3,0,3) हैं। चरण 3: विभाज्यता के प्रश्न में (0) को भी जाँचें।
A. दोहराव न गिनने पर (A=B)/After ignoring repetitions, (A=B)
Step 1
Concept
In a set formed from a word, the same letter is counted only once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) and (B) contain the same distinct symbols.
Step 3
Exam Tip
For sets, compare distinct elements, not order or repetition. चरण 1: शब्द से बने समुच्चय में समान अक्षर एक ही बार गिना जाता है। चरण 2: (A) और (B) में वही भिन्न अक्षर हैं। चरण 3: समुच्चय में क्रम और दोहराव की जगह केवल भिन्न अवयव देखें।
(A) has two distinct elements: \(\varnothing\) and \({\varnothing}\).
Step 2
Why this answer is correct
They are not equal because the first is empty while the second has one element.
Step 3
Exam Tip
When the empty set is placed as an element, it counts as an element. चरण 1: (A) के दो अलग अवयव हैं: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\)। चरण 2: ये दोनों समान नहीं हैं, क्योंकि पहला रिक्त है और दूसरा एक अवयव वाला समुच्चय है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को अवयव के रूप में रखने पर गिनती बदलती है।
Therefore the outer set actually has only one distinct element.
Step 3
Exam Tip
Order does not matter even inside a set that is itself an element. चरण 1: ({1,2}) और ({2,1}) समान समुच्चय हैं। चरण 2: इसलिए बाहरी समुच्चय में वास्तव में केवल एक अलग अवयव है। चरण 3: समुच्चय के अंदर भी क्रम का महत्व नहीं होता।
When divisors of both numbers are asked, take only common divisors. चरण 1: (12) के भाजक और (18) के भाजक अलग-अलग लिखें। चरण 2: समान भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: दोनों का भाजक पूछे जाने पर केवल सामान्य भाजक लें।
(1) is not prime and (7) is not included by the limit.
Step 3
Exam Tip
In prime-number questions, check (1) and the boundary separately. चरण 1: (7) से कम अभाज्य संख्याएँ (2,3,5) हैं। चरण 2: (1) अभाज्य नहीं है और (7) सीमा में शामिल नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या वाले प्रश्न में (1) और सीमा को अलग से जाँचें।
There are no real roots, so there are no integer roots.
Step 3
Exam Tip
A negative discriminant gives an empty real solution set. चरण 1: \(x^2+x+1\) का विविक्तकर (1-4=-3) है। चरण 2: वास्तविक मूल ही नहीं हैं, इसलिए पूर्णांक मूल भी नहीं होंगे। चरण 3: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो वास्तविक हल-समुच्चय रिक्त होता है।
The only solution is (3), and repetitions in (B) are not counted.
Step 3
Exam Tip
A repeated root and a repeated element are both written once in a set. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2) है। चरण 2: हल केवल (3) है और (B) में दोहराव गिना नहीं जाता। चरण 3: दोहराया मूल और दोहराया अवयव दोनों समुच्चय में एक बार लिखे जाते हैं।
The solutions are (0) and (2), and both are even integers.
Step 3
Exam Tip
Remember to treat (0) as even when checking parity. चरण 1: \(x^2=2x\) से (x(x-2)=0) मिलता है। चरण 2: हल (0) और (2) हैं, और दोनों सम पूर्णांक हैं। चरण 3: शून्य को सम मानकर जाँच करना न भूलें।
The condition says (x<20), so even (20) cannot be included.
Step 3
Exam Tip
For multiples, check the first multiple along with the inequality boundary. चरण 1: (20) का पहला धनात्मक गुणज (20) है। चरण 2: शर्त (x<20) है, इसलिए (20) भी शामिल नहीं हो सकता। चरण 3: गुणजों में पहली संख्या और असमानता की सीमा साथ जाँचें।
A. (A=B) और दोनों अनंत हैं/(A=B) and both are infinite
Step 1
Concept
Any integer divisible by (6) is divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Any integer divisible by both (2) and (3) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
To prove equality, think in both directions. चरण 1: जो पूर्णांक (6) से विभाज्य है, वह (2) और (3) दोनों से विभाज्य होता है। चरण 2: (2) और (3) दोनों से विभाज्य पूर्णांक (6) से भी विभाज्य होता है। चरण 3: बराबरी सिद्ध करने में दोनों दिशाओं का विचार करें।
A. \(A\neq B\), क्योंकि (A) अनंत है और (B) परिमित है/\(A\neq B\), because (A) is infinite and (B) is finite
Step 1
Concept
(A) contains all natural multiples of (4), which continue forever.
Step 2
Why this answer is correct
(B) contains only the multiples listed up to (40), so it is finite.
Step 3
Exam Tip
Dots do not imply infinity when a final boundary is given. चरण 1: (A) में (4) के सभी प्राकृतिक गुणज आते हैं, जो आगे भी चलते रहते हैं। चरण 2: (B) केवल (40) तक लिखे गुणजों का परिमित समुच्चय है। चरण 3: तीन बिंदु तभी अनंत नहीं बनाते जब अंतिम सीमा भी दी हो।
A. \(A=\{0\}\) और यह परिमित है/\(A=\{0\}\) and it is finite
Step 1
Concept
\(0\leq x\leq 0\) means (x) can only be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{0\}\).
Step 3
Exam Tip
Equal closed boundaries can form a singleton set. चरण 1: \(0\leq x\leq 0\) का अर्थ है कि (x) केवल (0) हो सकता है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\) है। चरण 3: बंद सीमा समान हो तो एकल समुच्चय बन सकता है।
No number can be greater than (0) and less than (0) at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the condition is impossible and (A) is empty.
Step 3
Exam Tip
Strict inequalities with equal endpoints give an empty interval. चरण 1: कोई संख्या (0) से बड़ी और (0) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए शर्त असंभव है और (A) रिक्त है। चरण 3: समान सिरों के साथ कड़ी असमानता हमेशा रिक्त अंतराल देती है।
The only integer strictly between (-1) and (1) is (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{0\}\), equal to (B).
Step 3
Exam Tip
Do not include boundary values in strict inequalities. चरण 1: (-1) और (1) के बीच केवल पूर्णांक (0) है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\), जो (B) के बराबर है। चरण 3: कड़ी असमानता में सीमा के मान शामिल न करें।
A. \(A\neq B\), क्योंकि \(15\in A\) पर \(15\notin B\)/\(A\neq B\), because \(15\in A\) but \(15\notin B\)
Step 1
Concept
The divisors of (15) are (1,3,5,15).
Step 2
Why this answer is correct
In (B), (15) is excluded because of the condition less than (15).
Step 3
Exam Tip
One missing element is enough to make two sets unequal. चरण 1: (15) के भाजक (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (B) में (15) से कम शर्त के कारण (15) नहीं आएगा। चरण 3: बराबरी में एक भी छूटा अवयव समुच्चयों को अलग कर देता है।
Different-looking conditions can define the same set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से \(x=\pm1\) मिलता है। चरण 2: (|x|=1) भी \(x=\pm1\) देता है। चरण 3: अलग रूपों वाली शर्तें भी वही अवयव दे सकती हैं।
The multiples of (5) from (5) to (100) are \(5,10,\ldots,100\).
Step 2
Why this answer is correct
Their count is \(100\div5=20\).
Step 3
Exam Tip
If the upper bound is a multiple, include it in the count. चरण 1: (5) से (100) तक (5) के गुणज \(5,10,\ldots,100\) हैं। चरण 2: इनकी संख्या \(100\div5=20\) है। चरण 3: यदि ऊपरी सीमा गुणज है तो उसे गिनती में शामिल करें।
Since the inequalities are strict, (0) and (100) are not included.
Step 3
Exam Tip
Check endpoints separately when making a roster form. चरण 1: (0) और (100) के बीच (10) के गुणज चुनने हैं। चरण 2: कड़ी असमानता के कारण (0) और (100) शामिल नहीं होंगे। चरण 3: सूची बनाते समय सीमा के सिरों को अलग जाँचें।
Hence \(x^2+1\geq 1\), so it cannot be less than or equal to (0).
Step 3
Exam Tip
A positive minimum value often indicates an empty set. चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1\geq 1\), जो (0) से छोटा या बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: धनात्मक न्यूनतम मान मिलने पर रिक्त समुच्चय पहचानें।
(-3) and (3) are not included because the inequality is strict. चरण 1: \(x^2-9<0\) से \(x^2<9\) मिलता है। चरण 2: पूर्णांक हल (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: (-3) और (3) शामिल नहीं होंगे क्योंकि असमानता कड़ी है।
The endpoints are not considered to be between them.
Step 3
Exam Tip
Between consecutive natural numbers, there is no natural-number element. चरण 1: (9) और (10) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती। चरण 2: दोनों सिरों को भी बीच में नहीं माना जाता। चरण 3: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के बीच प्राकृतिक अवयव नहीं होता।
Between (1) and (2), there are many rational numbers such as \(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
Infinitely many rational numbers lie between any two distinct real numbers.
Step 3
Exam Tip
Finding one example does not prove finiteness. चरण 1: (1) और (2) के बीच \(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}\) जैसी बहुत-सी परिमेय संख्याएँ हैं। चरण 2: परिमेय संख्याएँ किसी भी दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत होती हैं। चरण 3: एक उदाहरण मिलना परिमितता सिद्ध नहीं करता।
No real number can be both rational and irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The two properties are mutually opposite, so no element is possible.
Step 3
Exam Tip
Descriptions combining opposite classes often produce the empty set. चरण 1: कोई वास्तविक संख्या एक साथ परिमेय और अपरिमेय नहीं हो सकती। चरण 2: दोनों गुण आपस में विरोधी हैं, इसलिए कोई अवयव नहीं मिलेगा। चरण 3: विरोधी वर्गों के प्रतिच्छेद जैसे वर्णन में रिक्त समुच्चय बनता है।
A rational number has a terminating or repeating decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
A terminating or repeating decimal represents a rational number.
Step 3
Exam Tip
If two descriptions give the same elements, the sets are equal. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सांत या आवर्ती होता है। चरण 2: सांत या आवर्ती दशमलव संख्या भी परिमेय होती है। चरण 3: दो परिभाषाएँ एक ही अवयव दें तो समुच्चय बराबर होते हैं।
A composite number has more than two positive divisors.
Step 2
Why this answer is correct
Composite numbers less than (11) are (4,6,8,9,10).
Step 3
Exam Tip
(1) is neither prime nor composite, so do not include it. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: (11) से कम संयुक्त संख्याएँ (4,6,8,9,10) हैं। चरण 3: (1) न अभाज्य है न संयुक्त, इसे सूची में न जोड़ें।
Odd integers extend infinitely in both directions.
Step 3
Exam Tip
A remainder condition often describes an infinite family of numbers. चरण 1: ऐसे पूर्णांक विषम पूर्णांक होते हैं। चरण 2: विषम पूर्णांक दोनों दिशाओं में अनंत मिलते हैं। चरण 3: शेषफल की शर्त अक्सर किसी अनंत संख्या-परिवार को दिखाती है।
When divided by (4), a remainder can only be (0,1,2,) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
Remainder (5) is impossible, so there is no element.
Step 3
Exam Tip
A remainder must always be smaller than the divisor. चरण 1: (4) से भाग देने पर शेष (0,1,2,3) में से ही हो सकता है। चरण 2: शेष (5) संभव नहीं है, इसलिए कोई अवयव नहीं। चरण 3: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
No number can be both less than (100) and greater than (100).
Step 2
Why this answer is correct
The two conditions contradict each other.
Step 3
Exam Tip
When inequalities conflict, check for the empty set immediately. चरण 1: कोई संख्या (100) से कम और (100) से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती। चरण 2: दोनों शर्तें विरोधी हैं। चरण 3: विरोधी असमानताएँ मिलें तो रिक्त समुच्चय तुरंत जाँचें।
If natural numbers are taken to start from (1), do not include (0). चरण 1: एक अंक की प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक होती हैं। चरण 2: इसलिए कुल (9) अवयव हैं। चरण 3: यदि प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी गई हैं, तो (0) को शामिल न करें।
Extra conditions can reduce the solution set. चरण 1: \(x^2=49\) से (x=7) या (x=-7) मिलता है। चरण 2: शर्त (x>0) होने के कारण केवल (7) रहेगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्तें हलों को घटा सकती हैं।
The integer solutions of \(x^2=49\) are (7) and (-7).
Step 2
Why this answer is correct
The negative condition keeps only (-7).
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have exactly the same elements. चरण 1: \(x^2=49\) के पूर्णांक हल (7) और (-7) हैं। चरण 2: ऋणात्मक शर्त के कारण केवल (-7) चुना जाएगा। चरण 3: बराबर समुच्चय में अवयव बिल्कुल समान होने चाहिए।
A square plus (1) gives no real solution. चरण 1: (x-2-2x+2=(x-1)2+1) है। चरण 2: यह किसी वास्तविक (x) के लिए (0) नहीं हो सकता। चरण 3: पूर्ण वर्ग में (1) जुड़ने से वास्तविक हल नहीं मिलता।
(1) and (30) are factors, but not prime factors here. चरण 1: \(30=2\cdot3\cdot5\) है। चरण 2: इसके अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) हैं। चरण 3: (1) और स्वयं (30) गुणनखंड हैं, लेकिन अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं।
Because of the condition (x>1), even (1) is excluded.
Step 3
Exam Tip
An extra condition can turn a set empty. चरण 1: (1) का धनात्मक गुणनखंड केवल (1) है। चरण 2: शर्त (x>1) होने से (1) भी नहीं आएगा। चरण 3: एक अतिरिक्त शर्त समुच्चय को रिक्त बना सकती है।
Powers of (2) such as \(2,4,8,16,\ldots\) continue.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last power, so there are infinitely many elements.
Step 3
Exam Tip
A fixed base can still generate infinitely many terms when exponents vary. चरण 1: \(2,4,8,16,\ldots\) जैसे (2) के घात लगातार मिलते हैं। चरण 2: कोई अंतिम घात नहीं है, इसलिए अवयव अनंत हैं। चरण 3: आधार निश्चित होने पर भी घात बदलने से अनंत पद मिल सकते हैं।
Powers of (2) with natural exponents are positive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x<0) leaves no such element.
Step 3
Exam Tip
A sign condition can make an apparently infinite list empty. चरण 1: प्राकृतिक घातों में (2) के घात धनात्मक होते हैं। चरण 2: (x<0) की शर्त से कोई ऐसा अवयव नहीं बचेगा। चरण 3: चिह्न की शर्त अनंत दिखने वाली सूची को भी रिक्त बना सकती है।
Multiples of (7) up to (50) are (7,14,21,28,35,42,49).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) elements.
Step 3
Exam Tip
Find the largest multiple below or equal to the bound. चरण 1: (50) तक (7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। चरण 2: कुल (7) अवयव हैं। चरण 3: अंतिम गुणज खोजने के लिए सीमा से छोटे सबसे बड़े गुणज तक जाएँ।
The integer solutions of \(x^2\leq 1\) are (-1,0,1).
Step 2
Why this answer is correct
All these are present in (B).
Step 3
Exam Tip
In a square inequality, omitting the middle value (0) is a common mistake. चरण 1: \(x^2\leq 1\) का पूर्णांक समाधान (-1,0,1) है। चरण 2: ये सभी (B) में उपस्थित हैं। चरण 3: वर्ग असमानता में बीच का (0) छोड़ना सामान्य गलती है।
The order of solutions does not matter in a set. चरण 1: \(x^2=x+2\) को \(x^2-x-2=0\) लिखें। चरण 2: ((x-2)(x+1)=0), इसलिए (x=2) या (x=-1)। चरण 3: समुच्चय में हलों का क्रम महत्व नहीं रखता।
