Level 50 • 50/50 questions • 60 seconds per question.
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What is the boundary line of the inequality \(x+y\leq 6\)?
A. (x+y=6)
सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाइए। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. Exam tip: draw the line first.
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How should the boundary line be shown for \(x+2y\geq 10\)?
C. सतत रेखाsolid line
असमानता \(x+2y\geq 10\) में \(\geq\) का अर्थ है कि सीमा रेखा \(x+2y=10\) के बिंदु भी हल-क्षेत्र में शामिल हैं। इसलिए सीमा रेखा सतत रेखा से दिखाई जाती है। बिंदीदार रेखा केवल \(>\) या \(<\) वाली असमानताओं के लिए होती है, जहाँ सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: \(\leq\) और \(\geq\) के लिए हमेशा सतत रेखा बनाइए। / In \(x+2y\geq 10\), the symbol \(\geq\) means that the points on the boundary line \(x+2y=10\) are included in the solution set. Therefore, the boundary is drawn as a solid line. A dotted line is used only for \(>\) or \(<\), where the boundary is not included. Exam tip: Use a solid line for \(\leq\) and \(\geq\).
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A. जब असमानता में \(<\) या \(>\) हो
\(<\) या \(>\) में सीमा रेखा के बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते, इसलिए उसे बिंदीदार खींचते हैं। \(\leq\) और \(\geq\) में रेखा शामिल होती है, अतः ठोस रेखा बनती है। परीक्षा टिप: चिह्न में बराबरी हो तो रेखा ठोस रखें। / For \(<\) or \(>\), points on the boundary are excluded from the solution region, so the boundary is dotted. With \(\leq\) or \(\geq\), the line is included and must be solid. Exam tip: an equality bar means a solid boundary.
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For (x+y>3), what does the test point ( (0,0) ) indicate?
B. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन नहीं होगाThe side containing the origin is not shaded
परीक्षण बिंदु (0,0) रखने पर 0+0>3, अर्थात 0>3 मिलता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु जिस ओर है, वह असमानता का हल-क्षेत्र नहीं है; छायांकन दूसरी ओर किया जाएगा। क्योंकि असमानता में > है, सीमा रेखा x+y=3 को टूटी हुई रेखा से दर्शाते हैं और वह हल में शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी परीक्षण बिंदु के लिए असमानता सत्य हो तो उसकी ओर छायांकन करें, असत्य हो तो विपरीत ओर। / Substituting the test point (0,0) gives 0+0>3, i.e. 0>3, which is false. Hence, the side containing the origin is not the solution region; the opposite side must be shaded. Since the inequality is strict ( >), the boundary line x+y=3 is drawn dashed and is not included. Exam tip: shade the side containing a test point only when that point satisfies the inequality.
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What are the intercept points of the line (x+y=4)?
A. ( (4,0) ) और ( (0,4) )( (4,0) ) and ( (0,4) )
एक चर को (0) रखकर दूसरा अवरोध मिलता है। ग्राफ में दो सही बिंदु काफी होते हैं। / Put one variable as (0) to get the other intercept. Two correct points are enough for drawing the line.
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For \(y\leq 2x+1\), which side is shaded?
B. रेखा के नीचे या रेखा सहितbelow the line including the line
जब \(y\leq\) हो तो रेखा के नीचे वाला भाग लिया जाता है। बराबरी होने से रेखा भी शामिल रहती है। / When \(y\leq\), the region below the line is taken. Equality means the line is also included.
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Where is the shading for (y> -x+2)?
A. रेखा के ऊपरabove the line
असमानता \(y>-x+2\) में \(y\) का मान रेखा \(y=-x+2\) से अधिक होना चाहिए, इसलिए छायांकन रेखा के ऊपर होगा। ‘>’ एक कठोर असमानता है, अतः सीमा रेखा शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। नीचे का क्षेत्र \(y<-x+2\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को जाँचकर क्षेत्र की पुष्टि की जा सकती है। / In the inequality \(y>-x+2\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the line \(y=-x+2\), so the region above the line is shaded. Since ‘>’ is a strict inequality, the boundary line is not included and is usually drawn as a dashed line. The region below the line represents \(y<-x+2\). Exam tip: Test a point, such as \((0,0)\), to confirm the correct region.
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Which region is represented by \(x\geq 2\)?
B. रेखा \(x=2\) के दाएँ और रेखा सहितright of and including the line \(x=2\)
असमानता \(x\geq 2\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 2 या 2 से अधिक हो। सीमा रेखा \(x=2\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है और \(\geq\) होने के कारण यह रेखा भी हल क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए रेखा के दाएँ वाला क्षेत्र सही है। रेखा के बाएँ क्षेत्र में \(x<2\) होता है। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता में छायांकन बाएँ या दाएँ होता है, जबकि \(y\) वाली असमानता में ऊपर या नीचे होता है। / The inequality \(x\geq 2\) means that the \(x\)-coordinate of every point is 2 or greater than 2. The boundary \(x=2\) is a vertical line, and it is included because the sign is \(\geq\). Therefore, the region to the right of the line is correct. Points to the left have \(x<2\). Exam tip: inequalities involving \(x\) shade left or right, whereas inequalities involving \(y\) shade above or below.
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Which point lies on the boundary line of \(3x+2y\leq 12\)?
A. \((2,3)\)
असमानता की सीमा रेखा \(3x+2y=12\) होती है। बिंदु \((2,3)\) रखने पर \(3(2)+2(3)=6+6=12\) मिलता है, इसलिए यह सीमा रेखा पर स्थित है। \((3,2)\) के लिए मान \(13\) आता है, अतः वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: सीमा रेखा के बिंदु जाँचने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न से बदलें। / The boundary line of the inequality is \(3x+2y=12\). Substituting \((2,3)\) gives \(3(2)+2(3)=6+6=12\), so this point lies on the boundary line. For \((3,2)\), the value is \(13\), so it is not on the line. Exam tip: To test a boundary point, replace the inequality sign with an equality sign.
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What is obtained by substituting \((0,0)\) in \(x+3y\leq 9\)?
A. सत्यTrue
\((0,0)\) रखने पर बायाँ पक्ष \(0+3(0)=0\) मिलता है। अतः असमानता \(0\leq 9\) सत्य है। इसलिए ग्राफ में उस अर्धतल को छायांकित किया जाता है जिसमें मूल बिंदु स्थित है। विकल्प ‘असत्य’ गलत है, क्योंकि \(0\), \(9\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक असमानता में परीक्षण बिंदु रखने के बाद उसका मान सत्य हो तो उसी ओर का क्षेत्र चुनें। / Substituting \((0,0)\) gives the left-hand side as \(0+3(0)=0\). Thus, the inequality becomes \(0\leq 9\), which is true. Hence, the half-plane containing the origin is shaded in the graph. ‘False’ is incorrect because \(0\) is less than \(9\). Exam tip: After substituting a test point in a linear inequality, choose the side for which the inequality is true.
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What is the boundary line of \(2x-y\geq 4\)?
A. \(2x-y=4\)
असमानता की सीमा रेखा पाने के लिए असमानता के चिह्न \(\geq\) को बराबर के चिह्न \(=\) से बदलते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। \(2x-y>4\) एक असमानता है, रेखा का समीकरण नहीं। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा रेखा ठोस रेखा होती है। / To obtain the boundary line of an inequality, replace the inequality sign \(\geq\) with the equality sign \(=\). Hence, the boundary line is \(2x-y=4\). The expression \(2x-y>4\) is still an inequality, not an equation of a line. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is drawn as a solid line.
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If the graph has \(x+y\leq 7\), is the line \(x+y=7\) included in the solution?
A. हाँYes
चिन्ह \(\leq\) में बराबरी भी शामिल होती है। रेखा \(x+y=7\) पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(x+y\) का मान 7 होता है, इसलिए ये सभी बिंदु असमता \(x+y\leq 7\) को संतुष्ट करते हैं। अतः सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। केवल एक बिंदु या केवल मूल बिंदु शामिल होना गलत है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) हो तो सीमा रेखा हमेशा शामिल होती है। / The symbol \(\leq\) includes equality. At every point on the line \(x+y=7\), the value of \(x+y\) is 7, so all such points satisfy \(x+y\leq 7\). Therefore, the boundary line is included in the solution region and is drawn as a solid line. It is not limited to one point or to the origin. Exam tip: A boundary is included whenever the inequality has \(\leq\) or \(\geq\).
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If the inequality is (x-y<1), will the boundary line be included in the solution?
B. नहींNo
असमानता (x-y<1) एक कठोर असमानता है, इसलिए इसमें बराबरी का मामला शामिल नहीं होता। इसकी सीमा रेखा x-y=1 होगी, लेकिन इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए x-y=1 होता है, जो 1 से छोटा नहीं है। अतः सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होगी और ग्राफ में इसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी रेखा, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस रेखा बनती है। / The inequality (x-y<1) is strict, so equality is not included. Its boundary line is x-y=1; every point on this line gives x-y=1, which is not less than 1. Therefore, the boundary line is excluded from the solution and is usually drawn as a dashed line. Exam tip: use a dashed line for < or >, and a solid line for ≤ or ≥.
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What are the intercepts of (2x+3y=6)?
A. ( (3,0) ) और ( (0,2) )( (3,0) ) and ( (0,2) )
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। अवरोध ग्राफ खींचने में मदद करते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=2). Intercepts help in drawing the graph.
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Is the point \((5,0)\) in the solution region of \(4x+y\leq 16\)?
B. नहींNo
बिंदु \((5,0)\) रखने पर \(4x+y=4(5)+0=20\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(20>16\), इसलिए यह बिंदु \(4x+y\leq16\) असमानता को संतुष्ट नहीं करता और हल क्षेत्र में नहीं है। यह सीमा पर भी नहीं है, क्योंकि सीमा के लिए \(4x+y=16\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर तुलना करें। / Substituting \((5,0)\) gives \(4x+y=4(5)+0=20\). Since \(20>16\), the point does not satisfy \(4x+y\leq16\), so it is not in the solution region. It is not on the boundary either, because boundary points satisfy \(4x+y=16\). Exam tip: Test a point by substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality.
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What is the result for point ( (2,3) ) in \(x+2y\geq 8\)?
A. हल में हैin solution
(2+2(3)=8), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। \(\geq\) में सीमा रेखा भी आती है। / (2+2(3)=8), so the point is on the boundary line and included. The sign \(\geq\) includes the boundary line.
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Which side is shaded for \(y\geq x-1\)?
B. रेखा के ऊपर और रेखा सहितabove the line including the line
असमानता \(y\geq x-1\) में \(y\) का मान रेखा \(y=x-1\) पर या उससे अधिक होना चाहिए। इसलिए रेखा के ऊपर वाला अर्ध-तल छायांकित होता है। \(\geq\) में बराबरी शामिल है, अतः सीमा रेखा ठोस खींची जाती है। रेखा के नीचे का क्षेत्र \(y<x-1\) दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\geq\) या \(y>\) के लिए सामान्यतः रेखा के ऊपर का क्षेत्र चुनें। / In \(y\geq x-1\), the value of \(y\) must be equal to or greater than the value on the line \(y=x-1\). Hence, the half-plane above the line is shaded. Since \(\geq\) includes equality, the boundary line is drawn solid. The region below the line represents \(y<x-1\), so it is not correct. Exam tip: for \(y\geq\) or \(y>\), generally choose the region above the line.
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Where is the point \((1,3)\) for \(y\leq -2x+6\)?
A. हल क्षेत्र मेंin the solution region
बिंदु \((1,3)\) के लिए \(x=1\) और \(y=3\) रखने पर \(3\leq -2(1)+6\), अर्थात \(3\leq 4\) मिलता है, जो सत्य है। इसलिए बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। यह बिंदु सीमा रेखा पर नहीं है, क्योंकि \(3\neq 4\)। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर कथन सत्य या असत्य जाँचें। / For the point \((1,3)\), substitute \(x=1\) and \(y=3\): \(3\leq -2(1)+6\), i.e. \(3\leq 4\), which is true. Hence, the point lies in the solution region of the inequality. It is not on the boundary line because \(3\neq 4\). Exam tip: To test a point, substitute its \(x\)- and \(y\)-coordinates in the inequality and check whether the statement is true.
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What is the position of origin \((0,0)\) for \(x+y\geq 0\)?
B. सीमा रेखा पर और हल मेंon boundary and in solution
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। यह \(x+y=0\) सीमा रेखा पर स्थित है। क्योंकि असमानता में \(\geq\) है, समानता वाली सीमा रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर भी है और हल में भी शामिल है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Hence, it lies on the boundary line \(x+y=0\). Since the inequality uses \(\geq\), the boundary line where equality holds is included in the solution region. Therefore, the origin is on the boundary and is also part of the solution. Exam tip: For \(\geq\) or \(\leq\), the boundary line is included.
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Which two points are correct for drawing (x-2y=4)?
A. (4, 0) और (0, -2)(4, 0) and (0, -2)
समीकरण \(x-2y=4\) में \(y=0\) रखने पर \(x=4\), इसलिए बिंदु \((4,0)\) मिलता है। इसी प्रकार \(x=0\) रखने पर \(-2y=4\), अतः \(y=-2\) और बिंदु \((0,-2)\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों के बिंदु समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: रेखा बनाने के लिए समीकरण में क्रमशः \(x=0\) और \(y=0\) रखकर दोनों अक्ष-अवरोध ज्ञात करें। / For the equation \(x-2y=4\), putting \(y=0\) gives \(x=4\), so \((4,0)\) lies on the line. Putting \(x=0\) gives \(-2y=4\), hence \(y=-2\), so \((0,-2)\) also lies on it. Therefore, option A is correct. The points in the other options do not satisfy the equation. Exam tip: To obtain two convenient points for a line, set \(x=0\) and \(y=0\) successively to find the intercepts.
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Is \((0,5)\) a solution of \(2x+5y\leq 20\)?
B. नहींNo
बिंदु \((0,5)\) रखने पर \(2x+5y=2(0)+5(5)=25\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(25\leq20\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु असमानता का हल नहीं है। सीमा रेखा पर होने के लिए मान ठीक \(20\) होना चाहिए, जबकि यहाँ मान \(25\) है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे असमानता में रखिए। / Substituting \((0,5)\) gives \(2x+5y=2(0)+5(5)=25\). Since \(25\leq20\) is false, the point is not a solution of the inequality. A point lies on the boundary line only when the value is exactly \(20\), but here it is \(25\). Exam tip: test a point by directly substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality.
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If the solution region satisfies both \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\), where will it lie?
C. प्रथम चतुर्थांश और अक्षों सहितfirst quadrant including axes
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) दोनों प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। बराबरी से अक्ष भी शामिल होते हैं। / Both \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) represent the first quadrant. Equality includes the axes too.
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What is the boundary line of \(x\leq 5\)?
B. \(x=5\)
असमानता \(x\leq 5\) की सीमा रेखा पाने के लिए असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न से बदलते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(x=5\) है, जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। \(x\leq 5\) के सभी बिंदु इस रेखा पर या इसके बाईं ओर होते हैं। \(y=5\) क्षैतिज रेखा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सीमा रेखा ज्ञात करने के लिए \(\leq\) या \(\geq\) को \(=\) से बदलें। / To find the boundary line of \(x\leq 5\), replace the inequality sign with an equality sign. Hence, the boundary line is \(x=5\), which is a vertical line. All points satisfying \(x\leq 5\) lie on this line or to its left. \(y=5\) is a horizontal line, so it is not correct. Exam tip: Replace \(\leq\) or \(\geq\) with \(=\) to obtain the boundary line.
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What is the boundary line of \(y\geq -4\)?
B. (y=-4)
\(y\geq -4\) की सीमा क्षैतिज रेखा (y=-4) है। \(\geq\) होने से ऊपर का भाग लिया जाता है। / The boundary of \(y\geq -4\) is the horizontal line (y=-4). Since it is \(\geq\), the region above is taken.
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Which inequality is obtained by simplifying \(2x+2y\leq 10\)?
A. \(x+y\leq 5\)
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x+y\leq 5\) मिलता है। ग्राफ से पहले सरल रूप उपयोगी होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x+y\leq 5\). The simplified form is useful before graphing.
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What is the (y)-intercept of (3x+y=15)?
A. \(15\)
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। तब \(3(0)+y=15\), इसलिए \(y=15\) मिलता है। अतः रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,15)\) पर काटती है और \(y\)-अवरोध \(15\) है। \(5\), \(x\)-अवरोध है, क्योंकि \(y=0\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(3(0)+y=15\), so \(y=15\). Hence, the line meets the \(y\)-axis at \((0,15)\), and its \(y\)-intercept is \(15\). The value \(5\) is the \(x\)-intercept, obtained by putting \(y=0\). Exam tip: for a \(y\)-intercept, always set \(x=0\).
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What is the (x)-intercept of (5x+y=20)?
C. (4, 0)
x-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए y=0 होता है। इसलिए 5x+0=20, जिससे x=4 प्राप्त होता है और रेखा x-अक्ष को (4, 0) पर काटती है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। ध्यान रखें कि x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y का मान शून्य रखा जाता है; 5 केवल x का गुणांक है, अवरोध नहीं। / At every point on the x-axis, y=0. Substituting this in 5x+y=20 gives 5x=20, so x=4; hence the line intersects the x-axis at (4, 0). Therefore, option C is correct. Exam tip: to find the x-intercept, set y equal to zero; 5 is only the coefficient of x, not the intercept.
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For \(x+4y\geq 12\), after testing \((0,0)\), which side is shaded?
B. मूल बिंदु के विपरीत ओरopposite side of origin
बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0+4(0)\geq 12\), अर्थात \(0\geq 12\), प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाले अर्धतल का छायांकन नहीं होगा; उसके विपरीत ओर का अर्धतल छायांकित होगा। सीमा रेखा \(x+4y=12\) भी शामिल होगी, क्योंकि असमानता में \(\geq\) है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु से असमानता असत्य आए तो उस बिंदु के विपरीत ओर छायांकन करें। / Substituting \((0,0)\) gives \(0+4(0)\geq 12\), i.e. \(0\geq 12\), which is false. Hence, the half-plane containing the origin is not shaded; the half-plane opposite to the origin is shaded. The boundary line \(x+4y=12\) is included because the inequality has \(\geq\). Exam tip: if a test point makes the inequality false, shade the side opposite to that point.
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What happens to the side containing the origin in the graph of \(2x+3y\geq 6\)?
B. वह हल क्षेत्र नहीं हैIt is not the solution region
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(2(0)+3(0)\geq 6\), अर्थात \(0\geq 6\) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर के बिंदु इस असमानता को संतुष्ट नहीं करते और वह हल क्षेत्र नहीं है। इसके विपरीत, रेखा \(2x+3y=6\) के दूसरी ओर का क्षेत्र हल क्षेत्र होगा। परीक्षा टिप: छायांकन की दिशा तय करने के लिए मूल बिंदु को परीक्षण बिंदु के रूप में लें, यदि सीमा रेखा मूल बिंदु से न गुजरती हो। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(2(0)+3(0)\geq 6\), or \(0\geq 6\), which is false. Hence, points on the side containing the origin do not satisfy the inequality, so that side is not the solution region. The solution lies on the opposite side of the line \(2x+3y=6\). Exam tip: Use the origin as a test point to choose the shaded side when the boundary line does not pass through it.
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In graphical solution, how is the common solution of two inequalities obtained?
A. दोनों छायांकित क्षेत्रों के प्रतिच्छेद सेintersection of both shaded regions
दोनों असमानताओं को साथ में संतुष्ट करने वाला क्षेत्र प्रतिच्छेद होता है। परीक्षा में सामान्य छायांकित भाग पहचानें। / The region satisfying both inequalities is their intersection. In exams, identify the common shaded part.
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A. त्रिभुजtriangle
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=4) अक्षों के साथ त्रिभुज बनाती है। यह बहुत सामान्य परीक्षा पैटर्न है। / In the first quadrant, the line (x+y=4) forms a triangle with the axes. This is a very common exam pattern.
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What is correct about \((0,3)\) for \(x+2y\leq 6\)?
A. सीमा रेखा पर और हल मेंon boundary and in solution
बिंदु \((0,3)\) रखने पर बायाँ पक्ष \(0+2(3)=6\) प्राप्त होता है। यह असमानता के दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए बिंदु सीमा रेखा \(x+2y=6\) पर स्थित है। चूँकि असमानता में \(\leq\) है, सीमा रेखा के बिंदु भी हल में शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) में समानता वाले बिंदु शामिल होते हैं, जबकि \(<\) या \(>\) में नहीं। / Substituting \((0,3)\) gives \(0+2(3)=6\). This equals the right-hand side, so the point lies on the boundary line \(x+2y=6\). Since the inequality uses \(\leq\), points on the boundary are included in the solution set. Exam tip: Boundary points are included for \(\leq\) and \(\geq\), but not for \(<\) and \(>\).
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What is correct about ( (0,3) ) for (x+2y<6)?
B. यह सीमा रेखा पर है, लेकिन हल में शामिल नहीं हैIt lies on the boundary line but is not included in the solution
बिंदु (0,3) रखने पर x+2y=0+2(3)=6 प्राप्त होता है। अतः यह सीमा रेखा x+2y=6 पर स्थित है। दी गई असमानता में < है, इसलिए बराबरी वाला बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होता। विकल्प C गलत है क्योंकि उसके लिए मान 6 से छोटा होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर प्राप्त मान की तुलना करें। / Substituting (0,3) gives x+2y=0+2(3)=6. Hence, the point lies on the boundary line x+2y=6. Since the inequality uses <, a point giving equality is not included in the solution region. Option C is incorrect because it would require the value to be less than 6. Exam tip: Test a point by substituting its coordinates into the inequality and comparing the result.
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What type of slope does the boundary line of \(y\leq 5-x\) have?
B. ऋणात्मकnegative
सीमा रेखा (y=5-x) है, जिसका ढाल ऋणात्मक है। ग्राफ में रेखा दाईं ओर नीचे जाती है। / The boundary line is (y=5-x), whose slope is negative. On the graph, the line goes down to the right.
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What will the boundary line for \(y\geq 2x-3\) be like?
A. सतत रेखाsolid line
असमानता \(y\geq 2x-3\) में बराबर का चिह्न भी शामिल है। इसलिए सीमा रेखा \(y=2x-3\) के बिंदु हल क्षेत्र में सम्मिलित होते हैं और इसे सतत रेखा से दर्शाया जाता है। बिंदीदार रेखा केवल \(>\) या \(<\) जैसी कठोर असमानताओं के लिए बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(\leq\) और \(\geq\) के लिए सतत रेखा याद रखें। / In \(y\geq 2x-3\), the equality sign is included. Hence, the points on the boundary line \(y=2x-3\) are part of the solution region, so it is drawn as a solid line. A dotted line is used only for strict inequalities such as \(>\) or \(<\). Exam tip: use a solid line for \(\leq\) and \(\geq\).
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What is obtained by writing \(x-y\leq 2\) in terms of (y)?
A. \(y\geq x-2\)
\(x-y\leq 2\) से \(-y\leq 2-x\), इसलिए \(y\geq x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(x-y\leq 2\), \(-y\leq 2-x\), so \(y\geq x-2\). The sign changes when dividing by a negative number.
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What does testing \((1,2)\) in \(3x+y\leq 9\) show?
A. हल में हैit is in the solution set
बिंदु \((1,2)\) रखने पर \(3(1)+2=5\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(5\leq 9\) सत्य है, इसलिए \((1,2)\) असमानता के हल क्षेत्र में है। यह सीमा रेखा पर नहीं है, क्योंकि सीमा रेखा के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को हल क्षेत्र में जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर कथन की सत्यता जाँचें। / Substituting \((1,2)\) gives \(3(1)+2=5\). Since \(5\leq 9\) is true, \((1,2)\) belongs to the solution set of the inequality. It is not on the boundary line, because points on the boundary must satisfy \(3x+y=9\). Exam tip: To test a point, substitute its coordinates into the inequality and check whether the result is true.
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What does testing \((3,2)\) in \(3x+y\leq 9\) show?
B. हल में नहीं हैit is not in solution
बिंदु \((3,2)\) रखने पर \(3(3)+2=11\) मिलता है। क्योंकि \(11\leq 9\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु असमानता का हल नहीं है। यह सीमा पर भी नहीं है, क्योंकि सीमा के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखकर कथन सत्य या असत्य जाँचें। / Substituting \((3,2)\) gives \(3(3)+2=11\). Since \(11\leq 9\) is false, the point is not in the solution set of the inequality. It is not on the boundary either, because a boundary point must satisfy \(3x+y=9\). Exam tip: Test a point by substituting its \(x\)- and \(y\)-coordinates into the inequality and checking whether the statement is true.
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On a graph, what does \(x\leq 0\) represent?
B. बाएँ आधे समतल और ऊर्ध्वाधर अक्ष कोleft half-plane including vertical axis
\(x\leq 0\) में (x) शून्य या ऋणात्मक होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष सहित बायाँ भाग लिया जाता है। / In \(x\leq 0\), (x) is zero or negative. So the left part including the vertical axis is taken.
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On a graph, what does \(y\geq 0\) represent?
A. ऊपरी आधे समतल और क्षैतिज अक्ष कोupper half-plane including horizontal axis
\(y\geq 0\) में (y) शून्य या धनात्मक है। इसलिए क्षैतिज अक्ष सहित ऊपर का क्षेत्र मिलता है। / In \(y\geq 0\), (y) is zero or positive. So the region above including the horizontal axis is obtained.
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What are the intercepts of the boundary line of \(x+5y\leq 10\)?
A. \((10,0), (0,2)\)
दी गई असमानता की सीमा रेखा \(x+5y=10\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(x=10\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((10,0)\) है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(5y=10\), अर्थात \(y=2\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((0,2)\) है। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में गलत हैं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से एक चर को शून्य रखें। / The boundary line of the given inequality is \(x+5y=10\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\); this gives \(x=10\), so the point is \((10,0)\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\); then \(5y=10\), so \(y=2\) and the point is \((0,2)\). Option B incorrectly interchanges the intercept values. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
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Which inequality is obtained by simplifying \(6x+2y\geq 12\)?
A. \(3x+y\geq 6\)
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), अर्थात \(3x+y\geq 6\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न गलत दिशा में है। परीक्षा टिप: असमानता को सरल करते समय जाँचें कि जिस संख्या से गुणा या भाग किया जा रहा है, वह ऋणात्मक तो नहीं है; केवल ऋणात्मक संख्या के लिए चिह्न उलटता है। / Dividing both sides of the inequality by the positive number \(2\) gives \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), i.e., \(3x+y\geq 6\). The inequality sign does not change when dividing by a positive number. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: Check whether the number used for multiplication or division is negative; the inequality sign reverses only for a negative number.
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Where will the common solution region of \(2x+y\leq 4\), \(x\geq 0\), and \(y\geq 0\) lie?
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचेin first quadrant below the boundary line
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
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Which point is in the solution region of (x+2y>4)?
D. (1,3)
किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने के लिए उसके निर्देशांकों को असमानता x+2y>4 में रखने पर परिणाम 4 से बड़ा होना चाहिए। विकल्प D के लिए 1+2(3)=7, और 7>4 है, इसलिए (1,3) हल क्षेत्र में है। विकल्प B में 1+2(1)=3 आता है, जो 4 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: सख्त असमानता > में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / A point lies in the solution region if substituting its coordinates into x+2y>4 gives a value greater than 4. For option D, 1+2(3)=7, and 7>4, so (1,3) lies in the solution region. For option B, 1+2(1)=3, which is not greater than 4. Exam tip: For the strict inequality >, points on the boundary line are not included.
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What are the intercepts of the boundary line of \(4x+3y\leq 12\)?
A. \((3,0)\) और \((0,4)\)\((3,0)\) and \((0,4)\)
असमानता की सीमा रेखा \(4x+3y=12\) होगी। x-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(4x=12\), अतः \(x=3\) मिलता है, यानी बिंदु \((3,0)\)। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(3y=12\), अतः \(y=4\), यानी बिंदु \((0,4)\)। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा टिप: अक्षीय अवरोध निकालते समय दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(4x+3y=12\). For the x-intercept, put \(y=0\): \(4x=12\), so \(x=3\), giving \((3,0)\). For the y-intercept, put \(x=0\): \(3y=12\), so \(y=4\), giving \((0,4)\). In option B, the intercept values have been interchanged. Exam tip: to find an intercept on one axis, set the other variable equal to zero.
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What is obtained by writing \(x-3y\geq 6\) in terms of (y)?
B. \(y\leq \frac{x-6}{3}\)
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
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What does testing the origin \((0,0)\) in \(y\leq \frac{x}{2}+2\) show?
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगाshade the side containing the origin
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq \frac{0}{2}+2\), अर्थात \(0\leq 2\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु जिस ओर है, उसी ओर का अर्ध-तल हल क्षेत्र होगा। \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल रहती है; वह हटाई नहीं जाती। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को असमानता में रखने पर सत्य परिणाम मिले तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting the origin gives \(0\leq \frac{0}{2}+2\), i.e., \(0\leq 2\), which is true. Therefore, the half-plane on the side containing the origin is the solution region. Since the sign is \(\leq\), the boundary line is also included; it is not removed. Exam tip: if a test point makes an inequality true, shade the side containing that point.
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Which statement is correct about point ( (4,2) ) for (2x+y>10)?
C. यह सीमा रेखा पर है, लेकिन हल में शामिल नहीं हैIt lies on the boundary line but is not included in the solution
बिंदु (4,2) रखने पर \(2(4)+2=10\) मिलता है। अतः बिंदु सीमा रेखा \(2x+y=10\) पर स्थित है। दी गई असमानता में \(>\) है, जिसमें बराबरी शामिल नहीं होती; इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है। निकट विकल्प B गलत है क्योंकि वह बराबरी को शामिल मानता है। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \(>\) और \(<\) में सीमा रेखा बिंदुओं को हल में नहीं लेते हैं। / Substituting (4,2) gives \(2(4)+2=10\). Hence, the point lies on the boundary line \(2x+y=10\). Since the inequality uses \(>\), equality is not included, so this point is not part of the solution region. Option B is incorrect because it includes equality. Exam tip: For strict inequalities, \(>\) and \(<\), points on the boundary line are excluded.
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Which region is represented together by \(x\geq 1\) and \(y\geq 2\)?
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपरright of (x=1) and above (y=2)
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
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In \(2x-y\leq 0\), which side will testing point \((0,1)\) indicate for shading?
A. बिंदु \((0,1)\) वाली ओरthe side containing \((0,1)\)
बिंदु \((0,1)\) रखने पर \(2(0)-1=-1\) मिलता है और \(-1\leq 0\) सत्य है। इसलिए \((0,1)\) जिस अर्ध-तल में है, उसी ओर छायांकन होगा। सीमा रेखा \(2x-y=0\) भी शामिल होगी, क्योंकि असमानता में \(\leq\) है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने पर असमानता सत्य आए तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting \((0,1)\) gives \(2(0)-1=-1\), and \(-1\leq 0\) is true. Therefore, the half-plane containing \((0,1)\) is shaded. The boundary line \(2x-y=0\) is also included because the inequality contains \(\leq\). Exam tip: if a test point satisfies the inequality, shade the side containing that point.
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