Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अलग-अलग (9) वस्तुओं की व्यवस्था (9!) होती है। परीक्षा में सभी वस्तुएं अलग हों तो सीधे factorial लगाएं। / The arrangement of (9) distinct objects is (9!). In exams, use factorial directly when all objects are distinct.
अलग पदों में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_4=1680\)। परीक्षा में पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / Order matters for different posts, so \(^{8}P_4=1680\). In exams, do not use combination when posts are different.
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(6\cdot6\cdot5=180\)। परीक्षा में पहले अंक की शून्य-शर्त हमेशा जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(6\cdot6\cdot5=180\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
अंतिम अंक (5) निश्चित है और बाकी (4) स्थान \(^{6}P_4\) तरीकों से भरेंगे। इसलिए उत्तर (360) है। / The last digit is fixed as (5), and the remaining (4) places are filled in \(^{6}P_4\) ways. So the answer is (360).
एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए संख्या \(\frac{8!}{2!}=20160\) होगी। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग दें। / One letter is repeated (2) times, so the number is \(\frac{8!}{2!}=20160\). In exams, divide by factorials of repeated letters.
तीनों लड़कों को एक ब्लॉक मानें, तब कुल (8) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(8!\cdot3!=241920\) होगी। / Treat the three boys as one block, then there are (8) units. The arrangement is \(8!\cdot3!=241920\).
गोल मेज पर घुमाव समान माने जाते हैं, इसलिए संख्या ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में circular table में ((n-1)!) लगाएं। / Rotations are considered the same around a circular table, so the number is ((8-1)!=5040). In exams, use ((n-1)!) for circular table seating.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान हैं, इसलिए (\frac{(6-1)!}{2}=60)। परीक्षा में necklace को circular seating से अलग पहचानें। / In a necklace, both rotation and reflection are the same, so (\frac{(6-1)!}{2}=60). In exams, distinguish necklace from circular seating.
स्थान क्रमित हैं, इसलिए \(^{10}P_2=10\cdot9=90\)। परीक्षा में rank या position आने पर permutation लगाएं। / Positions are ordered, so \(^{10}P_2=10\cdot9=90\). In exams, rank or position indicates permutation.
इकाई स्थान पर (2,6,8) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं। कुल (180) है। / The units place has (3) choices from (2,6,8), and the rest have \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is (180).
इकाई स्थान पर (3) विषम विकल्प हैं, फिर हजार के स्थान पर (0) छोड़कर (4) विकल्प बचते हैं। कुल \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\) होता है। / There are (3) odd choices for the units place, then (4) valid choices for the thousands place after excluding (0). The total is \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\).
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए व्यवस्था \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\) है। परीक्षा में ब्लॉक और ब्लॉक के अंदर दोनों की व्यवस्था करें। / Treat the two subjects as two blocks, so the arrangement is \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\). In exams, arrange both the blocks and the items inside blocks.
गुप्त-कोड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_4=840\)। परीक्षा में code बनने पर permutation सोचें। / Order matters in a code, so \(^{7}P_4=840\). In exams, think of permutation when forming codes.
कुल अक्षर (7) हैं और एक अक्षर (2) बार समान है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letter को ध्यान से गिनें। / There are (7) letters and one letter is repeated (2) times, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, count repeated letters carefully.
कुर्सियां अलग हैं और (6) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में खाली स्थानों के बावजूद permutation लग सकता है। / The chairs are distinct and (6) students are seated, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, permutation may apply even when some places remain empty.
दो विशेष व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(8!\cdot2!=80640\)। परीक्षा में साथ की शर्त में block method लगाएं। / Treat the two particular people as one block, then \(8!\cdot2!=80640\). In exams, use the block method for together conditions.
कुल (9!) व्यवस्थाओं में से साथ बैठने वाली \(8!\cdot2!\) घटाएं। उत्तर (362880-80640=282240) है। / Subtract the together cases \(8!\cdot2!\) from total (9!). The answer is (362880-80640=282240).
दो pattern संभव हैं और हर pattern में \(4!\cdot4!\) व्यवस्थाएं हैं। कुल \(2\cdot4!\cdot4!=1152\) है। / There are two possible patterns and each has \(4!\cdot4!\) arrangements. The total is \(2\cdot4!\cdot4!=1152\).
पहले लाल गेंदें (5!) तरीकों से रखें, फिर (6) gaps में (4) नीली गेंदें \(^{6}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(5!\cdot^{6}P_4=86400\) है। / Arrange the red balls first in (5!) ways, then place (4) blue balls in (6) gaps in \(^{6}P_4\) ways. The total is \(5!\cdot^{6}P_4=86400\).
(8) अलग डिब्बों में से (6) क्रमित स्थान चुने जाते हैं, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में boxes अलग हों तो arrangement मानें। / We choose ordered positions for (6) letters among (8) distinct boxes, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, distinct boxes make it an arrangement.
सैकड़े के स्थान पर (4,5,6) हो सकते हैं और बाकी \(5\cdot4\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot5\cdot4=60\) है। / The hundreds place can be (4,5,6), and the remaining places have \(5\cdot4\) ways. The total is \(3\cdot5\cdot4=60\).
दो विशेष पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (5!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot5!=240\) है। / The two particular books can occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (5!) ways. The total is \(2!\cdot5!=240\).
विशेष व्यक्ति के लिए (6) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (7!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(6\cdot7!=30240\) है। / The particular person has (6) inner positions and the remaining people sit in (7!) ways. The total is \(6\cdot7!=30240\).
तीन पद अलग हैं, इसलिए \(^{11}P_3=990\)। परीक्षा में अलग-अलग जिम्मेदारियां हों तो क्रम महत्वपूर्ण है। / The three posts are different, so \(^{11}P_3=990\). In exams, different responsibilities make order important.
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं। इसलिए कुल (25) कोड बनेंगे। / There are (5) choices for the first place and (5) choices for the second. Hence (25) codes are formed.
दो समूह (2) बार समान हैं, इसलिए संख्या \(\frac{9!}{2!2!}=90720\) है। परीक्षा में हर repeated group का factorial हर में रखें। / Two groups are repeated (2) times each, so the number is \(\frac{9!}{2!2!}=90720\). In exams, put each repeated group factorial in the denominator.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में signal जैसे शब्द permutation का संकेत देते हैं। / Order matters in a signal, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, words like signal indicate permutation.
लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब गोल में (6) इकाइयां हैं। संख्या ((6-1)!\cdot4!=2880) है। / Treat the girls as one block, then there are (6) units in a circle. The number is ((6-1)!\cdot4!=2880).
कुल गोल व्यवस्थाएं (5!) हैं और साथ बैठने वाली व्यवस्थाएं \(4!\cdot2!\) हैं। इसलिए उत्तर (120-48=72) है। / Total circular arrangements are (5!), and together arrangements are \(4!\cdot2!\). So the answer is (120-48=72).
चित्र चुने भी जा रहे हैं और क्रम में लगाए भी जा रहे हैं, इसलिए \(^{10}P_3=720\)। परीक्षा में selected and ordered में \(nP_r\) लगाएं। / The pictures are selected and also ordered, so \(^{10}P_3=720\). In exams, use \(nP_r\) for selected and ordered cases.
हजार के स्थान पर (6,8,9) हो सकते हैं और बाकी \(5\cdot4\cdot3\) तरीके हैं। कुल \(3\cdot5\cdot4\cdot3=180\) है। / The thousands place can be (6,8,9), and the remaining places have \(5\cdot4\cdot3\) ways. The total is \(3\cdot5\cdot4\cdot3=180\).
(4) विद्यार्थियों को (6) पुरस्कारों में से क्रमित रूप से एक-एक मिलता है, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में recipients अलग हों तो order महत्वपूर्ण होता है। / The (4) students receive one prize each from (6) prizes in an ordered way, so \(^{6}P_4=360\). In exams, distinct recipients make order important.
चयन के साथ क्रम भी है, इसलिए \(^{8}P_5=6720\)। परीक्षा में shelf पर रखना arrangement बताता है। / Selection is followed by ordering, so \(^{8}P_5=6720\). In exams, placing on a shelf indicates arrangement.
भाषण का क्रम अलग परिणाम देता है, इसलिए \(^{7}P_3=210\)। परीक्षा में performance order को permutation मानें। / The speaking order gives different outcomes, so \(^{7}P_3=210\). In exams, treat performance order as permutation.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। अलग-अलग cases जोड़ने पर (60+48=108) संख्याएं मिलती हैं। / The last digit is (0) or (5). Adding the two cases gives (60+48=108) numbers.
बीच का स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (4) अंक (4!) तरीकों से व्यवस्थित होंगे। उत्तर (24) है। / The middle position is fixed, so the remaining (4) digits are arranged in (4!) ways. The answer is (24).
पहला स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (7) वस्तुएं (7!) तरीकों से रखें। उत्तर (5040) है। / The first position is fixed, so the remaining (7) objects are arranged in (7!) ways. The answer is (5040).
कुल (9!) में से दोनों विशेष वस्तुओं के सिरों पर आने वाली \(2!\cdot7!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (362880-10080=352800) है। / Subtract the cases where both particular objects occupy the two ends, which are \(2!\cdot7!\), from total (9!). The answer is (362880-10080=352800).
(6) विद्यार्थियों को (6) अलग स्थानों पर बैठाने की संख्या (6!=720) है। परीक्षा में स्थान अलग हों तो factorial लगाएं। / The number of seating (6) students in (6) distinct positions is (6!=720). In exams, use factorial when positions are distinct.
क्रमित चयन \(^{12}P_2=12\cdot11=132\) है। परीक्षा में in order शब्द permutation बताता है। / Ordered selection is \(^{12}P_2=12\cdot11=132\). In exams, the phrase in order indicates permutation.
(7) बच्चों में से (5) को अलग खिलौने मिलेंगे, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में receiver अलग हों तो order counted होता है। / (5) of (7) children receive distinct toys, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, distinct receivers make order count.
विशेष सिक्के के लिए (2) सिरों में से विकल्प हैं और बाकी (9!) तरीकों से रखे जाएंगे। कुल \(2\cdot9!=725760\) है। / The particular coin has (2) end choices and the remaining coins are arranged in (9!) ways. The total is \(2\cdot9!=725760\).
केवल घुमाव समान है, इसलिए circular arrangement ((7-1)!=720) है। परीक्षा में reflection समान है या नहीं, यह पढ़ें। / Only rotations are the same, so the circular arrangement is ((7-1)!=720). In exams, check whether reflection is also considered the same.
बाएं से दाएं क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{6}P_4=360\)। परीक्षा में standing order को permutation मानें। / The left-to-right order is important, so \(^{6}P_4=360\). In exams, standing order means permutation.
पहला अंक (3) निश्चित है और बाकी (3) स्थान \(5\cdot4\cdot3\) तरीकों से भरेंगे। उत्तर (60) है। / The first digit is fixed as (3), and the remaining (3) places are filled in \(5\cdot4\cdot3\) ways. The answer is (60).
पहला अध्याय निश्चित है, इसलिए बाकी (4) अध्याय (4!) क्रमों में आएंगे। उत्तर (24) है। / The first chapter is fixed, so the remaining (4) chapters can be ordered in (4!) ways. The answer is (24).
ऊपर से नीचे क्रम बदलने पर design बदलता है, इसलिए \(^{8}P_3=336\)। परीक्षा में ordered layers में permutation लगाएं। / Changing top-to-bottom order changes the design, so \(^{8}P_3=336\). In exams, use permutation for ordered layers.
(5) प्रश्न चुनकर क्रम में लिखने हैं, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में order of writing अलग हो तो permutation लें। / (5) questions are selected and written in order, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, if writing order differs, use permutation.
चार मोबाइल को एक ब्लॉक मानें, तब (4) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(4!\cdot4!=576\) होगी। / Treat the four mobiles as one block, then there are (4) units. The arrangement is \(4!\cdot4!=576\).
मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में क्रम बताया हो तो permutation लगाएं। / The calling order to the stage is important, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, use permutation when order is specified.
