Level 56 • 50/50 questions • 60 seconds per question.
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B. (5040)
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\)। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से गुणा करके निकालें। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\). Find a larger factorial by multiplying the previous factorial.
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How can (8!) be written using (6!)?
A. \(8\times7\times6!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times7\times6!\) होता है। अतः सही विकल्प \(8\times7\times6!\) है। \(8\times6!\) में गुणक \(7\) छूट जाता है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times7\times6!\). Therefore, \(8\times7\times6!\) is correct. In \(8\times6!\), the factor \(7\) is missing, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
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What is the value of \(\frac{9!}{7!}\)?
B. 72
चूँकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\)। विकल्प C, \(90\), तब मिलता यदि गलती से \(9\times10\) लिया जाता। परीक्षा में फैक्टोरियल को इतना ही फैलाएँ कि हर में दिया गया फैक्टोरियल कट जाए। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\). Option C, \(90\), could result from incorrectly using \(9\times10\). In exams, expand a factorial only up to the factorial in the denominator so that it cancels directly.
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What will be the value of (6!+1!)?
B. 721
क्रमगुणित के अनुसार, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) तथा \(1!=1\) होता है। इसलिए \(6!+1!=720+1=721\)। विकल्प 719, \(720-1\) करने पर मिलता है, जबकि प्रश्न में जोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दिए गए चिह्न के अनुसार संक्रिया करें। / Using factorial notation, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) and \(1!=1\). Therefore, \(6!+1!=720+1=721\). Option 719 would result from subtracting 1 from 720, but the question requires addition. Exam tip: evaluate each factorial first, then apply the indicated operation.
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What is the value of \(\frac{8!}{6!,2!}\)?
B. 28
\(8! = 8\times7\times6!\) होने पर \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 56 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान क्रमगुणित को पहले काटें, फिर शेष पदों का गुणन करें। / Since \(8! = 8\times7\times6!\), \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\). Therefore, 28 is correct. The close distractor 56 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: cancel the common factorial first, then multiply the remaining terms.
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If (n=4), what is the value of (n!)?
C. 24
यहाँ n=4 है, इसलिए n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। अतः सही विकल्प 24 है। 16, 4 का वर्ग है, क्रमगुणित का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए n! निकालते समय n से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन करें। / Here n=4, so n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, 24 is the correct option. The value 16 is the square of 4, not its factorial. Exam tip: To evaluate n! for a positive integer, multiply all whole numbers from n down to 1.
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What is the value of (2!+4!-1!)?
C. 25
क्रमगुणित के अनुसार 2! = 2 तथा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 होता है। साथ ही, 1! = 1 है। अतः 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, इसलिए विकल्प C सही है। 24 लेने पर 2! और 1! का प्रभाव छूट जाएगा। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, 2! = 2 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Also, 1! = 1. Therefore, 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, so option C is correct. Choosing 24 would ignore the effect of 2! and 1!. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform addition or subtraction.
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What is the value of \(\frac{10!}{9!}\)?
B. (10)
\(\frac{10!}{9!}=10\) क्योंकि \(10!=10\times9!\)। ऐसे सवाल में पूरा विस्तार लिखने की जरूरत नहीं होती। / \(\frac{10!}{9!}=10\) because \(10!=10\times9!\). In such questions, full expansion is not needed.
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What is the value of \(4!\times3!\)?
C. \(144\)
क्रमगुणित के अनुसार \(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(3!=3\times2\times1=6\) है। अतः \(4!\times3!=24\times6=144\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, इसलिए वह इस गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालकर फिर गुणा करें। / Using factorial notation, \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(4!\times3!=24\times6=144\), so option C is correct. \(120\) is the value of \(5!\), not of this product. Exam tip: Evaluate each factorial first, then multiply the results.
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\(6\times5\times4\times3!\) is equal to which of the following?
A. (6!)
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (6!) है। विस्तार पहचानना क्रमगुणित प्रश्नों में जरूरी है। / \(6!=6\times5\times4\times3!\), so the given form is (6!). Recognizing expansions is important in factorial questions.
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What is the value of \(\frac{5!+4!}{4!}\)?
B. 6
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 5 तब मिलता यदि अंश में केवल \(5!\) होता और \(4!\) जोड़ा न गया होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में समान फैक्टरियल को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Since \(5!=5\times4!\), \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\). Therefore, the correct answer is 6. Option 5 would result if the additional \(4!\) in the numerator were ignored. Exam tip: In factorial fractions, factor out the common factorial before simplifying.
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If (n!=720), what is the value of (n)?
B. 6
क्रमगुणित के अनुसार \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। अतः \(n=6\) है। \(5!=120\) होता है, जबकि \(7!=5040\) होता है, इसलिए ये मान सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के क्रमगुणित मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). Therefore, \(n=6\). Since \(5!=120\) and \(7!=5040\), those values cannot satisfy the condition. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
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What is the value of ((2+3)!)?
C. 120
पहले कोष्ठक हल करें: \(2+3=5\)। अतः \((2+3)! = 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\), इसलिए विकल्प C सही है। \(24\) का मान \(4!\) होता है, जबकि \(720\) का मान \(6!\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान अवश्य निकालें। / First evaluate the bracket: \(2+3=5\). Therefore, \((2+3)! = 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\), so option C is correct. \(24\) is the value of \(4!\), whereas \(720\) is the value of \(6!\). Exam tip: Always simplify the expression inside brackets before applying factorial.
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A. (4320)
(7!=5040) और (6!=720), इसलिए अंतर (4320) है। घटाते समय दोनों क्रमगुणित अलग लिखें। / (7!=5040) and (6!=720), so the difference is (4320). Write both factorials separately while subtracting.
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What is the value of \(\frac{6!}{5!}+2!\)?
C. 8
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{6!}{5!}=6\)। साथ ही, \(2!=2\times1=2\)। अतः \(\frac{6!}{5!}+2!=6+2=8\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 7 तब मिल सकता है जब \(2!\) को गलती से 1 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{6!}{5!}=6\). Also, \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(\frac{6!}{5!}+2!=6+2=8\), so option C is correct. Option 7 may result from incorrectly taking \(2!\) as 1. Exam tip: simplify factorial fractions first by cancelling the common factorial term.
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What is the value of \(3!\times3!\)?
D. 36
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(3!\times3!=6\times6=36\), इसलिए सही विकल्प D है। \(24\) का मान \(4!\) है, न कि \(3!\times3!\)। परीक्षा टिप: किसी भी क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले \(n!\) का मान निकालकर फिर गुणा या अन्य संक्रिया करें। / By the definition of factorial, \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(3!\times3!=6\times6=36\), so option D is correct. The value \(24\) equals \(4!\), not \(3!\times3!\). Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the required operation.
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What is the value of \(\frac{7!}{4!}\)?
A. 210
क्योंकि \(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, जबकि यहाँ 7, 6 और 5 का गुणन करना है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में \(r!\) को काटने के बाद \((r+1)\) से \(n\) तक की संख्याओं का गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). The value \(120\) is only \(5!\); here, the factors 7, 6, and 5 must be multiplied. Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), cancel \(r!\) and multiply the integers from \(r+1\) to \(n\).
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What is the value of (1!+2!+3!)?
B. 9
क्रमगुणित के अनुसार 1! = 1, 2! = 2 और 3! = 6 होता है। अतः 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि उसमें 3! का सही मान 6 लेने पर भी योग एक कम हो जाता है। परीक्षा टिप: जोड़ करने से पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें। / Using factorial values, 1! = 1, 2! = 2, and 3! = 6. Therefore, 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9. Option 8 is incorrect because it is one less than the correct total after evaluating 3! correctly. Exam tip: evaluate each factorial separately before adding.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\)?
C. \(n+3\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), क्योंकि \((n+2)!\) अंश और हर में कट जाता है। \(n+2\) लेने की गलती तब होती है जब अतिरिक्त गुणनखंड \(n+3\) को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using factorial expansion, \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\). Therefore, \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), because \((n+2)!\) cancels from the numerator and denominator. \(n+2\) is a common error caused by omitting the extra factor \(n+3\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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\(8\times7\times6\times5!\) is equal to which of the following?
B. \(8!\)
क्रमगुणित के अनुसार \(8!=8\times7\times6\times5!\) होता है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(8!\) के बराबर है। \(7!\) में केवल \(7\times6\times5!\) होता है, इसलिए उसमें 8 का गुणनखंड नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी क्रमगुणित को पहचानने के लिए लगातार घटते हुए गुणनखंडों को दिए गए अंतिम क्रमगुणित से मिलाइए। / By factorial expansion, \(8!=8\times7\times6\times5!\). Hence, the given expression equals \(8!\). In contrast, \(7!=7\times6\times5!\), so it does not include the factor 8. Exam tip: Match consecutive descending factors with the factorial at the end to identify the required factorial.
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What is the value of \(\frac{4!+2!}{2!}\)?
C. 13
यहाँ \(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(2!=2\times1=2\) है। अतः \(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=\frac{26}{2}=13\)। इसलिए सही विकल्प 13 है। विकल्प 12 तब मिलता यदि अंश में \(2!\) को गलत तरीके से 0 या अलग संक्रिया मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर अंश में जोड़ करके भाग दें। / Here, \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=\frac{26}{2}=13\). Hence, 13 is the correct option. Option 12 can result from incorrectly evaluating \(2!\) or mishandling the addition in the numerator. Exam tip: evaluate each factorial first, add the terms in the numerator, and then divide.
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What is the value of \(5!\div3!\)?
C. 20
\(5!\div3!=\frac{5\times4\times3!}{3!}\) है। अंश और हर में \(3!\) कट जाता है, इसलिए मान \(5\times4=20\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 लेने पर \(3!\) का सही निरसन नहीं होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / \(5!\div3!=\frac{5\times4\times3!}{3!}\). The common factor \(3!\) cancels from the numerator and denominator, leaving \(5\times4=20\). Choosing 15 would result from an incorrect cancellation of the factorial terms. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
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If (a=3!) and (b=2!), what is the value of (a+b)?
C. 8
यहाँ a=3!=3×2×1=6 तथा b=2!=2×1=2 है। अतः a+b=6+2=8, इसलिए सही विकल्प C है। 6 केवल a का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान अलग-अलग निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Here, a=3!=3×2×1=6 and b=2!=2×1=2. Therefore, a+b=6+2=8, so option C is correct. The value 6 is only the value of a, not their sum. Exam tip: Evaluate each factorial separately before performing the required operation.
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What is the simplified value of \(\frac{9!}{6!}\)?
A. 504
क्योंकि \(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\)। \(3024\) प्राप्त होता है यदि \(9\times8\times7\times6\) किया जाए, लेकिन यहाँ \(6!\) पूरा कट जाता है, केवल \(9,8,7\) बचते हैं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तो \(r!\) तक विस्तार करके उसे काट दें। / Since \(9!=9\times8\times7\times6!\), \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\). The value \(3024\) would result from multiplying by an extra \(6\), but the entire \(6!\) cancels here, leaving only \(9,8,7\). Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), expand only up to \(r!\) and cancel it.
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B. 25
परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होता है। अतः \(0!+4!=1+24=25\)। विकल्प 24 केवल \(4!\) का मान है; उसमें \(0!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को विशेष मान के रूप में हमेशा याद रखें। / By definition, \(0!=1\), and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(0!+4!=1+24=25\). Option 24 is only the value of \(4!\); it omits \(0!\). Exam tip: always remember the special value \(0!=1\).
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How can (10!) be written using (8!)?
B. \(10\times9\times8!\)
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times9\times8!\), क्योंकि \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) और \(8!=8\times7\times\cdots\times1\)। इसलिए सही विकल्प \(10\times9\times8!\) है। \(10\times8!\) में गुणनखंड \(9\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः घटते हुए संख्याओं से गुणा करके लिखें। / Using the factorial rule, \(10!=10\times9\times8!\), because \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) and \(8!=8\times7\times\cdots\times1\). Therefore, \(10\times9\times8!\) is correct. In \(10\times8!\), the factor \(9\) is missing. Exam tip: To express a larger factorial using a smaller one, multiply by the consecutive descending integers up to that smaller factorial.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\)?
B. \(n(n+1)\)
\((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\)। अतः \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\)। विकल्प D में \(n\) के स्थान पर \(n-1\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित के भिन्न में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\), \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Option D incorrectly uses \(n-1\) in place of \(n\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling.
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What is the value of \(2!\times5!\)?
C. 240
क्रमगुणित के अनुसार \(2!=2\times1=2\) तथा \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(2!\times5!=2\times120=240\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प A केवल \(5!\) का मान है; उसमें \(2!\) से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले प्रश्नों में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालकर फिर गुणा करें। / By factorial notation, \(2!=2\times1=2\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(2!\times5!=2\times120=240\), so option C is correct. Option A is only the value of \(5!\); it does not include multiplication by \(2!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the required operation.
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What is the value of \(\frac{6!}{4!}+0!\)?
C. 31
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\)। विकल्प 30 तब मिलता है जब \(0!\) को जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\). Option 30 results if \(0!\) is not added. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first to simplify quickly.
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What is the ratio of (4!) to (3!)?
A. \(4:1\)
\(4!=4\times3!\)। अतः \(4!:3!=4\times3!:3!=4:1\), इसलिए सही उत्तर \(4:1\) है। \(3:1\) तब मिलता यदि \(3!\) की तुलना \(2!\) से की जाती। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का उपयोग करके ऐसे अनुपात तुरंत सरल करें। / Since \(4!=4\times3!\), \(4!:3!=4\times3!:3!=4:1\). Hence, the correct ratio is \(4:1\). The ratio \(3:1\) would arise from comparing \(3!\) with \(2!\). Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify factorial ratios quickly.
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B. 114
क्रमगुणित के अनुसार, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) और \(3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(5!-3!=120-6=114\)। विकल्प 120 केवल \(5!\) का मान है; इसमें \(3!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Using factorials, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(5!-3!=120-6=114\). The value 120 is only \(5!\); it does not include subtracting \(3!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the indicated operation.
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What is the value of \(\frac{3!+0!}{1!}\)?
B. 7
\(3!=3\times2\times1=6\), \(0!=1\) और \(1!=1\)। अतः \(\frac{3!+0!}{1!}=\frac{6+1}{1}=7\)। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) हमेशा याद रखें। / \(3!=3\times2\times1=6\), \(0!=1\), and \(1!=1\). Therefore, \(\frac{3!+0!}{1!}=\frac{6+1}{1}=7\). Option 6 would result from incorrectly taking \(0!\) as 0. Exam tip: always remember that \(0!=1\) and \(1!=1\).
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B. \(4!\)
क्रमगुणित में \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\)। अतः \(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए सही विकल्प \(4!\) है। \(3!=6\) होता है, जबकि \(5!=120\) होता है; इसलिए ये 24 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(3!=6\), \(4!=24\) और \(5!=120\) जैसे छोटे क्रमगुणित मान याद रखें। / For factorials, \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\). Thus, \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so \(4!\) is correct. In comparison, \(3!=6\) and \(5!=120\), so neither equals 24. Exam tip: memorise common small factorial values such as \(3!=6\), \(4!=24\), and \(5!=120\).
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How can (9!) be written using (10!)?
B. \(\frac{10!}{10}\)
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times 9!\)। दोनों पक्षों को 10 से भाग देने पर \(9!=\frac{10!}{10}\) प्राप्त होता है। \(\frac{10!}{9}\) गलत है, क्योंकि 9! प्राप्त करने के लिए 10! को उसके अगले गुणक 10 से विभाजित करना होता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) संबंध का उपयोग करके क्रमगुणित वाले प्रश्न जल्दी हल करें। / Using the factorial relation, \(10!=10\times 9!\). Dividing both sides by 10 gives \(9!=\frac{10!}{10}\). \(\frac{10!}{9}\) is incorrect because to obtain 9! from 10!, we divide by the extra factor 10. Exam tip: Use \(n!=n\times (n-1)!\) to simplify factorial expressions quickly.
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What is the value of \(\frac{8!}{4!,4!}\)?
B. (70)
\(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\)। क्रमगुणित काटकर संख्या छोटी करें। / \(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\). Cancel factorials to make the numbers smaller.
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How many factors from (6) to (1) are present in (6!)?
B. 6
परिभाषा के अनुसार \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\)। इस गुणनफल में 6, 5, 4, 3, 2 और 1, अर्थात कुल 6 गुणक हैं। 5 केवल अंतिम गुणक 1 को छोड़ देने पर मिलता है। परीक्षा टिप: \(n!\) में 1 से \(n\) तक कुल \(n\) गुणक होते हैं। / By definition, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\). The product contains 6, 5, 4, 3, 2, and 1, so there are 6 factors in total. Choosing 5 would incorrectly omit the final factor, 1. Exam tip: \(n!\) contains \(n\) factors, from 1 to \(n\).
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What is the value of \(\frac{7!}{5!}+1!\)?
B. 43
\(7! = 7\times6\times5!\) होने से \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\) होता है। साथ ही, \(1!=1\), अतः \(42+1=43\)। विकल्प 42 में \(1!\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(7! = 7\times6\times5!\), \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\). Also, \(1!=1\), so \(42+1=43\). Option 42 results from missing the addition of \(1!\). Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial term and multiply the remaining factors.
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What is the value of \(3!\times4!-4!\)?
C. 120
यहाँ \(3!=6\) और \(4!=24\) है। अतः \(3!\times4!-4!=6\times24-24=144-24=120\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(144\) तब मिलता है जब अंतिम \(4!\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: गुणा और घटाव वाले व्यंजक में पहले फैक्टोरियल का मान निकालकर गुणा करें, फिर घटाव करें। / Here, \(3!=6\) and \(4!=24\). Therefore, \(3!\times4!-4!=6\times24-24=144-24=120\). Hence, option C is correct. \(144\) results if the final \(4!\) is not subtracted. Exam tip: In expressions involving multiplication and subtraction, evaluate factorials first, then multiply, and finally subtract.
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If (x=5!) and (y=4!), what is the value of (x-y)?
A. 96
यहाँ \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) और \(4!=4\times3\times2\times1=24\) हैं। अतः \(x-y=120-24=96\)। विकल्प 120 केवल \(5!\) का मान है; इसमें \(4!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले प्रश्न में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दी गई संक्रिया करें। / Here, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(x-y=120-24=96\). Option 120 is only the value of \(5!\); it does not subtract \(4!\). Exam tip: In factorial questions, evaluate each factorial first and then perform the required operation.
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What is the value of ((4-2)!)?
B. 2
पहले कोष्ठक हल करें: \(4-2=2\)। इसलिए दिया गया व्यंजक \(2!\) बनता है। \(2!=2\times1=2\), अतः सही उत्तर 2 है। \(4!=24\) होता है; 4 को सीधे फैक्टोरियल मानना गलत होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल से पहले कोष्ठक के भीतर की गणना पूरी करें। / Evaluate the bracket first: \(4-2=2\). Thus, the expression becomes \(2!\). Since \(2!=2\times1=2\), the correct answer is 2. Directly taking the factorial of 4 would give \(4!=24\), which is not the given expression. Exam tip: always simplify the expression inside brackets before evaluating a factorial.
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How can (5!) be written using (3!)?
A. \(5\times4\times3!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(5!=5\times4\times3\times2\times1\) और \(3!=3\times2\times1\) होता है। इसलिए \(5!=5\times4\times3!\)। विकल्प \(5\times3!\) में गुणनखंड \(4\) छूट जाता है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / By the definition of factorial, \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), while \(3!=3\times2\times1\). Hence, \(5!=5\times4\times3!\). In \(5\times3!\), the factor \(4\) is missing. In exams, expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
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What is the value of \(\frac{11!}{10!}\)?
B. 11
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\)। विकल्प 110, \(11\times10\) करने पर मिलता है, लेकिन यहाँ \(10!\) से पूरा भाग दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) सीधे लिख सकते हैं। / Since \(11!=11\times10!\), \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\). The value 110 would result from multiplying 11 by 10, but here the entire \(10!\) is cancelled. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) directly.
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What is the value of (6!+0!-1!)?
C. 720
यहाँ 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 है। साथ ही, 0! = 1 और 1! = 1 होते हैं। अतः 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, इसलिए विकल्प C सही है। 721 तब मिलता यदि 1! को घटाया न जाता। परीक्षा टिप: 0! का मान हमेशा 1 याद रखें। / Here, 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720. Also, 0! = 1 and 1! = 1. Therefore, 6!+0!-1! = 720+1-1 = 720, so option C is correct. The value would be 721 if 1! were not subtracted. Exam tip: always remember that 0! = 1.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}\)?
C. \(n+4\)
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\)। \(n+3\) निकट का पद है, लेकिन वह हर में मौजूद क्रमगुणित का अंतिम गुणनखंड है; कटने के बाद बचा अतिरिक्त गुणनखंड \(n+4\) होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) नियम तुरंत लागू करें। / Using factorial expansion, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\). Although \(n+3\) is a nearby term, it belongs to the factorial in the denominator and cancels out; the extra factor left is \(n+4\). Exam tip: apply \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) directly.
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What is the sum of \(4!\div2!\) and (3!)?
B. (18)
\(4!\div2!=12\) और (3!=6), इसलिए योग (18) है। भाग और क्रमगुणित दोनों को अलग-अलग सरल करें। / \(4!\div2!=12\) and (3!=6), so the sum is (18). Simplify the division and factorial separately.
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\(9\times8!\) is equal to which of the following?
C. \(9!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(9!=9\times8!\), इसलिए सही विकल्प \(9!\) है। \(10!\) के लिए \(10\times9!\) चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को तुरंत \(n\times(n-1)!\) के रूप में लिखकर ऐसे प्रश्न हल करें। / By the factorial identity, \(n!=n\times(n-1)!\). Hence, \(9!=9\times8!\), so \(9!\) is the correct option. \(10!\) would require \(10\times9!\), so it is not correct. Exam tip: Rewrite \(n!\) as \(n\times(n-1)!\) to solve such questions quickly.
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What is the value of \(\frac{5!}{2!,3!}\)?
C. 10
क्योंकि \(5!=120\), \(2!=2\) और \(3!=6\), इसलिए \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\)। अतः सही उत्तर 10 है। विकल्प 12 तब मिलता है जब हर के क्रमगुणितों का गुणन सही प्रकार से नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक छोटे क्रमगुणित का मान लिखकर फिर भाग करें। / Since \(5!=120\), \(2!=2\), and \(3!=6\), \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\). Therefore, the correct answer is 10. The value 12 may result from not multiplying the factorials in the denominator correctly. Exam tip: evaluate the smaller factorials first, then divide.
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C. 122
क्रमगुणित के अनुसार, \(2!=2\times1=2\) और \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। अतः \(2!+5!=2+120=122\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें \(2!\) को जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग-अलग निकालें, फिर दिए गए संक्रिया-चिह्न के अनुसार गणना करें। / By factorial notation, \(2!=2\times1=2\) and \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). Therefore, \(2!+5!=2+120=122\), so option C is correct. \(120\) is a close distractor because it results from forgetting to add \(2!\). Exam tip: evaluate each factorial separately before carrying out the indicated operation.
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How can (7!) be written using (5!)?
D. \(7\times6\times5!\)
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। चूँकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए \(7!=7\times6\times5!\)। विकल्प \(7\times5!\) में \(6\) का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखने के लिए बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By definition, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), we get \(7!=7\times6\times5!\). In \(7\times5!\), the factor \(6\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
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\(12\times11\times10!\) is equal to which of the following?
C. (12!)
\(12!=12\times11\times10!\), इसलिए दिया गया रूप (12!) है। क्रमगुणित विस्तार को छोटे क्रमगुणित तक पहचानें। / \(12!=12\times11\times10!\), so the given form is (12!). Recognize factorial expansion down to a smaller factorial.
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