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A. (11) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (11) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा (11) शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। पहले वृत्त का प्रकार और फिर दिशा देखें। / The sign (>) excludes the boundary (11) and greater numbers lie to the right. Check the circle type first and then the direction.
B. (-9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-9) and shading right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए (-9) पर भरा वृत्त बनेगा। / \(\ge\) includes the boundary and greater numbers are on the right. Therefore a closed circle is drawn at (-9).
खाली वृत्त (13) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए (x<13) सही है। / The open circle excludes (13) and the left side contains smaller numbers. Hence (x<13) is correct.
वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है और गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। इसलिए (-4) बंद होगा। / The endpoint with a square bracket is included and the endpoint with a parenthesis is excluded. Therefore (-4) is closed.
C. (4) और (12) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (4) and (12) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच वाला भाग ही समाधान है। / Both inequalities are strict, so both endpoints are excluded. The part between them is the solution.
भरा वृत्त (7) को शामिल करता है और दाईं किरण (7) से बड़ी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए अंतराल \([7,\infty\)) है। / The closed circle includes (7) and the right ray shows numbers greater than (7). Hence the interval is \([7,\infty\)).
गोल कोष्ठक दोनों सीमाओं को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए (-8) और (0) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses exclude both boundary points from the solution. Therefore both (-8) and (0) have open circles.
([2) बताता है कि (2) शामिल है और (9)) बताता है कि (9) शामिल नहीं है। इसलिए \(2\le x<9\) सही है। / The bracket ([2) shows (2) is included and (9)) shows (9) is not included. Hence \(2\le x<9\) is correct.
\(x\le -15\) में (-15) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। / In \(x\le -15\), (-15) is included and smaller numbers are taken. Infinity always uses a parenthesis.
दोनों ओर बराबरी शामिल है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल होंगी। ऐसे में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक लगते हैं। / Equality is included on both sides, so both endpoints are included. In this case, square brackets are used at both ends.
संख्या रेखा पर 3 पर केवल भरा बिंदु होने का अर्थ है कि 3 समाधान में शामिल है और उसके अतिरिक्त कोई अन्य मान नहीं है। इसलिए समाधान \(x=3\) है। \(x>3\) या \(x<3\) के लिए बिंदु से क्रमशः दाईं या बाईं ओर किरण दिखाई जाती। परीक्षा टिप: केवल एक भरा बिंदु किसी एक निश्चित मान का संकेत देता है। / A single closed point at 3 means that 3 is included in the solution set and no other value is included. Hence, the solution is \(x=3\). For \(x>3\) or \(x<3\), a ray would extend to the right or left of the point respectively. Exam tip: one isolated closed point represents exactly one value.
B. (6) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (6) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,6\)) में (6) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए (6) पर खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,6\)), (6) is not included and smaller numbers are present. So an open circle at (6) and a left ray are drawn.
(5) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है और (10) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है। यही खुले और बंद सिरों को तय करता है। / (5) has a parenthesis, so it is excluded, and (10) has a square bracket, so it is included. This decides the open and closed endpoints.
B. पूरी रेखा छायांकित और (-3) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne -3\) में (-3) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए बिंदु पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne -3\), all real numbers except (-3) are included. The excluded point is shown by an open circle.
केवल (1) शामिल है इसलिए (1) पर वर्ग कोष्ठक और (5) पर गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल ([1,5)) होगा। / Only (1) is included, so (1) gets a square bracket and (5) gets a parenthesis. The interval is ([1,5)).
((0,8]) में (0) शामिल नहीं है लेकिन (8) शामिल है। दिए गए विकल्पों में (8) सही सदस्य है। / In ((0,8]), (0) is not included but (8) is included. Among the given options, (8) is the correct member.
दो अलग-अलग भागों को मिलाने के लिए \(\cup\) का प्रयोग होता है। यहाँ (-2) और (5) दोनों शामिल नहीं हैं। / The symbol \(\cup\) is used to combine two separate parts. Here both (-2) and (5) are not included.
भरा हुआ बिंदु बताता है कि सीमा मान 3 हल-समुच्चय में शामिल है, और बाईं ओर का छायांकित भाग 3 से छोटे सभी मानों को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x \leq 3\) है। \(x < 3\) में 3 शामिल नहीं होता, इसलिए वहाँ खोखला बिंदु होता है। परीक्षा टिप: भरा बिंदु के लिए \(\leq\) या \(\geq\), जबकि खोखले बिंदु के लिए \(<\) या \(>\) याद रखें। / A filled dot means that the boundary value 3 is included in the solution set, and shading to the left represents all values less than 3. Therefore, the inequality is \(x \leq 3\). For \(x < 3\), the value 3 would not be included, so the dot would be open. Exam tip: a filled dot corresponds to \(\leq\) or \(\geq\), while an open dot corresponds to \(<\) or \(>\).
(-5<x) का अर्थ है (x), (-5) से बड़ा है। सामान्य रूप में चर को बाईं ओर रखकर (x>-5) लिखते हैं. / (-5<x) means (x) is greater than (-5). In usual form, place the variable on the left and write (x>-5).
खुला वृत्त बताता है कि 4 समाधान में शामिल नहीं है, जबकि दाईं ओर का छायांकन 4 से बड़ी संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x>4\) है। \(x\geq 4\) के लिए 4 पर भरा हुआ वृत्त बनता। परीक्षा टिप: दाईं ओर छायांकन का अर्थ ‘से बड़ा’ और बाईं ओर छायांकन का अर्थ ‘से छोटा’ होता है। / An open circle shows that 4 is not included in the solution set, and shading to the right represents numbers greater than 4. Therefore, the inequality is \(x>4\). For \(x\geq 4\), the point at 4 would be shown with a closed circle. Exam tip: right-side shading means ‘greater than’, while left-side shading means ‘less than’.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए ((3,3)) में कोई सदस्य नहीं है। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. Therefore ((3,3)) has no member.
पूरी संख्या रेखा के छायांकित होने का अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याएँ, शून्य और धनात्मक संख्याएँ—सभी मान समाधान हैं। इसलिए \(x\in \mathbb{R}\) सही है। \(x>0\) या \(x<0\) केवल संख्या रेखा के एक भाग को दर्शाते हैं, पूरी रेखा को नहीं। परीक्षा टिप: पूरी रेखा छायांकित हो तो समाधान-समुच्चय सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / A shaded entire number line means that negative numbers, zero, and positive numbers are all included in the solution set. Hence, \(x\in \mathbb{R}\) is correct. \(x>0\) and \(x<0\) represent only one part of the number line, not the whole line. Exam tip: when the complete number line is shaded, the solution set is all real numbers.
(x>-6) में (-6) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए \((-6,\infty)\) सही है। / In (x>-6), (-6) is not included and numbers greater than it are included. Hence \((-6,\infty)\) is correct.
\(2\le x\) में (2) शामिल है लेकिन (x<6) में (6) शामिल नहीं है। इसलिए (6) पर खाली वृत्त होगा। / In \(2\le x\), (2) is included, but in (x<6), (6) is not included. So (6) has an open circle.
असमानता \(x\le 0\) में 0 तथा 0 से छोटी सभी संख्याएँ शामिल होती हैं। इसलिए 0 पर बंद कोष्ठक \(]\) लगेगा और बाईं ओर अंतराल \(-\infty\) तक जाएगा: \(( -\infty, 0 ]\)। विकल्प B में 0 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x<0\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) के लिए अंतिम बिंदु पर बंद कोष्ठक लगाते हैं। / The inequality \(x\le 0\) includes 0 and every number less than 0. Therefore, 0 has a closed bracket \(]\), and the interval extends left towards \(-\infty\): \(( -\infty, 0 ]\). Option B excludes 0, so it represents \(x<0\). Exam tip: use a closed bracket at an endpoint for \(\le\) or \(\ge\).
असमता \(x<\frac{3}{2}\) एक कठोर असमता है, इसलिए \(\frac{3}{2}\) स्वयं हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता। अतः संख्या रेखा पर \(\frac{3}{2}\) पर खाली वृत्त बनाया जाता है और उसके बाईं ओर छायांकन किया जाता है। भरा वृत्त केवल \(x\leq\frac{3}{2}\) जैसी असमता में बनता है। परीक्षा टिप: < या > के लिए हमेशा खाली वृत्त याद रखें। / The inequality \(x<\frac{3}{2}\) is strict, so \(\frac{3}{2}\) itself is not included in the solution set. Therefore, an open circle is drawn at \(\frac{3}{2}\), with the line shaded to its left. A closed circle would be used for an inequality such as \(x\leq\frac{3}{2}\). Exam tip: Use an open circle for < or >.
C. दोनों सिरों पर भरे वृत्त/Closed circles at both endpoints
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \([\frac{1}{2},\frac{5}{2}]\) में वर्ग कोष्ठक दोनों सीमांत मानों को शामिल करते हैं। इसलिए संख्या रेखा पर \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{5}{2}\), दोनों पर भरे वृत्त बनाए जाते हैं तथा उनके बीच का भाग दर्शाया जाता है। खुले वृत्त का प्रयोग तब होता है, जब सीमांत मान अंतराल में शामिल न हो। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक के लिए भरा वृत्त और गोल कोष्ठक के लिए खुला वृत्त याद रखें। / In the interval \([\frac{1}{2},\frac{5}{2}]\), square brackets include both boundary values. Hence, closed circles are drawn at both \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{5}{2}\), with the segment between them represented. Open circles are used when an endpoint is not included. Exam tip: remember that square brackets mean closed circles, while parentheses mean open circles.
असमानता \(x\le -4\) का अर्थ है कि \(x\) का मान \(-4\) या \(-4\) से छोटा होना चाहिए। \(-5<-4\), इसलिए \(-5\) छायांकित भाग में आएगा। \(-3\), \(-4\) से बड़ा है, इसलिए वह इस भाग में नहीं आएगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में संख्या रेखा पर बाईं ओर स्थित संख्या छोटी होती है। / The inequality \(x\le -4\) includes values equal to \(-4\) or less than \(-4\). Since \(-5<-4\), \(-5\) lies in the shaded region. In contrast, \(-3\) is greater than \(-4\), so it is not included. Exam tip: among negative numbers, the number farther left on the number line is smaller.
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः दो खाली वृत्त होंगे। / Both sides have strict inequalities, so both endpoints are excluded. Therefore there are two open circles.
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों तरफ बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (18) पर भरा वृत्त और दाईं ओर तीर/Closed circle at (18) and arrow right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 18\) में (18) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\ge 18\), (18) is included and numbers greater than it are taken. So a closed circle with a right arrow is used.
B. \(x\le -1\) या \(x\ge 4\)/\(x\le -1\) or \(x\ge 4\)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-1]\) में \(x\le -1\) और \([4,\infty\)) में \(x\ge 4\) है। \(\cup\) का अर्थ दोनों भागों का मिलन है। / (\(-\infty,-1]\) means \(x\le -1\), and \([4,\infty\)) means \(x\ge 4\). The symbol \(\cup\) means the union of both parts.
भरा वृत्त (-3) को शामिल करता है और खाली वृत्त (3) को बाहर रखता है। इसलिए ([-3,3)) सही है। / The closed circle includes (-3), and the open circle excludes (3). Therefore ([-3,3)) is correct.
शर्तें \(x<0\) और \(x>0\) क्रमशः 0 के बाईं और दाईं ओर के सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाती हैं। दोनों का संघ \(( -\infty,0)\cup(0,\infty)\) है, जिसमें 0 शामिल नहीं है। विकल्प B में 0 शामिल हो जाता है, इसलिए वह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय दर्शाता है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल \(<\) या \(>\) हो तो सीमा-बिंदु को शामिल नहीं किया जाता। / The conditions \(x<0\) and \(x>0\) represent all real numbers to the left and right of 0, respectively. Their union is \(( -\infty,0)\cup(0,\infty)\), which does not include 0. In option B, 0 is included, so it represents all real numbers. Exam tip: With strict inequalities \(<\) or \(>\), the boundary point is not included.
A. सिर्फ (12) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (12)
Explanation
Simple Explanation
([12,12]) में केवल (12) शामिल है। समान सीमाओं वाला बंद अंतराल एक भरा बिंदु दिखाता है। / The interval ([12,12]) includes only (12). A closed interval with equal endpoints shows one closed point.
\(\ge\) सीमा \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए वर्ग कोष्ठक से शुरू होगा। / \(\ge\) includes the boundary \(-\frac{5}{2}\) and takes numbers to the right. Therefore it starts with a square bracket.
असमानता \(x\le 3\) में \(x=3\) भी समाधान है, क्योंकि \(3\le 3\) सत्य है। इसलिए संख्या रेखा पर 3 पर भरा वृत्त बनाया जाता है। खाली वृत्त केवल तब बनता है जब सीमा मान शामिल न हो, जैसे \(x<3\)। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के लिए भरा वृत्त, जबकि \(<\) और \(>\) के लिए खाली वृत्त बनाइए। / In \(x\le 3\), \(x=3\) is included because \(3\le 3\) is true. Therefore, a closed circle is drawn at 3 on the number line. An open circle is used only when the boundary value is excluded, as in \(x<3\). Exam tip: use a closed circle for \(\le\) and \(\ge\), and an open circle for \(<\) and \(>\).
(-4) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-3) होगा। संख्या रेखा पर खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-4) is not included, so the first integer after it is (-3). On the number line, do not count an open endpoint as a member.
(4) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (3) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर में न लें। / (4) is not included, so the greatest integer before it is (3). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. (x=0) समाधान समुच्चय में शामिल नहीं है/(x=0) is not included in the solution set
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर खुला वृत्त उस अंतिम बिंदु के शामिल न होने को दर्शाता है। यहाँ 0 पर खुला वृत्त है, इसलिए (x=0) समाधान समुच्चय में नहीं है। छायांकित भाग को असमानता के रूप में
\(0<x\leq 6\) लिखा जा सकता है; इसमें 6 शामिल है क्योंकि वहाँ बंद वृत्त है। परीक्षा टिप: खुले वृत्त के लिए < या > तथा बंद वृत्त के लिए \(\leq\) या \(\geq\) का प्रयोग होता है। / An open circle on a number line means that endpoint is excluded. Since the circle at 0 is open, (x=0) is not in the solution set. The shaded interval can be written as \(0<x\leq 6\); 6 is included because it has a closed circle. Exam tip: use < or > for an open circle and \(\leq\) or \(\geq\) for a closed circle.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरे बदलता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This changes the endpoints on the number line.
असमानता \(x>2\) में 2 से बड़े सभी मान आते हैं और \(x<2\) में 2 से छोटे सभी मान आते हैं। दोनों क्षेत्रों के मिलन में 2 से छोटा या 2 से बड़ा प्रत्येक वास्तविक मान शामिल है, परंतु \(x=2\) किसी भी असमानता को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए 2 छूट जाता है। परीक्षा टिप: सख्त असमानताओं \(>\) और \(<\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता; संख्या रेखा पर उसे खुले वृत्त से दिखाते हैं। / The inequality \(x>2\) contains every value greater than 2, while \(x<2\) contains every value less than 2. Their union includes every real number except \(x=2\), because 2 satisfies neither inequality. Hence, 2 is left out. Exam tip: In strict inequalities \(>\) and \(<\), the boundary value is excluded and is shown by an open circle on the number line.
खाली वृत्त बताता है कि 20 हल में शामिल नहीं है, इसलिए असमता कठोर होगी। दाईं ओर छायांकन 20 से बड़ी सभी संख्याओं को दर्शाता है। अतः सही असमता \(x>20\) है। \(x\geq 20\) में 20 शामिल होता, इसलिए वहाँ भरा हुआ वृत्त बनता। परीक्षा टिप: दायाँ छायांकन ‘बड़ा’ और खाली वृत्त ‘बराबर नहीं’ दर्शाता है। / An open circle shows that 20 is not included in the solution, so the inequality must be strict. Shading to the right represents all numbers greater than 20. Therefore, the correct inequality is \(x>20\). In \(x\geq 20\), 20 would be included and shown with a closed circle. Exam tip: rightward shading means ‘greater than’, while an open circle means ‘not equal to’.
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line will be shaded.
अंतराल \((-7,-2)\) में दोनों सिरों पर गोल कोष्ठक हैं। इसका अर्थ है कि \(-7\) और \(-2\), दोनों शामिल नहीं हैं। इसलिए \(x\) का मान \(-7\) से बड़ा तथा \(-2\) से छोटा होगा, अर्थात \(-7<x<-2\)। विकल्प C में \(-7\) को शामिल किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: गोल कोष्ठक के लिए \(<\) या \(>\), जबकि वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) या \(\ge\) लिखें। / In the interval \((-7,-2)\), parentheses at both ends mean that neither \(-7\) nor \(-2\) is included. Therefore, \(x\) must be greater than \(-7\) and less than \(-2\), giving \(-7<x<-2\). Option C is incorrect because it includes \(-7\). Exam tip: Use \(<\) or \(>\) for parentheses, and \(\le\) or \(\ge\) for square brackets.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) is correct.
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-6) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at (-6).
खाली वृत्त (-8) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (2) को शामिल करता है। इसलिए सही असमता \(-8<x\le 2\) है। / The open circle excludes (-8), and the closed circle includes (2). Therefore the correct inequality is \(-8<x\le 2\).
वर्ग कोष्ठक बताता है कि \(-\frac{1}{2}\) शामिल है और \(-\infty\) की ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए \(x\le -\frac{1}{2}\) सही है। / The square bracket shows that \(-\frac{1}{2}\) is included, and the values extend toward \(-\infty\). Hence \(x\le -\frac{1}{2}\) is correct.
B. सीमा \(-\frac{3}{4}\), खाली वृत्त और दाईं ओर/Boundary \(-\frac{3}{4}\), open circle and right side
Explanation
Simple Explanation
कठोर (>) में सीमा शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खाली वृत्त के साथ दाईं दिशा बनेगी। / The strict sign (>) does not include the boundary, and greater numbers lie to the right. So use an open circle with rightward direction.
