Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(10) अलग वस्तुओं की पंक्ति व्यवस्था (10!) होती है। परीक्षा में सभी वस्तुएं अलग हों तो सीधे factorial लगाएं। / The row arrangement of (10) distinct objects is (10!). In exams, use factorial directly when all objects are distinct.
तीनों पद अलग हैं, इसलिए \(^{12}P_3=1320\)। परीक्षा में अलग पदों के लिए क्रम महत्वपूर्ण होता है। / The three posts are different, so \(^{12}P_3=1320\). In exams, order matters for different posts.
पहला अंक (0) नहीं हो सकता, इसलिए \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\)। परीक्षा में leading zero की शर्त पहले लगाएं। / The first digit cannot be (0), so \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\). In exams, apply the leading-zero condition first.
अंतिम स्थान पर (4) सम विकल्प हैं और बाकी (4) स्थान \(^{7}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(4\cdot840=3360\) है। / There are (4) even choices for the last place and the remaining (4) places are filled in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(4\cdot840=3360\).
(7) अक्षरों में (A) दो बार है, इसलिए \(\frac{7!}{2!}=2520\)। परीक्षा में repeated letters से भाग देना जरूरी है। / There are (7) letters with (A) repeated twice, so \(\frac{7!}{2!}=2520\). In exams, divide by repeated letters.
चार लड़कियों को एक ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां हैं। कुल व्यवस्था \(7!\cdot4!=120960\) है। / Treat the four girls as one block, then there are (7) units. The total arrangement is \(7!\cdot4!=120960\).
गोल मेज पर घुमाव समान माने जाते हैं, इसलिए संख्या ((9-1)!=40320) है। परीक्षा में circular seating में एक स्थान स्थिर मानें। / Rotations are considered the same around a circular table, so the number is ((9-1)!=40320). In exams, fix one position in circular seating.
माला में घुमाव और पलटना दोनों समान हैं, इसलिए (\frac{(8-1)!}{2}=2520)। परीक्षा में necklace में reflection भी घटाएं। / In a necklace, both rotation and reflection are the same, so (\frac{(8-1)!}{2}=2520). In exams, reduce reflections for necklaces.
तीन पदक अलग-अलग क्रमित स्थान हैं, इसलिए \(^{14}P_3=14\cdot13\cdot12=2184\)। परीक्षा में medals में क्रम जरूर गिनें। / The three medals are different ordered positions, so \(^{14}P_3=14\cdot13\cdot12=2184\). In exams, always count order for medals.
इकाई स्थान के लिए (2) विषम विकल्प हैं और हजार स्थान पर (0) नहीं आएगा। कुल \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\) है। / There are (2) odd choices for the unit place and the thousands place cannot be (0). The total is \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\).
दो विषयों को दो ब्लॉक मानें, इसलिए \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\)। परीक्षा में block method में अंदरूनी व्यवस्था भी गुणा करें। / Treat the two subjects as two blocks, so \(2!\cdot5!\cdot4!=5760\). In exams, also multiply internal arrangements in the block method.
पासवर्ड में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में password या code को permutation समझें। / Order matters in a password, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, treat passwords or codes as permutations.
(11) अक्षरों में (I) चार, (S) चार और (P) दो बार हैं। इसलिए संख्या \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\) है। / There are (11) letters with (I) four times, (S) four times and (P) twice. Hence the number is \(\frac{11!}{4!4!2!}=34650\).
कुर्सियां अलग हैं और (7) विद्यार्थी बैठेंगे, इसलिए \(^{10}P_7=604800\)। परीक्षा में खाली कुर्सियां होने पर भी क्रमित स्थान गिनें। / The chairs are distinct and (7) students are seated, so \(^{10}P_7=604800\). In exams, count ordered positions even when some chairs remain empty.
दो विशेष व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब \(9!\cdot2!=725760\)। परीक्षा में साथ रहने की शर्त में block के अंदर की व्यवस्था भी लें। / Treat the two particular people as one block, then \(9!\cdot2!=725760\). In exams, include the internal arrangement of the block.
कुल (10!) में से साथ बैठने वाली \(9!\cdot2!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (3628800-725760=2903040) है। / Subtract the together cases \(9!\cdot2!\) from total (10!). The answer is (3628800-725760=2903040).
पहले पुरुषों को (5!) तरीकों से बैठाएं, फिर (6) gaps में (4) महिलाएं \(^{6}P_4\) तरीकों से बैठेंगी। कुल (86400) है। / Arrange the men first in (5!) ways, then place (4) women in (6) gaps in \(^{6}P_4\) ways. The total is (86400).
(9) अलग स्थानों में (7) फाइलों की क्रमित व्यवस्था \(^{9}P_7=181440\) है। परीक्षा में shelves अलग हों तो assignment permutation होता है। / The ordered placement of (7) files in (9) distinct places is \(^{9}P_7=181440\). In exams, distinct shelves make assignment a permutation.
हजार स्थान पर (5,6,7,8) में से (4) विकल्प हैं और बाकी \(6\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (480) है। / The thousands place has (4) choices from (5,6,7,8), and the rest have \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (480).
दो विशेष पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (6!) तरीकों से रखी जाएंगी। कुल \(2!\cdot6!=1440\) है। / The two particular books occupy the ends in (2!) ways and the remaining books in (6!) ways. The total is \(2!\cdot6!=1440\).
विशेष व्यक्ति के लिए (7) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (8!) तरीकों से बैठेंगे। कुल \(7\cdot8!=282240\) है। / The particular person has (7) inner positions and the others sit in (8!) ways. The total is \(7\cdot8!=282240\).
दो पद अलग हैं, इसलिए \(^{13}P_2=13\cdot12=156\)। परीक्षा में अलग पदों में क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। / The two posts are different, so \(^{13}P_2=13\cdot12=156\). In exams, changing order changes the result for different posts.
अंतिम अंक (0,4,6,8) हो सकता है। cases जोड़ने पर \(20+3\cdot16=68\) संख्याएं बनती हैं। / The last digit can be (0,4,6,8). Adding the cases gives \(20+3\cdot16=68\) numbers.
(7) अक्षरों में (L) दो बार और (O) दो बार है। इसलिए \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (7) letters with (L) twice and (O) twice. Hence \(\frac{7!}{2!2!}=1260\) arrangements are possible.
संकेत में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में signal और code वाले प्रश्नों में permutation लगाएं। / Order matters in a signal, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation for signal and code questions.
पहले लड़कों को गोल में ((4-1)!) तरीकों से बैठाएं और फिर (4) gaps में लड़कियां (4!) तरीकों से बैठेंगी। कुल (144) है। / Arrange the boys around the circle in ((4-1)!) ways, then place the girls in (4) gaps in (4!) ways. The total is (144).
दो व्यक्तियों को एक ब्लॉक मानें, तब (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((6-1)!) है और अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (240) है। / Treat the two people as one block, then (6) units have ((6-1)!) circular arrangements and (2!) internal ways. The total is (240).
चयन के बाद क्रम में लगाना है, इसलिए \(^{11}P_4=7920\)। परीक्षा में selected and ordered पर \(nP_r\) लगाएं। / Selection is followed by ordering, so \(^{11}P_4=7920\). In exams, use \(nP_r\) for selected and ordered cases.
हजार स्थान पर (7,8,9) में से (3) विकल्प हैं और बाकी \(6\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (360) है। / The thousands place has (3) choices from (7,8,9), and the remaining places have \(6\cdot5\cdot4\) ways. The total is (360).
(5) विद्यार्थियों को (7) पुरस्कारों में से क्रमित रूप से एक-एक मिलेगा, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में recipients अलग हों तो permutation लें। / The (5) students receive one prize each from (7) prizes in an ordered way, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, distinct recipients imply permutation.
पुस्तकें चुनी भी जा रही हैं और क्रम में रखी भी जा रही हैं, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में shelf arrangement में क्रम गिनें। / The books are selected and arranged in order, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, count order in shelf arrangements.
भाषण का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{8}P_3=336\)। परीक्षा में order of performance को permutation मानें। / The speaking order is important, so \(^{8}P_3=336\). In exams, treat order of performance as permutation.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। cases जोड़ने पर (120+100=220) संख्याएं मिलती हैं। / The last digit is (0) or (5). Adding the cases gives (120+100=220) numbers.
तीसरा स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (5) अंक (5!) तरीकों से रखे जाएंगे। उत्तर (120) है। / The third position is fixed, so the remaining (5) digits are arranged in (5!) ways. The answer is (120).
अंतिम स्थान निश्चित है, इसलिए शेष (8) वस्तुएं (8!) तरीकों से रखें। उत्तर (40320) है। / The last position is fixed, so the remaining (8) objects are arranged in (8!) ways. The answer is (40320).
कुल (8!) में से दोनों विशेष सिक्कों के सिरों पर आने वाली \(2!\cdot6!\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (40320-1440=38880) है। / Subtract the cases where the two particular coins occupy the two ends, which are \(2!\cdot6!\), from total (8!). The answer is (40320-1440=38880).
(7) विद्यार्थियों को (7) अलग स्थानों पर बैठाने की संख्या (7!=5040) है। परीक्षा में positions अलग हों तो factorial लगाएं। / The number of seating (7) students in (7) distinct positions is (7!=5040). In exams, use factorial when positions are distinct.
क्रमित चयन \(^{15}P_2=15\cdot14=210\) है। परीक्षा में in order लिखा हो तो permutation लगाएं। / Ordered selection is \(^{15}P_2=15\cdot14=210\). In exams, use permutation when in order is given.
(8) बच्चों में से (6) को अलग खिलौने मिलेंगे, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में distinct toys और receivers से permutation बनता है। / (6) of (8) children receive distinct toys, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, distinct toys and receivers create a permutation.
विशेष सिक्के के लिए (2) सिरों के विकल्प हैं और शेष (10) सिक्के (10!) तरीकों से रखे जाएंगे। कुल \(2\cdot10!=7257600\) है। / The particular coin has (2) end choices and the remaining (10) coins are arranged in (10!) ways. The total is \(2\cdot10!=7257600\).
केवल घुमाव समान है, इसलिए circular arrangement ((8-1)!=5040) है। परीक्षा में reflection समान है या नहीं, इसे अलग से देखें। / Only rotations are the same, so the circular arrangement is ((8-1)!=5040). In exams, separately check whether reflection is also the same.
बाएं से दाएं क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{7}P_5=2520\)। परीक्षा में standing order को permutation मानें। / The left-to-right order is important, so \(^{7}P_5=2520\). In exams, standing order means permutation.
पहला अंक (6) निश्चित है और बाकी (3) स्थान \(6\cdot5\cdot4\) तरीकों से भरेंगे। उत्तर (120) है। / The first digit is fixed as (6), and the remaining (3) places are filled in \(6\cdot5\cdot4\) ways. The answer is (120).
पहला अध्याय निश्चित है, इसलिए शेष (5) अध्याय (5!) क्रमों में आ सकते हैं। उत्तर (120) है। / The first chapter is fixed, so the remaining (5) chapters can be ordered in (5!) ways. The answer is (120).
ऊपर से नीचे क्रम बदलने पर design बदलता है, इसलिए \(^{9}P_4=3024\)। परीक्षा में ordered layers में permutation लगाएं। / Changing the top-to-bottom order changes the design, so \(^{9}P_4=3024\). In exams, use permutation for ordered layers.
(6) प्रश्न चुनकर क्रम से हल करने हैं, इसलिए \(^{8}P_6=20160\)। परीक्षा में order of attempt अलग हो तो permutation लें। / (6) questions are selected and attempted in order, so \(^{8}P_6=20160\). In exams, use permutation if the order of attempt differs.
पांच मोबाइल को एक ब्लॉक मानें, तब (5) इकाइयां हैं। व्यवस्था \(5!\cdot5!=14400\) होगी। / Treat the five mobiles as one block, then there are (5) units. The arrangement is \(5!\cdot5!=14400\).
मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(^{10}P_4=5040\)। परीक्षा में क्रम बताया हो तो permutation लगाएं। / The calling order to the stage is important, so \(^{10}P_4=5040\). In exams, use permutation when order is specified.
पहले हिंदी पुस्तकें (6!) तरीकों से रखें, फिर (7) gaps में (5) अंग्रेजी पुस्तकें \(^{7}P_5\) तरीकों से रखें। कुल \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\) है। / Arrange Hindi books first in (6!) ways, then place (5) English books in (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. The total is \(6!\cdot^{7}P_5=1814400\).
(11) अक्षरों में (M,A,T) दो-दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\)। परीक्षा में सभी repeated letters के factorial से भाग दें। / There are (11) letters with (M,A,T) each repeated twice, so \(\frac{11!}{2!2!2!}=4989600\). In exams, divide by factorials of all repeated letters.
