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So \(x^2+4=0\) has no real solution, hence \(A=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Always check the given domain before deciding whether a set is empty. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2+4=0\) का कोई वास्तविक हल नहीं है और \(A=\varnothing\) है। चरण 3: परीक्षा में क्षेत्र को ध्यान से देखें, क्योंकि वही रिक्त समुच्चय तय करता है।
There is no natural number strictly between (5) and (6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence no element satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, the end values are not included. चरण 1: प्राकृतिक संख्या (5) और (6) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती। चरण 2: इसलिए दिए गए नियम को कोई अवयव पूरा नहीं करता। चरण 3: कड़ी असमानता में सिरों को शामिल नहीं किया जाता।
Repeating an element in a set does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets actually contain only (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not order or repetition. चरण 1: समुच्चय में किसी अवयव को बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता। चरण 2: दोनों में वास्तविक अवयव (1,2,3) ही हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में क्रम और दोहराव नहीं, केवल अवयव देखे जाते हैं।
Therefore (A) has no element, so \(A=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
The empty set is finite because its number of elements is (0). चरण 1: कोई भी पूर्णांक ऐसा नहीं है जिसका वर्ग (2) हो। चरण 2: इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है, अतः \(A=\varnothing\) है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को परिमित माना जाता है क्योंकि इसके अवयवों की संख्या (0) है।
The natural factors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B).
Step 3
Exam Tip
Converting set-builder form to roster form helps check equality. चरण 1: (24) के सभी प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: यही सभी अवयव (B) में भी हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप को सूची रूप में बदलकर बराबरी जाँचना आसान होता है।
A. दोनों अनंत हैं, पर बराबर नहीं हैं/Both are infinite but not equal
Step 1
Concept
There are infinitely many real numbers and infinitely many rational numbers between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(A) also contains irrational numbers, while (B) contains only rational numbers.
Step 3
Exam Tip
Being infinite does not prove equality. चरण 1: (0) और (1) के बीच वास्तविक संख्याएँ भी अनंत हैं और परिमेय संख्याएँ भी अनंत हैं। चरण 2: (A) में अपरिमेय संख्याएँ भी आती हैं, पर (B) में केवल परिमेय संख्याएँ हैं। चरण 3: अनंत होने से बराबरी सिद्ध नहीं होती।
\(\varnothing\) has no element, but \({\varnothing}\) has one element.
Step 2
Why this answer is correct
That one element is the empty set itself.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as the same set. चरण 1: \(\varnothing\) का अर्थ कोई अवयव नहीं है, लेकिन \({\varnothing}\) में एक अवयव है। चरण 2: वह एक अवयव स्वयं रिक्त समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को कभी समान न मानें।
The solutions are (x=2) and (x=3), so \(A=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
A solution set contains only the values satisfying the equation in the given domain. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। चरण 3: समीकरण से बने समुच्चय में केवल वे हल रखे जाते हैं जो दिए क्षेत्र में हों।
There are only finitely many prime numbers up to (100).
Step 2
Why this answer is correct
Elements like (2,3,5) belong to it, so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
A set with an upper bound over natural numbers is often finite. चरण 1: (100) तक अभाज्य संख्याएँ सीमित संख्या में हैं। चरण 2: जैसे (2,3,5) आदि अवयव इसमें आते हैं, इसलिए यह रिक्त नहीं है। चरण 3: ऊपरी सीमा होने पर प्रायः समुच्चय परिमित होता है।
The condition says greater than (2), so even (2) is excluded.
Step 3
Exam Tip
In property-based sets, check special exceptions carefully. चरण 1: केवल (2) ही सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: शर्त में (2) से बड़ा कहा गया है, इसलिए (2) भी शामिल नहीं होगा। चरण 3: विशेष गुण वाले समुच्चय में अपवादों को अलग से जाँचें।
The integers strictly between (-3) and (3) are (-2,-1,0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
There are (5) elements, so (n(A)=5).
Step 3
Exam Tip
Do not include boundary values in strict inequalities. चरण 1: (-3) और (3) के बीच पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 2: कुल (5) अवयव हैं, इसलिए (n(A)=5)। चरण 3: कड़ी असमानता में सीमा वाली संख्याएँ शामिल न करें।
Factoring an equation quickly identifies its solution set. चरण 1: \(x^2=x\) को (x(x-1)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसके हल (0) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{0,1\}\)। चरण 3: समीकरण को गुणनखंडित करना हल-समुच्चय पहचानने का तेज तरीका है।
Letters may repeat in a word, but repetitions are not counted in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct letters are (L,E,V).
Step 3
Exam Tip
While forming a set of letters, list only distinct letters. चरण 1: शब्द में अक्षर दोहर सकते हैं, लेकिन समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 2: अलग-अलग अक्षर (L,E,V) हैं। चरण 3: अक्षर-समुच्चय बनाते समय केवल भिन्न अक्षरों को लिखें।
Multiples such as \(3,6,9,12,\ldots\) continue without end.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last natural multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Dots \(\ldots\) often indicate infinity, but confirm it from the rule. चरण 1: \(3,6,9,12,\ldots\) जैसे गुणज लगातार मिलते रहते हैं। चरण 2: इनके लिए कोई अंतिम प्राकृतिक गुणज नहीं है। चरण 3: सूची में तीन बिंदु \(\ldots\) अक्सर अनंतता का संकेत देते हैं, पर शर्त से भी जाँचें।
In the usual school convention, natural numbers start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (1), and no integer strictly between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Select elements according to the given number system. चरण 1: सामान्य स्कूल परिभाषा में प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: (1) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं और (0) तथा (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं। चरण 3: दिए गए संख्या-समूह के अनुसार अवयव चुनें।
In absolute value questions, check both negative and positive sides. चरण 1: (|x|<4) का अर्थ (-4<x<4) है। चरण 2: इस सीमा में पूर्णांक (-3) से (3) तक हैं। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में दोनों ओर की संख्याएँ जाँचें।
\(x^2=9\) has two real solutions, (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(A=\{-3,3\}\), same as (B).
Step 3
Exam Tip
For square equations, remember both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) के दो वास्तविक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{-3,3\}\), जो (B) के समान है। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल याद रखें।
Hence every natural number divides (0), giving infinitely many elements.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between dividing zero and division by zero. चरण 1: हर प्राकृतिक संख्या (x) के लिए \(0=x\cdot 0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए हर प्राकृतिक संख्या (0) को भाग देती है और अवयव समाप्त नहीं होते। चरण 3: शून्य को भाग देने और शून्य से भाग देने में अंतर याद रखें।
A set with an impossible condition is empty and has cardinality (0). चरण 1: किसी भी पूर्णांक का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: इसलिए \(x^2<0\) को कोई पूर्णांक पूरा नहीं करता। चरण 3: असंभव शर्त वाला समुच्चय रिक्त होता है और उसका अवयव-मान (0) होता है।
The equation (x=x+1) gives (0=1), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
No real number satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
A contradictory equation has the empty set as its solution set. चरण 1: समीकरण (x=x+1) से (0=1) मिलता है, जो असंभव है। चरण 2: कोई वास्तविक संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करती। चरण 3: विरोधाभासी समीकरण का हल-समुच्चय रिक्त होता है।
For a natural number (x), \(x^2\leq 49\) means \(x\leq 7\).
Step 2
Why this answer is correct
Taking natural numbers from (1), the elements are (1) through (7).
Step 3
Exam Tip
Since the domain is \(\mathbb{N}\), do not include negative numbers. चरण 1: प्राकृतिक संख्या (x) के लिए \(x^2\leq 49\) का अर्थ \(x\leq 7\) है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानकर अवयव (1) से (7) तक होंगे। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{N}\) होने पर ऋणात्मक संख्याएँ न जोड़ें।
Both numbers are even, but the condition requires odd integers.
Step 3
Exam Tip
All given conditions must be satisfied together. चरण 1: \(x^2=16\) से (x=4) या (x=-4) मिलता है। चरण 2: दोनों संख्याएँ सम हैं, जबकि शर्त विषम की है। चरण 3: एक साथ दी गई सभी शर्तें पूरी होनी चाहिए।
The months having (30) days are limited in number.
Step 2
Why this answer is correct
They are April, June, September, and November.
Step 3
Exam Tip
A real-life list with a fixed number of items forms a finite set. चरण 1: वर्ष में (30) दिनों वाले महीने सीमित हैं। चरण 2: ऐसे महीने अप्रैल, जून, सितंबर और नवंबर हैं। चरण 3: वास्तविक जीवन की सूचियों में कुल संख्या सीमित हो तो समुच्चय परिमित होता है।
A. (A=B) और दोनों परिमित हैं/(A=B) and both are finite
Step 1
Concept
The natural numbers less than (10) are (1) through (9).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B), so (A=B).
Step 3
Exam Tip
Marking the boundary on the number line helps count elements correctly. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक हैं। चरण 2: यही (B) के अवयव हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: संख्या-रेखा पर सीमा बनाकर अवयव गिनना उपयोगी है।
A repeated root is written only once in a set. चरण 1: (x-2+2x+1=(x+1)2) है। चरण 2: ((x+1)2=0) से (x=-1) मिलता है। चरण 3: दोहराया मूल भी समुच्चय में एक ही बार लिखा जाता है।
The integers continue to the right without a last element.
Step 3
Exam Tip
Having only a starting bound does not make a set finite. चरण 1: (A) में \(-2,-1,0,1,2,\ldots\) आते हैं। चरण 2: दाईं ओर पूर्णांक बिना अंतिम अवयव के चलते रहते हैं। चरण 3: केवल आरंभिक सीमा होने से समुच्चय परिमित नहीं हो जाता।
Square numbers less than (50) are from \(1^2\) to \(7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(8^2=64\) is outside the limit.
Step 3
Exam Tip
Apply both the square-number condition and the bound together. चरण 1: (50) से छोटी वर्ग संख्याएँ \(1^2\) से \(7^2\) तक मिलती हैं। चरण 2: \(8^2=64\) सीमा से बाहर है। चरण 3: सीमा और वर्ग दोनों शर्तों को साथ रखें।
A. अनंत और \(\mathbb{R}\) के बराबर/Infinite and equal to \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
The square of every real number is zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every real number belongs to (A), so \(A=\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
A condition true for all elements may make the set equal to the whole domain. चरण 1: हर वास्तविक संख्या का वर्ग शून्य या धनात्मक होता है। चरण 2: इसलिए हर वास्तविक संख्या (A) में आती है और \(A=\mathbb{R}\) है। चरण 3: सर्वसत्य शर्त वाला समुच्चय दिए हुए पूरे क्षेत्र के बराबर हो सकता है।
No number can be both even and odd at the same time.
Step 3
Exam Tip
When conditions conflict, check for the empty set. चरण 1: (2) से विभाज्य प्राकृतिक संख्या सम होती है। चरण 2: कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती। चरण 3: विरोधी शर्तें मिलें तो रिक्त समुच्चय की संभावना जाँचें।
The integer solutions of \(x^2=25\) are (5) and (-5).
Step 2
Why this answer is correct
The repetition of (5) in (C) does not change the set.
Step 3
Exam Tip
Compare distinct elements when checking equality. चरण 1: \(x^2=25\) के पूर्णांक हल (5) और (-5) हैं। चरण 2: (C) में (5) का दोहराव समुच्चय को नहीं बदलता। चरण 3: बराबरी जाँचते समय सभी भिन्न अवयवों की तुलना करें।
(2) does not divide every natural number, for example it does not divide (3).
Step 3
Exam Tip
For an all-elements condition, one counterexample can eliminate a wrong option. चरण 1: (1) हर प्राकृतिक संख्या का गुणनखंड होता है। चरण 2: (2) हर प्राकृतिक संख्या को भाग नहीं देता, जैसे (3) को नहीं। चरण 3: सभी के लिए वाली शर्त में एक भी प्रतिवाद गलत विकल्प हटाने के लिए काफी है।
There are infinitely many real numbers between (1) and (2), such as \(\frac{3}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore this set is neither empty nor finite.
Step 3
Exam Tip
Intervals of real numbers are usually infinite. चरण 1: (1) और (2) के बीच असंख्य वास्तविक संख्याएँ होती हैं, जैसे \(\frac{3}{2}\)। चरण 2: इसलिए यह समुच्चय रिक्त या परिमित नहीं है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अंतराल सामान्यतः अनंत होते हैं।
The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Both are not rational, so there is no solution in \(\mathbb{Q}\).
Step 3
Exam Tip
After solving, check whether the solution belongs to the given domain. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये दोनों परिमेय नहीं हैं, इसलिए \(\mathbb{Q}\) में कोई हल नहीं। चरण 3: हल मिलने के बाद यह भी देखें कि वह दिए क्षेत्र में है या नहीं।
In square inequalities, include the intermediate values too. चरण 1: \(x^2\leq 4\) से \(-2\leq x\leq 2\) मिलता है। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में बीच की संख्याएँ भी शामिल हो सकती हैं।
Understand the difference between factors and prime factors. चरण 1: \(18=2\cdot 3^2\) है। चरण 2: इसके अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 3: गुणनखंड और अभाज्य गुणनखंड में अंतर समझना जरूरी है।
An impossible equality leads directly to the empty set. चरण 1: (x+2=x) से (2=0) मिलता है, जो गलत है। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या यह समीकरण पूरा नहीं करती। चरण 3: असंभव समानता देखकर सीधे रिक्त समुच्चय पहचानें।
(0) is also an even integer, so do not omit it. चरण 1: (-5) और (5) के बीच पूर्णांक चुने जाते हैं। चरण 2: उनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: (0) भी सम पूर्णांक है, इसे छोड़ना सामान्य गलती है।
For any natural number (x), the natural number (x+1) is greater.
Step 2
Why this answer is correct
Hence no natural number can be greater than every natural number.
Step 3
Exam Tip
There is no greatest natural number. चरण 1: किसी भी प्राकृतिक संख्या (x) से बड़ी प्राकृतिक संख्या (x+1) मिल जाती है। चरण 2: इसलिए कोई प्राकृतिक संख्या सभी प्राकृतिक संख्याओं से बड़ी नहीं हो सकती। चरण 3: सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं होती।
If natural numbers start from (1), then (1) is not less than itself.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than every natural number.
Step 3
Exam Tip
For an every-element condition, check the element against itself too. चरण 1: यदि प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू हैं, तो (1) स्वयं से छोटा नहीं है। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या हर प्राकृतिक संख्या से छोटी नहीं हो सकती। चरण 3: हर के लिए वाली शर्त में स्वयं उस संख्या की जाँच करना जरूरी है।
Use factors to find the solutions and then form the roster set. चरण 1: \(x^3=x\) को (x(x-1)(x+1)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (-1,0,1) हैं, जो सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: गुणनखंडों से हल निकालकर सूची समुच्चय बनाइए।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
There are (9) elements, exactly the same as (B).
Step 3
Exam Tip
Use factor pairs so that no divisor is missed. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: कुल (9) अवयव हैं और यही (B) में हैं। चरण 3: भाजक गिनते समय जोड़ी विधि से कोई अवयव न छूटे।
A repeated solution is written only once in a set. चरण 1: समीकरण को \(x^2-2x+1=0\) लिखें। चरण 2: यह ((x-1)2=0) है, इसलिए (x=1)। चरण 3: दोहराया हल समुच्चय में एक ही बार लिखा जाता है।
Basic even-odd rules help decide such sets quickly. चरण 1: किसी भी पूर्णांक (x) के लिए (2x) सम होता है। चरण 2: (2x+1) हमेशा विषम होता है, सम नहीं। चरण 3: सम-विषम के सामान्य नियम जल्दी निर्णय दिलाते हैं।
For consecutive integers, subtract the first from the last and add (1). चरण 1: दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: कुल संख्या (99-10+1=90) है। चरण 3: लगातार पूर्णांकों की गिनती में अंतिम घटाकर (1) जोड़ें।
Do not forget to check zero as a possible solution. चरण 1: \(x^2=4x\) को \(x^2-4x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-4)=0), इसलिए (x=0) या (x=4)। चरण 3: शून्य को हल के रूप में अलग से जाँचना न भूलें।
The natural cubes are \(1^3=1\), \(2^3=8\), and \(3^3=27\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^3=64\), which is greater than (30).
Step 3
Exam Tip
Stop the list when the next term crosses the bound. चरण 1: प्राकृतिक घन \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\) हैं। चरण 2: \(4^3=64\), जो (30) से बड़ा है। चरण 3: सीमा से बाहर का अगला पद देखकर सूची रोकें।
A. (A) अनंत है और \(A={x\in \mathbb{R}:-1<x<1}\)/(A) is infinite and \(A={x\in \mathbb{R}:-1<x<1}\)
Step 1
Concept
\(x^2-1<0\) gives \(x^2<1\).
Step 2
Why this answer is correct
Over real numbers, this means (-1<x<1).
Step 3
Exam Tip
A real interval contains infinitely many elements. चरण 1: \(x^2-1<0\) से \(x^2<1\) मिलता है। चरण 2: वास्तविक संख्याओं में इसका अर्थ (-1<x<1) है। चरण 3: वास्तविक अंतराल में अनंत अवयव होते हैं।
No integer can be positive and negative at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
Zero is neither positive nor negative.
Step 3
Exam Tip
When opposite properties are required together, the set may be empty. चरण 1: कोई भी पूर्णांक एक साथ धनात्मक और ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: शून्य न धनात्मक है न ऋणात्मक। चरण 3: विरोधी गुणों को साथ माँगने पर समुच्चय रिक्त हो सकता है।
Natural numbers up to (20) divisible by (5) are (5,10,15,20).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (B), and there are (4) of them.
Step 3
Exam Tip
The boundary (20) is included because \(\leq\) is given. चरण 1: (20) तक (5) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (5,10,15,20) हैं। चरण 2: ये ठीक (B) के अवयव हैं और कुल (4) हैं। चरण 3: सीमा शामिल है क्योंकि \(\leq\) दिया गया है।
A. \(A=\{0\}\) और यह परिमित है/\(A=\{0\}\) and it is finite
Step 1
Concept
\(x^2+2=2\) gives \(x^2=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The only real solution is (x=0), so \(A=\{0\}\).
Step 3
Exam Tip
A one-element set is finite, not empty. चरण 1: \(x^2+2=2\) से \(x^2=0\) मिलता है। चरण 2: इसका वास्तविक हल केवल (x=0) है, इसलिए \(A=\{0\}\)। चरण 3: एक अवयव वाला समुच्चय परिमित होता है, रिक्त नहीं।
