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A. प्रतिवर्ती और संक्रामी लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
हर \(a\in A\) के लिए \(a\mid a\) और यदि \(a\mid b\), \(b\mid c\), तो \(a\mid c\)। पर \(2\mid4\) है लेकिन \(4\nmid2\), इसलिए सममित नहीं। / For every \(a\in A\), \(a\mid a\), and if \(a\mid b\), \(b\mid c\), then \(a\mid c\). But \(2\mid4\) while \(4\nmid2\), so it is not symmetric.
(a+b) सम तभी होता है जब (a) और (b) दोनों समान parity के हों। इसलिए equivalence classes विषम ({1,3}) और सम ({2,4}) हैं। / (a+b) is even exactly when (a) and (b) have the same parity. Hence the equivalence classes are the odd class ({1,3}) and the even class ({2,4}).
(a+a) सम है, (a+b) सम होने पर (b+a) सम है, और समान parity से संक्रामकता मिलती है। परीक्षा में इसे विषम और सम वर्गों से पहचानें। / (a+a) is even, (a+b) even implies (b+a) even, and same parity gives transitivity. In exams, identify the even and odd equivalence classes.
\(A\times A\) में \(n^2\) ordered pairs होते हैं और relation उसका कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। इसलिए कुल \(2^{n^2}\) संबंध बनते हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and a relation can be any subset of it. Hence the number of relations is \(2^{n^2}\).
\(A\times B\) में (mn) ordered pairs होते हैं। प्रत्येक pair relation में हो या न हो, इसलिए कुल \(2^{mn}\) विकल्प हैं। / \(A\times B\) has (mn) ordered pairs. Each pair may be included or excluded, so there are \(2^{mn}\) possible relations.
प्रतिवर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) अनिवार्य हैं। बाकी (9-3=6) pairs वैकल्पिक हैं, इसलिए उत्तर \(2^6\) है। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3)). The remaining (9-3=6) pairs are optional, so the answer is \(2^6\).
कुल ordered pairs \(4^2=16\) हैं और (4) diagonal pairs अनिवार्य हैं। अतः वैकल्पिक pairs (12) हैं, इसलिए \(2^{12}\)। / There are \(4^2=16\) ordered pairs, and (4) diagonal pairs are compulsory. Thus (12) pairs are optional, giving \(2^{12}\).
सममित संबंध में (3) diagonal pairs स्वतंत्र हैं और (3) unordered off-diagonal pair blocks स्वतंत्र हैं। कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं, इसलिए \(2^6\)। / For a symmetric relation, (3) diagonal pairs and (3) unordered off-diagonal pair blocks are independently chosen. Thus there are (6) choices, giving \(2^6\).
सममित संबंध में स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{4(4+1)}{2}=10) होती है। इसलिए कुल संबंध \(2^{10}\) हैं। / For a symmetric relation, the number of independent choices is (\frac{4(4+1)}{2}=10). Hence the number of relations is \(2^{10}\).
प्रतिवर्ती होने से (5) diagonal pairs fixed हैं। सममिति में केवल (\frac{5(5-1)}{2}=10) off-diagonal blocks स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^{10}\)। / Reflexivity fixes the (5) diagonal pairs. Symmetry leaves only (\frac{5(5-1)}{2}=10) off-diagonal blocks free, so the answer is \(2^{10}\).
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा ordered pair जोड़ना होगा?
सममित होने के लिए ((2,3)) के साथ ((3,2)) होना जरूरी है। बाकी आवश्यक उल्टे pairs पहले से मौजूद हैं। / For symmetry, ((3,2)) must accompany ((2,3)). The other required reverse pairs are already present.
A. (R) संक्रामी है पर प्रतिवर्ती नहीं/(R) is transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए जरूरी संक्रामक शर्त पूरी है। पर ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present, so the needed transitive condition holds. But ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent, so it is not reflexive.
A. सममित लेकिन संक्रामी नहीं/Symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
हर मौजूद pair का reverse मौजूद है, इसलिए सममित है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामी नहीं। / Every present pair has its reverse, so the relation is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is not, so it is not transitive.
\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), \(a-b\in\mathbb{Z}\) से \(b-a\in\mathbb{Z}\), और पूर्णांकों का योग पूर्णांक है। इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Since \(a-a=0\in\mathbb{Z}\), \(a-b\in\mathbb{Z}\) implies \(b-a\in\mathbb{Z}\), and the sum of integers is an integer. Hence it is an equivalence relation.
क्योंकि \(7\equiv 2 \pmod{5}\), इसलिए उसी शेषफल वाले सभी पूर्णांक class में होंगे। Equivalence class हमेशा relation की condition से बनाइए। / Because \(7\equiv 2 \pmod{5}\), all integers with the same remainder are in its class. Always form an equivalence class from the relation condition.
शेषफल (0,1,2,3) के अनुसार (4) अलग classes बनती हैं। Modulo relation में classes की संख्या modulus के बराबर होती है। / The remainders (0,1,2,3) form (4) different classes. For a modulo relation, the number of classes equals the modulus.
Same parity के अनुसार विषम ({1,3}) और सम ({2,4}) classes मिलती हैं। Partition हमेशा equivalence classes का समूह होता है। / By same parity, the odd class is ({1,3}) and the even class is ({2,4}). A partition is the collection of equivalence classes.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=a^2\), equality symmetric होती है, और \(a^2=b^2\), \(b^2=c^2\) से \(a^2=c^2\)। इसलिए (R) तुल्यता संबंध है। / Since \(a^2=a^2\), equality is symmetric, and \(a^2=b^2\), \(b^2=c^2\) imply \(a^2=c^2\). Hence (R) is an equivalence relation.
(|x|=|-3|=3) से (x=-3) या (x=3)। Absolute value relation में opposite signs एक ही class में आ सकते हैं। / From (|x|=|-3|=3), (x=-3) or (x=3). In an absolute value relation, opposite signs may lie in the same class.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए relation सममित है। पर (\gcd(2,2)=2\neq1), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / Since (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), the relation is symmetric. But (\gcd(2,2)=2\neq1), so it is not reflexive.
क्योंकि (a+b=b+a), pair उलटने पर भी योग वही रहता है। पर हर (a+a) prime नहीं होता, इसलिए reflexive निश्चित नहीं है। / Because (a+b=b+a), reversing the pair keeps the same sum. But not every (a+a) is prime, so reflexivity is not guaranteed.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए सममित है। पर ((1,1)) relation में नहीं क्योंकि \(1+1\neq5\)। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric. But ((1,1)) is not in the relation because \(1+1\neq5\).
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी लेकिन सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Explanation
Simple Explanation
हर \(a\leq a\) सत्य है और \(a\leq b\leq c\) से \(a\leq c\)। लेकिन \(2\leq3\) के बाद \(3\leq2\) सत्य नहीं। / Every \(a\leq a\) is true, and \(a\leq b\leq c\) implies \(a\leq c\). But \(2\leq3\) does not imply \(3\leq2\).
हर \(A\subseteq A\), और subset relation antisymmetric तथा transitive होता है। इसे equality जैसा नहीं मानें क्योंकि यह generally symmetric नहीं होता। / Every \(A\subseteq A\), and the subset relation is antisymmetric and transitive. Do not treat it like equality because it is generally not symmetric.
\((1,2)\in R\) है पर \((2,1)\notin R\), इसलिए सममित नहीं है। Diagonal pairs होने से reflexive है। / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\), so it is not symmetric. Since all diagonal pairs are present, it is reflexive.
यदि ((a,b)) और \(a\neq b\) हो, तो symmetry से ((b,a)) भी होगा, जो antisymmetry का विरोध करेगा। इसलिए केवल diagonal pairs संभव हैं। / If ((a,b)) with \(a\neq b\) occurs, symmetry forces ((b,a)), contradicting antisymmetry. Hence only diagonal pairs can occur.
Order \( \leq \) में greatest element वह है जिससे सभी elements छोटे या बराबर हों। यहाँ हर \(a\in A\) के लिए \(a\leq4\), इसलिए (4) greatest है। / In the order \( \leq \), the greatest element is one that every element is less than or equal to. Here \(a\leq4\) for every \(a\in A\), so (4) is greatest.
Least element को सभी elements को divide करना चाहिए। यहाँ न \(2\mid3\) और न \(3\mid2\), इसलिए कोई least element नहीं है। / A least element must divide every element. Here neither \(2\mid3\) nor \(3\mid2\), so no least element exists.
A. (1) least और (8) greatest है/(1) is least and (8) is greatest
Explanation
Simple Explanation
(1) सभी को divide करता है और सभी (8) को divide करते हैं। Divisibility order में least और greatest को direction से पहचानें। / (1) divides every element, and every element divides (8). In divisibility order, identify least and greatest by the direction of divisibility.
A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
Universal relation में हर possible ordered pair मौजूद होता है। इसलिए reflexive, symmetric और transitive तीनों properties स्वतः पूरी होती हैं। / In the universal relation, every possible ordered pair is present. Hence reflexive, symmetric, and transitive properties all hold automatically.
A. यह सममित और संक्रामी है पर प्रतिवर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
Empty relation में कोई counterexample नहीं, इसलिए symmetry और transitivity vacuously true हैं। पर \((1,1)\notin R\), इसलिए reflexive नहीं। / The empty relation has no counterexample, so symmetry and transitivity are vacuously true. But \((1,1)\notin R\), so it is not reflexive.
A. तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों/Both equivalence relation and partial order
Explanation
Simple Explanation
Identity relation reflexive, symmetric और transitive है, इसलिए equivalence relation है। यह reflexive, antisymmetric और transitive भी है, इसलिए partial order भी है। / The identity relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation. It is also reflexive, antisymmetric, and transitive, so it is a partial order.
A. \(R^{-1}\) भी reflexive है/\(R^{-1}\) is also reflexive
Explanation
Simple Explanation
Reflexive (R) में हर ((a,a)) होता है, और उसका inverse भी ((a,a)) ही है। इसलिए \(R^{-1}\) reflexive रहता है। / A reflexive (R) contains every ((a,a)), and the inverse of ((a,a)) is again ((a,a)). Therefore \(R^{-1}\) remains reflexive.
Symmetric relation में \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\), इसलिए inverse में वही pairs मिलते हैं। अतः \(R=R^{-1}\)। / In a symmetric relation, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\), so the inverse has the same pairs. Hence \(R=R^{-1}\).
Classes ({1,4},{2},{3}) हैं, इसलिए pairs की संख्या \(2^2+1^2+1^2=6\) है। Equivalence classes के sizes के squares जोड़ें। / The classes are ({1,4},{2},{3}), so the number of pairs is \(2^2+1^2+1^2=6\). Add the squares of the sizes of the equivalence classes.
A. प्रतिवर्ती और सममित लेकिन संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
\(|a-a|=0\leq1\) और (|a-b|=|b-a|), इसलिए reflexive और symmetric है। लेकिन (1R2) और (2R3) हैं पर (1R3) नहीं। / Since \(|a-a|=0\leq1\) and (|a-b|=|b-a|), it is reflexive and symmetric. But (1R2) and (2R3) hold while (1R3) does not.
A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी/Irreflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
(a-a=0) होने से (aRa) कभी सत्य नहीं, इसलिए irreflexive है। यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए transitive है। / Since (a-a=0), (aRa) is never true, so it is irreflexive. If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
Function \(x^3\) strictly increasing है, इसलिए \(a^3\leq b^3\) exactly \(a\leq b\) के बराबर है। Monotonicity से relation की property जल्दी पहचानें। / The function \(x^3\) is strictly increasing, so \(a^3\leq b^3\) is exactly equivalent to \(a\leq b\). Use monotonicity to identify relation properties quickly.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
योग commutative है, इसलिए relation symmetric है। पर (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए (aRa) कभी नहीं होता। / Addition is commutative, so the relation is symmetric. But (a+a=2a) is always even, so (aRa) never holds.
A. सममित लेकिन संक्रामी नहीं/Symmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए symmetric है। लेकिन (1R2) और (2R1) हैं, फिर भी (1R1) नहीं, इसलिए transitive नहीं। / If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric. But (1R2) and (2R1) hold while (1R1) does not, so it is not transitive.
दिए गए pairs वही हैं जिनमें पहला अवयव दूसरे से छोटा या बराबर है। इसलिए यह (A) पर usual order \(\leq\) है। / The given pairs are exactly those where the first element is less than or equal to the second. Thus it is the usual order \(\leq\) on (A).
Transitivity के अनुसार ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) होना जरूरी है। Closure में minimum necessary pairs जोड़े जाते हैं। / By transitivity, ((1,2)) and ((2,4)) force ((1,4)). A closure adds the minimum necessary pairs.
जोड़ने वाले pairs ((1,3),(2,4),(1,4)) हैं। ध्यान रखें कि newly added ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। / The pairs to add are ((1,3),(2,4),(1,4)). Note that newly added ((1,3)) with ((3,4)) also requires ((1,4)).
Reflexive closure में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होना जरूरी है। इसलिए तीनों diagonal pairs जोड़े जाएंगे। / In a reflexive closure, ((a,a)) must be present for every \(a\in A\). Therefore all three diagonal pairs are added.
Symmetric closure में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) जोड़ा जाता है। इसलिए ((1,2)) के लिए ((2,1)) और ((2,3)) के लिए ((3,2)) चाहिए। / In a symmetric closure, ((b,a)) is added for every ((a,b)). Thus ((2,1)) is needed for ((1,2)), and ((3,2)) for ((2,3)).
A. हाँ, क्योंकि कोई distinct reverse pair साथ में नहीं है/Yes, because no distinct reverse pair appears together
Explanation
Simple Explanation
Antisymmetry को diagonal pairs से समस्या नहीं होती। समस्या तभी होती है जब \(a\neq b\) पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। / Antisymmetry is not affected by diagonal pairs. It fails only when ((a,b)) and ((b,a)) both occur for \(a\neq b\).
एक ही greatest prime factor होना equality जैसी condition है, इसलिए reflexive, symmetric और transitive है। ऐसी same invariant वाली conditions अक्सर equivalence relation देती हैं। / Having the same greatest prime factor behaves like equality, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Such same invariant conditions often give equivalence relations.
(xRa) का अर्थ \(x-a\in\mathbb{Q}\), यानी (x=a+q) जहाँ \(q\in\mathbb{Q}\)। Class लिखते समय variable को relation condition से निकालें। / (xRa) means \(x-a\in\mathbb{Q}\), so (x=a+q) where \(q\in\mathbb{Q}\). When writing a class, solve the relation condition for the variable.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
(a+b=b+a), इसलिए relation symmetric है। पर \((4,4)\notin R\) क्योंकि \(4+4\leq6\) गलत है, इसलिए reflexive नहीं। / Since (a+b=b+a), the relation is symmetric. But \((4,4)\notin R\) because \(4+4\leq6\) is false, so it is not reflexive.
A. \(R\cap S\) भी equivalence relation है/\(R\cap S\) is also an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
Intersection में common diagonal pairs रहते हैं और symmetry तथा transitivity भी preserve होती हैं। इसलिए equivalence relations का intersection फिर equivalence relation होता है। / The intersection retains common diagonal pairs, and symmetry and transitivity are also preserved. Hence the intersection of equivalence relations is again an equivalence relation.
