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A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़ी संख्याओं की ओर देखें। / The sign (>) does not include the boundary so an open circle is used. In exams check the direction toward greater numbers.
B. (-2) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-2) and shading left
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) में (-2) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। सीमा शामिल हो तो भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (-2) and smaller numbers lie to the left. Use a closed circle when the endpoint is included.
दोनों भरे वृत्त बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। बीच का भाग संयुक्त असमता देता है। / Both closed circles show that both endpoints are included. The shaded middle part gives a compound inequality.
B. (2) पर खाली वृत्त और (7) पर भरा वृत्त/Open circle at (2) and closed circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाली सीमा शामिल नहीं होती और वर्ग कोष्ठक वाली सीमा शामिल होती है। इसलिए (2) खुला और (7) बंद होगा। / A parenthesis endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. Therefore (2) is open and (7) is closed.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए (5) पर गोल कोष्ठक आता है। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ। / In (x<5), (5) is not included so a parenthesis is used at (5). Always use a parenthesis with infinity.
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
खाली वृत्त सीमा को हटाता है और बाईं किरण छोटी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए असमता (x<6) है। / The open circle excludes the boundary and the left ray shows smaller numbers. Hence the inequality is (x<6).
([-3,2)) में (-3) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। खुला सिरा उसी संख्या पर बनेगा जो शामिल नहीं है। / In ([-3,2)), (-3) is included but (2) is not. The open endpoint is placed at the number not included.
(1) शामिल नहीं है और (8) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद होगा। / (1) is not included and (8) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
भरा वृत्त (-5) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -5\) सही है। / The closed circle includes (-5), and the right side has greater numbers. Therefore \(x\ge -5\) is correct.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है इसलिए (4) पर वर्ग कोष्ठक आएगा। छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर जाती हैं। / In \(x\le 4\), (4) is included so a square bracket is used at (4). Smaller numbers extend toward \(-\infty\).
B. दोनों सिरों पर खाली वृत्त होंगे/Both endpoints have open circles
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा संख्या शामिल नहीं है। इसलिए (-4) और (3) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses mean that boundary numbers are not included. Thus both (-4) and (3) have open circles.
अंतराल \([0,5]\) में वर्ग कोष्ठक 0 और 5, दोनों सिरों के शामिल होने को दर्शाते हैं। इसलिए \(x\) का मान 0 से कम नहीं और 5 से अधिक नहीं होगा, अर्थात \(0\le x\le 5\)। विकल्प C में 5 शामिल नहीं है, इसलिए वह \([0,5]\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक के लिए \(\le\) और गोल कोष्ठक के लिए \(<\) याद रखें। / In the interval \([0,5]\), square brackets show that both endpoints, 0 and 5, are included. Hence, \(x\) is not less than 0 and not greater than 5, so \(0\le x\le 5\). In option C, 5 is excluded, so it does not represent \([0,5]\). Exam tip: use \(\le\) for square brackets and \(<\) for round brackets.
असमानता \(x>-7\) में केवल वे मान लिए जाते हैं जो \(-7\) से बड़े हैं; \(-7\) स्वयं इसमें शामिल नहीं है। इसलिए संख्या रेखा पर \(-7\) पर खाली वृत्त बनाया जाता है और रेखा दाईं ओर बढ़ती है। \(0\) और \(7\) समाधान क्षेत्र में हैं, इसलिए वे खुले सीमा-बिंदु नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) के लिए सीमा पर खुला वृत्त, जबकि \(\ge\) या \(\le\) के लिए भरा वृत्त बनता है। / In \(x>-7\), the solution consists of values greater than \(-7\), but \(-7\) itself is not included. Therefore, an open circle is drawn at \(-7\), and the ray extends to the right. Although \(0\) and \(7\) satisfy the inequality, they are not boundary points. Exam tip: use an open circle for \(>\) or \(<\), and a closed circle for \(\ge\) or \(\le\).
चिह्न (<) छोटी संख्याओं को दिखाता है और छोटी संख्याएँ संख्या रेखा पर बाईं ओर होती हैं। दिशा पहचानना पहला कदम है। / The sign (<) shows smaller numbers, and smaller numbers are on the left of the number line. Identifying direction is the first step.
B. (9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (9) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं किरण के साथ बनेगा। / The sign \(\ge\) includes the boundary and greater numbers lie to the right. So a closed circle with a right ray is drawn.
खाली वृत्त का अर्थ है कि उस बिंदु का मान हल में शामिल नहीं है। चूँकि छायांकन 2 और 6 के बीच है तथा दोनों सिरों पर खाली वृत्त हैं, इसलिए \(x\), 2 से बड़ा और 6 से छोटा होगा: \(2<x<6\)। विकल्प C और D में एक सिरा शामिल किया गया है, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: खाली वृत्त के लिए \(<\) या \(>\) तथा भरे वृत्त के लिए \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / An open circle means that endpoint is not included in the solution set. Since the shading lies between 2 and 6 and both endpoints are open, \(x\) must be greater than 2 and less than 6: \(2<x<6\). Options C and D include one endpoint, so they are incorrect. Exam tip: use \(<\) or \(>\) for an open circle, and \(\le\) or \(\ge\) for a filled circle.
A. (4) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\([4,\infty\)) में (4) शामिल है और आगे सभी बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण सही है। / The interval \([4,\infty\)) includes (4) and all larger numbers. Hence a closed circle with a right ray is correct.
(-6) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (1) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक आएगा। कोष्ठक देखकर सीमा तय करें। / (-6) is included so a square bracket is used, and (1) is not included so a parenthesis is used. Read brackets to decide endpoints.
(x=3) का अर्थ है कि x का केवल एक मान 3 है। इसलिए संख्या रेखा पर 3 पर भरा बिंदु बनाया जाता है। खाली वृत्त सामान्यतः उन मानों के लिए होता है जो शामिल नहीं होते, जैसे x > 3 या x < 3 में सीमा बिंदु। किरणें असमिकाओं के अनेक हलों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: '=' के लिए केवल संबंधित संख्या पर बिंदु लगाएँ। / (x=3) means that x has exactly one value, 3. Therefore, it is shown by a closed point at 3 on the number line. An open circle is usually used for an excluded boundary value, such as in x > 3 or x < 3. Rays represent inequalities with many solutions. Exam tip: for '=', mark only the stated number with a point.
खाली वृत्त का अर्थ है सीमा मान समाधान में नहीं है। ऐसे प्रश्नों में वृत्त का प्रकार पहले देखें। / An open circle means the boundary value is not part of the solution. In such questions, check the type of circle first.
A. (b) समाधान में शामिल है/(b) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
भरा वृत्त बताता है कि सीमा संख्या शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सामान्यतः भरा वृत्त आता है। / A closed circle shows that the boundary number is included. Usually \(\le\) and \(\ge\) use closed circles.
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray right
Explanation
Simple Explanation
(\(3,\infty\)) में (3) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। इसलिए खाली वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The interval (\(3,\infty\)) does not include (3) and contains larger numbers. So it uses an open circle and a right ray.
B. (-8) पर खाली वृत्त और (-3) पर भरा वृत्त/Open circle at (-8) and closed circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
(-8) शामिल नहीं है लेकिन (-3) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद रहेगा। / (-8) is not included but (-3) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
गोल कोष्ठक पर कठोर असमता और वर्ग कोष्ठक पर बराबरी सहित असमता लगती है। इसलिए \(-2<x\le 4\) सही है। / A parenthesis gives a strict inequality and a square bracket gives an inclusive inequality. Therefore \(-2<x\le 4\) is correct.
(x>0) में (0) शामिल नहीं है और सभी धनात्मक संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(0,\infty\)) सही है। / In (x>0), (0) is not included and all positive numbers are taken. Hence (\(0,\infty\)) is correct.
A. सभी संख्या रेखा छायांकित और (2) पर खाली वृत्त/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। हटाए गए बिंदु के लिए खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 2\), all real numbers except (2) are included. The excluded point is shown by an open circle.
यह संघ \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\) उन सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है जो 1 से छोटी या 1 से बड़ी हैं। इसलिए इसमें केवल 1 शामिल नहीं है और असमता \(x\ne 1\) प्राप्त होती है। विकल्प C और D केवल एक-एक ओर के मान दर्शाते हैं, जबकि यहाँ दोनों ओर के मान लिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: अंतराल में 1 के चारों ओर खुले सिरे देखकर समझें कि 1 को शामिल नहीं किया गया है। / The union \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\) includes all real numbers less than 1 or greater than 1. Thus, the only excluded value is 1, so it represents \(x\ne 1\). Options C and D describe only one side of 1, whereas this interval includes both sides. Exam tip: Open endpoints at 1 indicate that 1 is not included.
असमानता \(-4\le x\) में दोनों पक्षों को अदल-बदलकर लिखने पर \(x\ge -4\) मिलता है। इसका अर्थ है कि \(x\), \(-4\) के बराबर या उससे बड़ा है। संख्या रेखा पर \(-4\) पर भरा हुआ बिंदु बनाकर दाईं ओर रेखा खींची जाती है। \(x>-4\) निकटतम विकल्प है, पर उसमें \(-4\) स्वयं शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) में बराबरी शामिल होने के कारण बिंदु भरा हुआ होता है। / In \(-4\le x\), reversing the order of the two sides gives \(x\ge -4\). It means that \(x\) is equal to or greater than \(-4\). On a number line, mark a closed point at \(-4\) and shade to the right. The closest distractor, \(x>-4\), is incorrect because it excludes \(-4\) itself. Exam tip: \(\le\) and \(\ge\) include equality, so use a closed point on the number line.
B. सीमा (10), बाईं दिशा/Boundary (10), left direction
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 10\) में सीमा (10) है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। बराबरी होने से बिंदु भरा होगा। / In \(x\le 10\), the boundary is (10), and smaller numbers are on the left. Equality means the point is closed.
खुला वृत्त बताता है कि 2 हल में शामिल नहीं है, जबकि बाईं ओर छायांकन 2 से छोटे सभी मानों को दर्शाता है। इसलिए असमता \(x<2\) है। \(x\leq 2\) के लिए 2 पर भरा हुआ वृत्त होता। परीक्षा टिप: खुला वृत्त = सिरा शामिल नहीं, भरा वृत्त = सिरा शामिल। / An open circle means that 2 is not included in the solution set, while shading to the left represents all values less than 2. Therefore, the inequality is \(x<2\). For \(x\leq 2\), the point at 2 would be a filled circle. Exam tip: open circle means the endpoint is excluded; filled circle means it is included.
असमानता \(x<0\) में केवल 0 से छोटे सभी संख्याएँ शामिल हैं; \(0\) स्वयं समाधान में शामिल नहीं है। इसलिए संख्या रेखा पर \(0\) पर खुला वृत्त बनाया जाता है और बाईं ओर रेखा या तीर दिखाया जाता है। भरा वृत्त \(x\leq 0\) के लिए होता है, क्योंकि उसमें \(0\) भी शामिल होता है। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुला वृत्त तथा \(\leq\) या \(\geq\) के लिए भरा वृत्त बनाइए। / In \(x<0\), all numbers less than 0 are included, but \(0\) itself is not included in the solution. Therefore, an open circle is drawn at \(0\), with the line or arrow extending to the left. A closed circle would be used for \(x\leq 0\), because 0 is included there. Exam tip: use an open circle for \(<\) or \(>\), and a closed circle for \(\leq\) or \(\geq\).
\(3\le x\) के कारण (3) शामिल है और (x<9) के कारण (9) शामिल नहीं है। इसलिए (3) बंद और (9) खुला होगा। / Because \(3\le x\), (3) is included, and because (x<9), (9) is not included. So (3) is closed and (9) is open.
(x>-2) में (-2) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-1) ही (-2) से बड़ा है। / In (x>-2), numbers greater than (-2) are included. Among the options, only (-1) is greater than (-2).
(5) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा और छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर होंगी। इसलिए (\(-\infty,5\)) सही है। / Since (5) is not included, a parenthesis is used, and smaller numbers extend toward \(-\infty\). Hence (\(-\infty,5\)) is correct.
\(x\le 2\) में (2) तक सभी संख्याएँ और (x>2) में (2) से आगे सभी संख्याएँ आती हैं। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / \(x\le 2\) includes all numbers up to (2), and (x>2) includes all numbers after (2). Together they form the whole number line.
A. पहले में सिरे बंद हैं और दूसरे में सिरे खुले हैं/The first has closed endpoints and the second has open endpoints
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है और गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है। यही संख्या रेखा पर खुले या बंद सिरों का अंतर है। / Square brackets include endpoints and parentheses exclude endpoints. This creates the open or closed endpoint difference on the number line.
गोल कोष्ठक (-5) को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक (-1) को शामिल करता है। इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The parenthesis excludes (-5), while the square bracket includes (-1). Therefore (-5) is not included.
A. पूरी संख्या रेखा छायांकित/Entire number line shaded
Explanation
Simple Explanation
\(x\in \mathbb{R}\) का अर्थ है सभी वास्तविक संख्याएँ। संख्या रेखा पर यह पूरी रेखा को दर्शाता है। / \(x\in \mathbb{R}\) means all real numbers. On the number line it represents the entire line.
\(x\ge -1\) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। (-2) इससे छोटा है इसलिए समाधान में नहीं है। / In \(x\ge -1\), (-1) and all greater numbers are included. (-2) is smaller, so it is not in the solution.
(\(-\infty,\infty\)) पूरी वास्तविक संख्या रेखा को दर्शाता है। अनंत सीमा नहीं है इसलिए उसके साथ गोल कोष्ठक ही आता है। / (\(-\infty,\infty\)) represents the whole real number line. Infinity is not an endpoint, so parentheses are used with it.
(x< -4) में (-4) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)) सही है। / In (x< -4), (-4) is not included and smaller numbers are taken. Hence (\(-\infty,-4\)) is correct.
A. (0) से (3) के बीच और दोनों सिरे खुले/Between (0) and (3) with both endpoints open
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमता में सीमाएँ शामिल नहीं होतीं और बीच का भाग समाधान होता है। इसलिए दोनों सिरे खुले रहेंगे। / Strict inequalities exclude the endpoints and the middle part is the solution. Therefore both endpoints remain open.
B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (7)
Explanation
Simple Explanation
([7,7]) में आरंभ और अंत समान हैं और वह मान शामिल है। इसलिए केवल (7) पर भरा बिंदु बनेगा। / In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
((7,7)) में कोई संख्या (7) से बड़ी और (7) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / In ((7,7)), no number can be greater than (7) and less than (7) at the same time. So it is an empty set.
असमानता \(-3\le x<0\) में \(-3\) के साथ \(\le\) है, इसलिए \(-3\) शामिल होगा और संख्या रेखा पर वहाँ भरा हुआ बिंदु बनेगा। \(0\) के साथ \(<\) है, इसलिए \(0\) शामिल नहीं होगा और वहाँ खुला बिंदु बनेगा। अतः अंतराल \([-3,0)\) है। विकल्प A में \(-3\) को भी शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(\le\) या \(\ge\) के लिए वर्ग कोष्ठक और \(<\) या \(>\) के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / In \(-3\le x<0\), \(-3\) has \(\le\), so it is included and is shown by a closed dot on the number line. Zero has \(<\), so it is excluded and is shown by an open dot. Hence, the interval is \([-3,0)\). Option A incorrectly excludes \(-3\) as well. Exam tip: use a square bracket for \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for \(<\) or \(>\).
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए सीमा (-6) समाधान में है। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनता है। / The sign \(\le\) includes equality, so the boundary (-6) is in the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-2) बंद है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (5) खुला है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। सही अंतराल ([-2,5)) है। / (-2) is closed so a square bracket is used, and (5) is open so a parenthesis is used. The correct interval is ([-2,5)).
भरा वृत्त (8) को शामिल करता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\le 8\) सही है। / The closed circle includes (8), and the left side has smaller numbers. Therefore \(x\le 8\) is correct.
खाली वृत्त का अर्थ है (-6) शामिल नहीं है और भरा वृत्त बताता है कि (2) शामिल है। इसलिए सही असमता \(-6<x\le 2\) है। / An open circle means (-6) is not included, and a closed circle means (2) is included. Therefore the correct inequality is \(-6<x\le 2\).
