दोनों पक्ष समान बनते हैं, इसलिए असमानता हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। पहचान जैसी स्थिति में सभी वास्तविक संख्याएँ उत्तर होती हैं। / Both sides become identical, so the inequality is true for every real (x). In an identity-type inequality, all real numbers are the solution.
हर हटाने पर \(4x-22\le 1\) मिलता है, इसलिए \(x\le \frac{23}{4}\)। भिन्नों वाली असमानता में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(4x-22\le 1\), so \(x\le \frac{23}{4}\). In fractional inequalities, multiply by the LCM first.
सरलीकरण पर (-6x>2) मिलता है, इसलिए \(x<-\frac{1}{3}\)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटता है। / Simplification gives (-6x>2), so \(x<-\frac{1}{3}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
दोनों भाग हल करने पर \(x\le 11\) और \(x>1\) मिलता है। इसलिए संयुक्त हल \(1<x\le 11\) है। / Solving both parts gives \(x\le 11\) and \(x>1\). Therefore the combined solution is \(1<x\le 11\).
हर हटाने पर \(7x-14\ge 12\), अतः \(x\ge \frac{26}{7}\)। भिन्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(7x-14\ge 12\), hence \(x\ge \frac{26}{7}\). For fractions, multiply by the LCM first.
हर हटाने पर (6x+21<6x+18), जो असत्य है। यदि चर हट जाए और कथन असत्य हो, तो हल रिक्त होता है। / After clearing denominators, (6x+21<6x+18), which is false. If the variable cancels and the statement is false, the solution is empty.
सरलीकरण से \(2x\ge 15\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न ध्यान से लगाएँ। / Simplification gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Apply the negative sign carefully while opening brackets.
बायाँ पक्ष (-5) बनता है, इसलिए \(-5\le x-8\) और \(x\ge 3\)। चर कटने पर बचे स्थिर पद को सही तरफ रखें। / The left side becomes (-5), so \(-5\le x-8\) and \(x\ge 3\). When variables cancel, place the remaining constant correctly.
सरलीकरण के बाद \(2\ge 4\) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर असमानता का हल रिक्त समुच्चय होता है। / After simplification, \(2\ge 4\), which is false. A false constant inequality has an empty solution set.
हर हटाने पर (12x+11>35), इसलिए (x>2)। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Clearing denominators gives (12x+11>35), so (x>2). Multiplying by a positive LCM does not change the sign.
हर हटाने और सरलीकरण पर \(38\le 7x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge \frac{38}{7}\) सही हल है। / After clearing denominators and simplifying, \(38\le 7x\). Therefore \(x\ge \frac{38}{7}\) is the correct solution.
बायाँ पक्ष \(-\frac{11}{5}\) बनता है और \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / The left side becomes \(-\frac{11}{5}\), and \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) is true. Therefore every real (x) is a solution.
युग्म असमानता के तीनों भागों से 6 घटाने पर \(-2\le 2x<8\) प्राप्त होता है। अब तीनों भागों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते और \(-1\le x<4\) मिलता है। इसलिए \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। विकल्प B में \(-1\) को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी युग्म असमानता में धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं। / Subtract 6 from all three parts of the compound inequality to get \(-2\le 2x<8\). Dividing every part by the positive number 2 does not reverse the inequality signs, giving \(-1\le x<4\). Thus, \(-1\) is included but \(4\) is excluded. Option B incorrectly excludes \(-1\). Exam tip: inequality signs remain unchanged when dividing by a positive number, but reverse when dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए युग्म असमानता के तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-21<x+2\le 3\)। अब तीनों भागों में से 2 घटाने पर \(-23<x\le 1\) मिलता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D में दोनों सिरों के खुले/बंद होने की स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Since 3 is positive, multiplying all three parts of the compound inequality by 3 does not reverse any inequality sign: \(-21<x+2\le 3\). Subtracting 2 throughout gives \(-23<x\le 1\). Hence, option C is correct. In option D, the open and closed endpoints have been reversed. Exam tip: An inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता को 2 से गुणा करने पर \(3x-1\ge 2x+8\), अतः \(x\ge 9\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(2x<12\), इसलिए \(x<6\) है। कोई भी संख्या एक साथ \(x\ge 9\) और \(x<6\) नहीं हो सकती, इसलिए संयुक्त हल \(\varnothing\) है। विकल्प \(x\ge 9\) केवल पहली असमानता का हल है, दोनों का नहीं। परीक्षा टिप: ‘और’ के लिए दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें। / Multiplying the first inequality by 2 gives \(3x-1\ge 2x+8\), so \(x\ge 9\). From the second inequality, \(2x<12\), hence \(x<6\). No number can satisfy both \(x\ge 9\) and \(x<6\), so the combined solution is \(\varnothing\). The option \(x\ge 9\) solves only the first inequality, not both. Exam tip: for “and”, take the intersection of the solution sets.
पहली असमानता से (x<13) और दूसरी से \(x\le -3\) मिलता है। दूसरी शर्त पहले हल में शामिल है, इसलिए उत्तर (x<13) है। / The first inequality gives (x<13), and the second gives \(x\le -3\). The second set is contained in the first, so the answer is (x<13).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर बायाँ पक्ष \(5-10x\) और दायाँ पक्ष \(3-8x-4=-1-8x\) मिलता है। अतः \(5-10x\le -1-8x\), यानी \(6\le 2x\)। 2 से भाग देने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। \(x>3\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Expanding gives \(5-10x\) on the left and \(3-8x-4=-1-8x\) on the right. Thus, \(5-10x\le -1-8x\), so \(6\le 2x\). Dividing by 2 does not reverse the inequality, giving \(x\ge 3\). The closest distractor is \(x>3\), but \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को 2 से गुणा करने पर \(4x+12-(3x-1)>14\) मिलता है। सरल करने पर \(x+13>14\), अतः \(x>1\)। \(x\geq1\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=1\) इसे संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying the inequality by 2 gives \(4x+12-(3x-1)>14\). On simplifying, \(x+13>14\), so \(x>1\). The option \(x\geq1\) is not correct because the original inequality is strict, and \(x=1\) does not satisfy it. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\)। अतः \(8x+18\le 5x-30\), जिससे \(3x\le -48\) और इसलिए \(x\le -16\) प्राप्त होता है। \(x<-16\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=-16\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए उसे शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(2(4x+9)\le 5(x-6)\). Thus, \(8x+18\le 5x-30\), so \(3x\le -48\), giving \(x\le -16\). The close distractor \(x<-16\) is incorrect because at \(x=-16\), both sides are equal, so the endpoint must be included. Exam tip: an inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(9-3(x-4)=21-3x\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(7-x)+x=14-x\) मिलता है। अतः \(21-3x\ge14-x\), यानी \(7\ge2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le\frac{7}{2}\) मिलता है। \(x<\frac{7}{2}\) गलत है क्योंकि \(x=\frac{7}{2}\) पर भी दोनों पक्ष बराबर हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Simplifying the left-hand side gives \(9-3(x-4)=21-3x\), while the right-hand side gives \(2(7-x)+x=14-x\). Thus, \(21-3x\ge14-x\), or \(7\ge2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, giving \(x\le\frac{7}{2}\). The option \(x<\frac{7}{2}\) is incorrect because \(x=\frac{7}{2}\) also satisfies the equality case. Exam tip: An inequality sign remains unchanged when dividing by a positive number.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\) मिलता है। अतः \(5x-9\le 3x\), इसलिए \(2x\le 9\) और \(x\le \frac{9}{2}\)। विकल्प B में \(\frac{9}{2}\) शामिल नहीं है, जबकि असमानता में \(\le\) होने के कारण यह मान भी हल है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पहले धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करके हर हटाएँ। / Multiplying both sides by 6 gives \(2(2x-5)+(x+1)\le 3x\). Hence, \(5x-9\le 3x\), so \(2x\le 9\) and \(x\le \frac{9}{2}\). Option B excludes \(\frac{9}{2}\), but this endpoint must be included because the inequality has \(\le\). Exam tip: For inequalities involving fractions, first multiply by a positive LCM to remove denominators.
पहले भाग से (x<9) और दूसरे भाग से \(x\ge 4\) मिलता है। दोनों को मिलाकर \(4\le x<9\) मिलता है। / The first part gives (x<9), and the second gives \(x\ge 4\). Combining both gives \(4\le x<9\).
दोनों तरफ अलग-अलग हल करने पर \(x\le 3\) और (x>-2) मिलता है। इसलिए \(-2<x\le 3\) सही अंतराल है। / Solving both sides separately gives \(x\le 3\) and (x>-2). Therefore \(-2<x\le 3\) is the correct interval.
पहली असमानता में \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\) है। अतः \(x-10\ge4\), इसलिए \(x\ge14\)। दूसरी असमानता से \(x-1>6\), अर्थात \(x>7\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने के लिए उनका प्रतिच्छेद लेना होता है, जो \(x\ge14\) है। \(x>7\) केवल दूसरी असमानता का हल है। परीक्षा टिप: ‘और’ (and) के लिए हमेशा दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद लें। / In the first inequality, \(7x-2(3x+5)=7x-6x-10=x-10\). Thus, \(x-10\ge4\), so \(x\ge14\). From the second inequality, \(x-1>6\), giving \(x>7\). Since both conditions must hold, take the intersection of the two solution sets: \(x\ge14\). The option \(x>7\) satisfies only the second inequality. Exam tip: for “and,” always take the intersection of the solution sets.
पहली शर्त \(x\le 5\) देती है और दूसरी (x>3) देती है। दोनों का संघ सभी वास्तविक संख्याएँ है। / The first condition gives \(x\le 5\), and the second gives (x>3). Their union is all real numbers.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) और \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\) मिलता है। अतः बायाँ पक्ष \((2x-3)-(2x+1)=-4\) है। असमानता \(-4\geq -5\) सदैव सत्य है, इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए यह सत्य होगी। विकल्प \(x\geq -5\) केवल कुछ मानों को लेता है, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर वाले पद कट जाएँ, तो प्राप्त स्थिर असमानता की सत्यता जाँचें। / Simplifying the left-hand side gives \(\frac{1}{3}(6x-9)=2x-3\) and \(\frac{1}{2}(4x+2)=2x+1\). Hence, the left-hand side is \((2x-3)-(2x+1)=-4\). Since \(-4\geq -5\) is always true, the inequality holds for every real value of \(x\). The option \(x\geq -5\) restricts \(x\), but this inequality imposes no restriction. Exam tip: When variable terms cancel, check whether the resulting constant statement is true or false.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(\frac{3x}{4}-6\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(\frac{x}{2}-4\) मिलता है। अतः \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), जिससे \(\frac{x}{4}<2\) और इसलिए \(x<8\) प्राप्त होता है। \(x\leq 8\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है; \(x=8\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नों वाली असमानता में पदों को स्थानांतरित करने के बाद गुणांक और असमानता-चिह्न को अवश्य जाँचें। / Expanding the left side gives \(\frac{3x}{4}-6\), while simplifying the right side gives \(\frac{x}{2}-4\). Thus, \(\frac{3x}{4}-6<\frac{x}{2}-4\), which gives \(\frac{x}{4}<2\), and hence \(x<8\). The option \(x\leq 8\) is not correct because the original inequality is strict; \(x=8\) is not a solution. Exam tip: After moving terms in a fractional inequality, carefully check the coefficient and the inequality sign.
असमानता को सरल करने पर \(11-10+2x>3x+4\), अर्थात \(1+2x>3x+4\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(1>x+4\) और फिर 4 घटाने पर \(-3>x\) मिलता है। इसलिए \(x<-3\) सही हल है। \(x\leq -3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन दी गई असमानता कठोर है; \(x=-3\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, इसलिए वह शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Simplifying the inequality gives \(11-10+2x>3x+4\), or \(1+2x>3x+4\). Subtracting \(2x\) gives \(1>x+4\), and subtracting 4 gives \(-3>x\). Hence, \(x<-3\) is the correct solution. The close distractor \(x\leq -3\) is incorrect because the inequality is strict: at \(x=-3\), both sides are equal, so this value is not included. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
12 से गुणा करने पर, क्योंकि 12 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(4(x+7)-3(2x-1)\ge 0\)। इससे \(4x+28-6x+3\ge 0\), अर्थात \(31-2x\ge 0\) मिलता है। \(2x\le 31\) से \(x\le \frac{31}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\ge \frac{31}{2}\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर ऋणात्मक पद \(-2x\) को दूसरी ओर ले जाते समय चिह्न पर ध्यान देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiplying by 12 does not reverse the inequality because 12 is positive: \(4(x+7)-3(2x-1)\ge 0\). This gives \(4x+28-6x+3\ge 0\), or \(31-2x\ge 0\). Hence \(2x\le 31\), so \(x\le \frac{31}{2}\). The closest distractor is \(x\ge \frac{31}{2}\), but the negative coefficient of \(x\) must be handled carefully while rearranging. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(3x-4)=6x-8\) मिलता है। अतः असमानता \(6x-5<6x-8\) होगी। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(-5<-8\) मिलता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक \(x\) इस असमानता को संतुष्ट नहीं करता और हल समुच्चय \(\varnothing\) है। \(x<3\) या \(x>3\) जैसे विकल्प तब मिलते हैं जब \(x\) वाले पद पूरी तरह कटने के बाद बची स्थिर असमानता को सही तरह न जाँचा जाए। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पद कट जाएँ तो बची हुई संख्यात्मक असमानता का सत्य या असत्य होना अवश्य जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(2(3x-4)=6x-8\). Thus, the inequality becomes \(6x-5<6x-8\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(-5<-8\), which is false. Hence, no real value of \(x\) satisfies the inequality, so the solution set is \(\varnothing\). Options such as \(x<3\) or \(x>3\) may result from not checking the remaining numerical inequality after the \(x\)-terms cancel. Exam tip: when identical variable terms cancel, always test whether the resulting numerical statement is true or false.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(24-6x\le x+9\) मिलता है। अतः \(15\le 7x\), इसलिए \(x\ge \frac{15}{7}\)। विकल्प C में सीमा-बिंदु \(\frac{15}{7}\) छूट जाता है, जबकि मूल असमानता में बराबरी संभव है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 3 gives \(24-6x\le x+9\). Thus, \(15\le 7x\), so \(x\ge \frac{15}{7}\). Option C excludes the boundary value \(\frac{15}{7}\), but equality is allowed in the given inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के तीनों भागों को 2 से गुणा करने पर \(-12\le 4-x<6\) मिलता है। बाएँ भाग से \(-12\le 4-x\), अर्थात \(x\le16\), और दाएँ भाग से \(4-x<6\), अर्थात \(x>-2\), प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(-2<x\le16\) है। विकल्प C में \(-2\) शामिल है, लेकिन मूल असमानता में \(x=-2\) रखने पर दायाँ भाग \(3<3\) बनता है, जो असत्य है। परीक्षा टिप: युग्म असमानता को दो अलग असमानताओं में बाँटकर उनके सामान्य हल को लिखें। / Multiplying all three parts by 2 gives \(-12\le 4-x<6\). From the left part, \(-12\le4-x\), we get \(x\le16\); from the right part, \(4-x<6\), we get \(x>-2\). Their common solution is \(-2<x\le16\). Option C incorrectly includes \(-2\): substituting \(x=-2\) makes the right-hand condition \(3<3\), which is false. Exam tip: split a compound inequality into two inequalities and take their intersection.
पहली असमानता से \(x\le -13\) और दूसरी से \(x\le 6\) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद \(x\le -13\) है। / The first inequality gives \(x\le -13\), and the second gives \(x\le 6\). Their intersection is \(x\le -13\).
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(5x+2<3(x-3)+24=3x+15\)। अतः \(2x<13\), इसलिए \(x<\frac{13}{2}\)। विकल्प B में बराबरी शामिल है, लेकिन मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=\frac{13}{2}\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+2<3(x-3)+24=3x+15\). Hence \(2x<13\), so \(x<\frac{13}{2}\). Option B incorrectly includes equality; since the original inequality is strict, \(x=\frac{13}{2}\) is not a solution. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\) मिलता है। अतः \(2+3x\le 5x-10\), यानी \(12\le 2x\)। 2 से भाग देने पर \(x\ge 6\) प्राप्त होता है। \(x>6\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(x=6\) को छोड़ देता है, जबकि असमानता में \(\le\) होने से \(x=6\) शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Simplify the left-hand side: \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\). Thus, \(2+3x\le 5x-10\), which gives \(12\le 2x\). Dividing by 2 gives \(x\ge 6\). The close distractor \(x>6\) wrongly excludes \(x=6\), which must be included because the inequality contains \(\le\). Exam tip: An inequality sign does not reverse when dividing by a positive number.
पहली असमानता (x>4) देती है और दूसरी (x<-7) देती है। या वाली स्थिति में दोनों हलों का संघ लिया जाता है। / The first inequality gives (x>4), and the second gives (x<-7). For an OR condition, take the union of both solution sets.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(7-2x)\le x+5\)। अतः \(14-4x\le x+5\), जिससे \(9\le 5x\) और इसलिए \(x\ge \frac{9}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x>\frac{9}{5}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{9}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं और \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(2(7-2x)\le x+5\). Thus, \(14-4x\le x+5\), so \(9\le 5x\), giving \(x\ge \frac{9}{5}\). The option \(x>\frac{9}{5}\) is incorrect because at \(x=\frac{9}{5}\), both sides are equal, and \(\le\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
युग्म असमानता के दोनों भागों को अलग-अलग हल करें। \(5\le 3x-1\) से \(6\le 3x\), अतः \(x\ge 2\) मिलता है। तथा \(3x-1<2x+11\) से \(x<12\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ लागू होने पर \(2\le x<12\) प्राप्त होता है। विकल्प D में 2 को गलती से शामिल नहीं किया गया है और 12 को शामिल कर दिया गया है। परीक्षा टिप: युग्म असमानता में प्रत्येक भाग हल करने के बाद उनके साझा मानों का अंतराल लिखें। / Solve both parts of the compound inequality separately. From \(5\le 3x-1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). From \(3x-1<2x+11\), we get \(x<12\). Applying both conditions together gives \(2\le x<12\). Option D incorrectly excludes 2 and includes 12. Exam tip: For a compound inequality, solve each condition and then write their common interval.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(-6x+8+7\ge x-6\), अर्थात \(-6x+15\ge x-6\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(6x\) और \(6\) जोड़ने पर \(21\ge 7x\) प्राप्त होता है। 7 से भाग देने पर \(x\le 3\) मिलता है। \(x<3\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है, इसलिए बराबरी का चिह्न आवश्यक है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(-6x+8+7\ge x-6\), or \(-6x+15\ge x-6\). Adding \(6x\) and \(6\) to both sides gives \(21\ge 7x\). Dividing by 7, we get \(x\le 3\). Although \(x<3\) is a close distractor, \(x=3\) also satisfies the inequality, so equality must be included. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(3x+8-2(x-6)>20\) मिलता है। अर्थात \(3x+8-2x+12>20\), इसलिए \(x+20>20\) और \(x>0\)। \(x\geq 0\) गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर बायाँ पक्ष 5 होता है, जो 5 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 4 gives \(3x+8-2(x-6)>20\). Thus, \(3x+8-2x+12>20\), so \(x+20>20\) and hence \(x>0\). \(x\geq 0\) is incorrect because at \(x=0\), the left-hand side equals 5, which is not greater than 5. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(3x-1)-2=9x-5\) मिलता है। अतः असमानता \(9x-4\le 9x-5\) होगी। दोनों पक्षों से \(9x\) घटाने पर \(-4\le -5\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और हल समुच्चय \(\varnothing\) है। \(x\le1\) या \(x\ge1\) जैसे विकल्प तब आते हैं जब \(x\) वाले पद पूरी तरह निरस्त नहीं होते। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पदों को हटाने के बाद प्राप्त स्थिर कथन की सत्यता अवश्य जाँचें। / Simplify the right-hand side: \(3(3x-1)-2=9x-5\). The inequality becomes \(9x-4\le 9x-5\). Subtracting \(9x\) from both sides gives \(-4\le-5\), which is false. Hence, the inequality is not true for any real value of \(x\), so the solution set is \(\varnothing\). Options such as \(x\le1\) or \(x\ge1\) would arise only if an \(x\)-term remained after simplification. Exam tip: when variable terms cancel, check whether the remaining numerical statement is true or false.
6 से गुणा करने पर \(3x-(x-3)\le 24\) मिलता है। अतः \(2x+3\le 24\), इसलिए \(2x\le 21\) और \(x\le \frac{21}{2}\)। विकल्प B में \(\frac{21}{2}\) स्वयं शामिल नहीं है, जबकि असमानता में \(\le\) होने के कारण यह मान शामिल होगा। परीक्षा टिप: हरों को हटाने के लिए धनात्मक LCM से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by 6 gives \(3x-(x-3)\le 24\). Thus, \(2x+3\le 24\), so \(2x\le 21\) and \(x\le \frac{21}{2}\). Option B excludes \(\frac{21}{2}\), but this boundary value must be included because the inequality uses \(\le\). Exam tip: multiplying an inequality by a positive LCM clears denominators without reversing the inequality sign.
पहली असमानता से \(x\ge 4\) और दूसरी से (x<3) मिलता है। दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं हो सकतीं। / The first inequality gives \(x\ge 4\), and the second gives (x<3). Both conditions cannot hold together.
पहले, \(7-4x<3(2-x)\) से \(7-4x<6-3x\), अतः \(x>1\) प्राप्त होता है। दूसरे भाग, \(3(2-x)\le12\), से \(6-3x\le12\), इसलिए \(x\ge-2\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x>1\) है, इसलिए विकल्प D सही है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से भाग देने या गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / From the first part, \(7-4x<3(2-x)\) becomes \(7-4x<6-3x\), which gives \(x>1\). The second part, \(3(2-x)\le12\), becomes \(6-3x\le12\), giving \(x\ge-2\). The intersection of these two conditions is \(x>1\), so option D is correct. Remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
7 और 3 दोनों धनात्मक हैं, इसलिए असमानता का चिह्न बदले बिना दोनों पक्षों को 21 से गुणा किया जा सकता है: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\)। अतः \(6x+3\ge 7x-35\), जिससे \(38\ge x\), अर्थात \(x\le 38\) मिलता है। \(x<38\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=38\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 38 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Since 7 and 3 are positive, multiply both sides by 21 without reversing the inequality sign: \(3(2x+1)\ge 7(x-5)\). Thus, \(6x+3\ge 7x-35\), which gives \(38\ge x\), or \(x\le 38\). The close distractor \(x<38\) is incorrect because at \(x=38\), both sides are equal, so 38 is included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\) मिलता है। अतः \(3x-5>5x-10\), यानी \(5>2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\le \frac{5}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-2\) को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(1-x)-2(4-3x)=3-3x-8+6x=3x-5\). Thus, \(3x-5>5x-10\), which gives \(5>2x\). Since 2 is positive, dividing both sides by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x<\frac{5}{2}\). The option \(x\le \frac{5}{2}\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: while expanding brackets, multiply \(-2\) by every term in the second bracket.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर असमानता को 6 से गुणा करने पर \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\) मिलता है। सरल करने पर \(6x-10\ge 24\), अर्थात \(6x\ge 34\) और इसलिए \(x\ge \frac{17}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{17}{3}\) गलत है क्योंकि समानता के समय \(x=\frac{17}{3}\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) वाली असमानता में सीमा मान को शामिल करना न भूलें। / Using the LCM of the denominators, 6, multiply the inequality by 6 to get \(3(x-1)+2(x-2)+(x-3)\ge 24\). This simplifies to \(6x-10\ge 24\), so \(6x\ge 34\), giving \(x\ge \frac{17}{3}\). The option \(x>\frac{17}{3}\) is incorrect because the boundary value \(x=\frac{17}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Include the boundary value when the inequality sign is \(\ge\) or \(\le\).
युग्म असमानता को दो भागों में हल करें। \(-5<2-\frac{x}{3}\) से \(-7<-\frac{x}{3}\) मिलता है; \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<21\)। दूसरे भाग \(2-\frac{x}{3}\le4\) से \(-\frac{x}{3}\le2\) और \(x\ge-6\) मिलता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(-6\le x<21\) है। विकल्प C में दोनों सिरों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Solve the compound inequality in two parts. From \(-5<2-\frac{x}{3}\), we get \(-7<-\frac{x}{3}\); multiplying by \(-3\) reverses the inequality, giving \(x<21\). From \(2-\frac{x}{3}\le4\), we get \(-\frac{x}{3}\le2\), hence \(x\ge-6\). Their common solution is \(-6\le x<21\). Option C has the endpoint signs reversed. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\) मिलता है। अर्थात \(9-3x\ge 2x+10\), इसलिए \(-1\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le -\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-\frac{1}{5}\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि मूल असमानता में \(\ge\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 4 gives \(8-(3x-1)\ge 2(x+5)\). Thus, \(9-3x\ge 2x+10\), so \(-1\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le -\frac{1}{5}\). Option B excludes \(-\frac{1}{5}\), but the original inequality contains \(\ge\). Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करें; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। तब \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\), अर्थात \(20x+30<15x+18\)। इससे \(5x<-12\), अतः \(x<-\frac{12}{5}\)। क्योंकि मूल असमानता सख्त है, \(x=-\frac{12}{5}\) हल में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiply both sides by the positive number 6 to clear the denominators, so the inequality sign remains unchanged: \(24x+24-2(2x-3)<3(5x+6)\). This simplifies to \(20x+30<15x+18\), giving \(5x<-12\), and hence \(x<-\frac{12}{5}\). Since the original inequality is strict, \(x=-\frac{12}{5}\) is not included. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
