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दो फलनों का योग बिंदुवार जोड़ा जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\)। विकल्प B में \(2x\) का चिन्ह गलत है और स्थिर पद भी सही नहीं है। परीक्षा में समान घात वाले पदों को अलग-अलग जोड़कर चिन्हों की जाँच करें। / The sum of two functions is found by adding their values pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\). Option B has the wrong sign for the linear term and an incorrect constant term. In exams, combine like powers separately and check the signs carefully.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9)। घटाते समय पूरे (f(x)) पर ऋण लगाएँ। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9). While subtracting, apply the minus sign to the whole (f(x)).
\((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\)। विकल्प D, \(f(x)+g(x)=2x-3\), यानी योगफल है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\). Option D, \(2x-3\), is \(f(x)+g(x)\), the sum rather than the product. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which means a product, from \(f(g(x))\), which means composition.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), जहाँ \(x \neq 3\)। हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), where \(x \neq 3\). Always check that the denominator is not zero.
हरों (x-2) और (x+4) को शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x \neq 2\) और \(x \neq -4\)। परिमेय फलनों में हर पहले जाँचें। / The denominators (x-2) and (x+4) must not be zero, so \(x \neq 2\) and \(x \neq -4\). In rational functions, check denominators first.
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\)। अब \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=2(-2)^2=8\) और \(g(-2)=-2+1=-1\), इसलिए \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\)। विकल्प 7 में \(g(-2)\) के ऋणात्मक मान का सही ढंग से ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\). At \(x=-2\), \(f(-2)=2(-2)^2=8\) and \(g(-2)=-2+1=-1\). Therefore, \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\). The distractor 7 results from mishandling the negative value of \(g(-2)\). Exam tip: evaluate both functions separately before subtracting.
((f+g)(x)=2x-2), अतः ((f+g)(3)=2\cdot 32=18)। विरोधी पद कट सकते हैं, इसलिए सरल रूप देखें। / ((f+g)(x)=2x-2), hence ((f+g)(3)=2\cdot 32=18). Opposite terms may cancel, so simplify first.
पहले \(f(2)=2^2-1=3\) और \(g(2)=2(2)+1=5\) निकालते हैं। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\)। यहाँ \((fg)\) फलनों के गुणनफल को दर्शाता है, संयोजन को नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) और \((f\circ g)(x)\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / First, \(f(2)=2^2-1=3\) and \(g(2)=2(2)+1=5\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\). Here, \((fg)\) denotes the product of the two functions, not their composition. In an exam, carefully distinguish \((fg)(x)\) from \((f\circ g)(x)\).
फलनों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए ((f+g)(x)=(g+f)(x))। योग में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition of functions is commutative, so ((f+g)(x)=(g+f)(x)). Changing order in addition does not change the value.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\)। विकल्प B में योग-संबंधी रूप लिया गया है, जबकि यहाँ गुणनफल है। परीक्षा-टिप: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) सर्वसमिका पहचानें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\). Option B incorrectly suggests a sum-of-squares pattern, whereas this is a product of conjugate binomials. Exam tip: recognize the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
मूल (f(x)) में \(x-1 \neq 0\), इसलिए \(x \neq 1\), भले ही गुणा के बाद सरलीकरण हो। प्रांत मूल अभिव्यक्तियों से तय करें। / In the original (f(x)), \(x-1 \neq 0\), so \(x \neq 1\), even if simplification occurs after multiplication. Decide the domain from original expressions.
((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), पर मूल हर के कारण \(x \neq 0\)। सरलीकरण के बाद भी मूल प्रतिबंध रखें। / ((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), but \(x \neq 0\) because of the original denominator. Keep original restrictions after simplification.
\(\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\), जहाँ \(x \neq -2\)। हर का शून्य मान अलग से लिखें। / \(\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\), where \(x \neq -2\). Write the zero of the denominator separately.
फलनों के घटाव के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि यहाँ दोनों फलनों के मानों का घटाव शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान लेते समय उसका चिह्न हट जाता है, लेकिन \(g(-5)=-5\) ही रहता है। / By the definition of subtraction of functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\). Option B is incorrect because the two function values are not equal. Exam tip: \(|-5|=5\), while \(g(-5)=-5\); do not replace the latter by its absolute value.
फलनों के बीजीय संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। अतः \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\)। विकल्प B में ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा में कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के अंदर सभी चिह्न बदलना याद रखें। / For the algebraic combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Therefore, \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\). Option B results from handling the negative sign incorrectly. In an exam, remember that a minus sign before brackets changes the signs of all terms inside.
\(x^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है, लेकिन \(\sqrt{x}\) के लिए \(x \geq 0\) चाहिए। योग का प्रांत प्रतिच्छेद है। / \(x^2\) is defined for all real (x), but \(\sqrt{x}\) needs \(x \geq 0\). The domain of the sum is the intersection.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x \geq 2\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x \neq 0\); प्रतिच्छेद \(x \geq 2\) है। सबसे कड़ा प्रतिबंध पहचानें। / \(\sqrt{x-2}\) requires \(x \geq 2\) and \(\frac{1}{x}\) requires \(x \neq 0\); the intersection is \(x \geq 2\). Identify the strongest restriction.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1\)। भाग में हर का मान शून्य है या नहीं, पहले देखें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1\). In division, first check whether the denominator value is zero.
फलनों का अंतर ((g-f)(x)=g(x)-f(x)) होता है। इसलिए ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8)। \(x^2\) के समान पद कट जाते हैं, इसलिए विकल्प B और C सही नहीं हैं; ऋणात्मक मान विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The difference of two functions is defined by ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Thus, ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8). The like terms \(x^2\) cancel, so options B and C are incorrect, while option D has the wrong sign. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the function being subtracted.
फलनों के योग और अंतर के अनुसार, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\)। अतः \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(h(x)\) का ऋणात्मक चिह्न सही ढंग से नहीं लगाया गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते या घटाते समय प्रत्येक फलन का पूरा व्यंजक लिखकर कोष्ठक खोलें। / By the definition of addition and subtraction of functions, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\). Therefore, \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\), so option A is correct. In option B, the sign of the \(x^2\) term is incorrect because \(h(x)\) is being subtracted. Exam tip: write the complete expressions in brackets before combining like terms.
\(\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1\), जहाँ \(x \neq 0\)। साझा गुणनखंड काटते समय प्रतिबंध न भूलें। / \(\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1\), where \(x \neq 0\). Do not forget the restriction while cancelling a common factor.
((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), लेकिन \(x+2 \neq 0\)। सरल उत्तर के साथ प्रांत का प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / ((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), but \(x+2 \neq 0\). It is important to write the domain restriction with the simplified answer.
फलनों के गुणनफल के लिए ((fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x)। विकल्प B में गुणन के बजाय जोड़ किया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणांक का सही वितरण नहीं हुआ। परीक्षा में ((fg)(x) को (f(x)+g(x)) न समझें। / For the product of two functions, ((fg)(x)=f(x)g(x). Hence, ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x). Option B adds the functions instead of multiplying them, while options C and D do not distribute the constant correctly. In an exam, do not confuse ((fg)(x) with (f(x)+g(x)).
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)। अतः (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल स्थिरांक 1 को दो बार जोड़ा गया है, जबकि पूरे फलन को दो बार जोड़ना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: समान फलन का योग उसके मान का दो गुना होता है। / By the definition of the sum of functions, (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x). Therefore, (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, so option A is correct. Option B incorrectly doubles only the constant term instead of the entire function. Exam tip: the sum of a function with itself is twice the function.
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। अतः \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(2f(x)\) के बराबर है, गुणनफल के नहीं। परीक्षा में \((ff)(x)\) को \(f(f(x))\) से अलग पहचानें; \(f(f(x))\) फलनों का संयोजन होता है। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Therefore, \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), so option A is correct. Option B represents \(2f(x)\), not the product \(f(x)f(x)\). In an exam, distinguish \((ff)(x)\) from \(f(f(x))\), which denotes composition.
यदि \(f(x)=\sin x\) और \(g(x)=\cos x\) हैं, तो \((f^2+g^2)(x)\) का मान क्या होगा? यहाँ \(f^2\) और \(g^2\) क्रमशः फलनों के बिंदुवार वर्ग को दर्शाते हैं।
बिंदुवार फलन-संचालन के अनुसार \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\)। मूल त्रिकोणमितीय पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से सही मान \(1\) है। विकल्प C में घटाव और विकल्प D में \(\sin 2x\) से संबंधित पद आता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) को तुरंत पहचानें। / For pointwise function operations, \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\). Using the fundamental trigonometric identity \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the value is \(1\). Option C uses subtraction, while option D is the double-angle expression \(\sin 2x\). Exam tip: immediately recognize \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\)। विकल्प B और C में \(x\) और \(a\) का अनुचित मिश्रण है, जबकि विकल्प D योग के बजाय अलग प्रकार का व्यंजक देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का \(a\) पर मान निकालते समय प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\). Options B and C incorrectly mix \(x\) and \(a\), while option D does not represent the sum. Exam tip: when evaluating a function at \(a\), replace every occurrence of \(x\) with \(a\).
(f(0)=0) और (g(0)=0), इसलिए ((fg)(0)=0)। उत्पाद में कोई एक मान शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। / (f(0)=0) and (g(0)=0), so ((fg)(0)=0). If one value in a product is zero, the product is zero.
(f(x)) के लिए \(x \neq 1\) चाहिए और \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) कभी शून्य नहीं होता। इसलिए केवल \(x \neq 1\) प्रतिबंध है। / (f(x)) needs \(x \neq 1\), and \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) is never zero. So the only restriction is \(x \neq 1\).
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), इसलिए \(x=-1\) पर मान (-5) होना चाहिए; पर सही जाँच में \(\frac{-15}{3}=-5\)। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), so at \(x=-1\) the value is (-5). Check directly as \(\frac{-15}{3}=-5\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), अतः \(-1-4=-5\)। सरलीकरण के बाद सही मान रखें। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), hence \(-1-4=-5\). Substitute carefully after simplification.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \geq 0\), इसलिए \(-3 \leq x \leq 3\)। रैखिक फलन कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं देता। / For the square root, \(9-x^2 \geq 0\), so \(-3 \leq x \leq 3\). The linear function gives no extra restriction.
A. \(g\circ f:A\to C\), जहाँ \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)/\(g\circ f:A\to C\), where \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(f\) लगाने पर \(x\in A\) का प्रतिबिंब \(f(x)\in B\) मिलता है। फिर \(g\) लगाने पर \(g(f(x))\in C\) प्राप्त होता है, इसलिए संयुक्त फलन \(g\circ f\) है। परीक्षा टिप: संयोजन में दाएँ वाला फलन पहले लगाया जाता है। / Applying \(f\) first sends \(x\in A\) to \(f(x)\in B\). Applying \(g\) next gives \(g(f(x))\in C\), so the composite is \(g\circ f\). Exam tip: in a composition, the function on the right acts first.
\(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), इसलिए \(x=2\) पर मान (4) है। गुणनखंड बनाकर समय बचाएँ। / \(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), so at \(x=2\) the value is (4). Factorisation saves time.
(f(1)=1) और (g(1)=3), इसलिए ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1)। ऐसे प्रश्नों में पहले अलग-अलग मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=3), so ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1). In such questions, find individual values first.
((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो कभी (0) नहीं होता। वर्ग पूर्ण करने से वास्तविक हल जल्दी दिखता है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is never (0). Completing the square quickly shows real solutions.
\((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए। इसलिए यह एक स्थिर फलन है और इसका परिसर केवल \(\{2\}\) है। \(\{0\}\) सही नहीं है, क्योंकि घटाने पर स्थिर पदों का अंतर \(1-(-1)=2\) होता है। परीक्षा-युक्ति: दो फलनों के अंतर का परिसर ज्ञात करने से पहले \((g-f)(x)\) को सरल करें। / \((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) for every real \(x\). Thus, the difference is a constant function, whose range is the singleton set \(\{2\}\). \(\{0\}\) is incorrect because the constant terms give \(1-(-1)=2\). Exam tip: simplify \((g-f)(x)\) completely before determining its range.
फलनों का गुणनफल (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x² है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी घात 3 होगी। विकल्प B केवल g(x) की घात बताता है, पूरे गुणनफल की नहीं। परीक्षा में गुणनफल की घात ज्ञात करने के लिए पहले दोनों फलनों को गुणा करके उच्चतम घात देखें। / The product function is (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x². The highest power of x is 3, so the degree is 3. Option B gives the degree of g(x) alone, not that of the product. In such questions, multiply the functions first and then identify the highest power of x.
((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। शून्यक के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), so the zeroes are (0) and (2). For zeroes, equate the function to (0).
समान हर होने पर अंश घटाएँ: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1})। हर (x+1) के कारण \(x \neq -1\)। / With the same denominator, subtract numerators: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1}). Because of denominator (x+1), \(x \neq -1\).
फलनों के रैखिक संयोजन में पूरे फलनों को उनके गुणांकों से गुणा किया जाता है: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\)। अतः सही उत्तर A है। विकल्प B में स्थिर पद के चिह्न की गलती है। परीक्षा में प्रत्येक गुणांक को पूरे फलन के प्रत्येक पद से गुणा करना न भूलें। / For a linear combination of functions, multiply each entire function by its coefficient: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\). Hence, option A is correct. Option B results from an incorrect sign in the constant term. In the exam, distribute each coefficient across every term of the corresponding function.
\(\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), अतः \(x=0\) पर मान (3) है। पूर्ण वर्ग पहचान उपयोगी है। / \(\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), hence the value at \(x=0\) is (3). The perfect square identity is useful.
\(f(x)\) में \(\sqrt{x-1}\) हर में है। इसलिए मूलांक के लिए \(x-1\geq 0\) और हर शून्य न होने के लिए \(x-1\neq 0\) होना चाहिए; अतः \(x>1\)। \(g(x)=x\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \((f+g)\) का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद, अर्थात \((1,\infty)\), होगा। परीक्षा-सुझाव: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का पद सदैव धनात्मक लें। / In \(f(x)\), \(\sqrt{x-1}\) is in the denominator. Thus, the radicand must satisfy \(x-1\geq 0\), and the denominator must not be zero, so \(x-1\neq 0\). Therefore, \(x>1\). Since \(g(x)=x\) is defined for all real numbers, the domain of \((f+g)\) is the intersection of the two domains, namely \((1,\infty)\). Exam tip: For a square root in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), इसलिए किसी भी (x) पर मान (2) है। पहले सरल करने से गणना कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), so at any (x) the value is (2). Simplifying first reduces calculation.
A. समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Every element of set A has exactly one image in set B
Explanation
Simple Explanation
फलन में परिभाषा-समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए सह-परिभाषा-समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब होना अनिवार्य है। विकल्प B एक-एक तथा आच्छादक फलन जैसी अधिक कठोर स्थिति बताता है; प्रत्येक फलन के लिए यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संबंध में यदि A के किसी एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब हों, तो वह फलन नहीं है। / In a function, every element of the domain A must have one and only one image in the codomain B. Option B describes a stronger situation similar to a one-one and onto mapping, which is not required for every function. Exam tip: if even one element of A has two different images, the relation is not a function.
फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\)। विकल्प B में घटाए जा रहे फलन के \(-x\) पद का चिह्न बदलना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: पूरे \(g(x)\) के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\). Option B results from failing to change the sign of the \(-x\) term when subtracting the entire function \(g(x)\). Exam tip: when a function is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside its brackets.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), जहाँ \(x\neq 3\)। अतः \((fg)(4)=4+2=6\)। विकल्प 1 केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि विकल्प 4 यह मान लेने की गलती से मिलता है कि \(x=4\) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और मूल फलनों की डोमेन शर्त जाँचें। / The product of two real-valued functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), with the restriction \(x\neq 3\). Therefore, \((fg)(4)=4+2=6\). Option 1 is only the value of \(g(4)\), while option 4 incorrectly treats \(x=4\) as outside the domain. Exam tip: write \((fg)(x)=f(x)g(x)\) first and check the original domain restriction before cancelling factors.
((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), लेकिन दोनों वर्गमूलों के लिए \(x \geq 0\)। सरल रूप से प्रांत नहीं बदलता। / ((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), but both square roots require \(x \geq 0\). The simplified form does not change the original domain.
\(\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), अतः \(x=3\) पर मान (1) है। गुणनखंडन से भाग सरल होता है। / \(\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), so at \(x=3\) the value is (1). Factorisation makes division simple.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), क्योंकि यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का रूप है। विकल्प B में चिह्न उलट गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले यह जाँचें कि \(fg\) से गुणनफल अभिप्रेत है या फलनों की रचना। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), using the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Option B has the sign reversed. In an exam, first check whether \(fg\) denotes the product of functions or their composition.
