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कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव के साथ समुच्चय \(B\) का प्रत्येक अवयव जोड़ा जाता है। इसलिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। 5, 3 और 2 क्रमशः अवयवों की गलत गणना दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो सीमित समुच्चयों के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) याद रखें। / In the Cartesian product \(A\times B\), each element of \(A\) is paired with every element of \(B\). Therefore, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\), so the correct answer is 6. The values 5, 3 and 2 result from incorrect counting. Exam tip: For finite sets, use the formula \(n(A\times B)=n(A)n(B)\).
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सभी संभव युग्म लिखना जरूरी है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). All possible pairs must be written.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((4,3)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((4,3)) is correct.
क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\), इसलिए \((2,3)\in A\times B\) सत्य है। क्रमित युग्म में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(2\in A\) and \(3\in B\), \((2,3)\in A\times B\) is true. Check both positions separately in an ordered pair.
\(B\cap C={4,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={4,6}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8). First find the intersection and then multiply.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए कुल युग्म \(2\times4=8\) हैं। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so total pairs are \(2\times4=8\). Do not count a common element twice in union.
(A-B={2,4}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,4}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (35=5n(B)) और (n(B)=7)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा भी लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (35=5n(B)) and (n(B)=7). In such questions, use the formula in reverse too.
A. दोनों में (12) अवयव होंगे/both have (12) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों में अवयवों की संख्या \(3\times4=12\) होती है। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(3\times4=12\) elements. The number can be the same, but the order of pairs is generally different.
\(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{1,2\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=4\times2=8)। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{1,2\}\), so (n\(A\times B\)=4\times2=8). Convert set-builder form into roster form first.
\(A=\{-2,-1,0,1\}\) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) अवयव हैं। इसलिए कुल युग्म \(4\times2=8\) होंगे। / \(A=\{-2,-1,0,1\}\) has (4) elements and (B) has (2) elements. Therefore total pairs are \(4\times2=8\).
रिक्त समुच्चय से पहला घटक नहीं लिया जा सकता, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। किसी भी तरफ रिक्त समुच्चय हो तो कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। / No first component can be taken from the empty set, so no ordered pair is formed. If either side is empty, the Cartesian product is \(\varnothing\).
(n\(A\times A\)=n(A)2=22=4) होता है। ((p,p)) और ((q,q)) जैसे समान घटक वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=22=4). Pairs with equal components such as ((p,p)) and ((q,q)) are also included.
(y=2) के लिए (1) युग्म, (y=4) के लिए (3) युग्म और (y=6) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, सही गिनती ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)) यानी (8) है। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)), so the count is (8). List carefully to avoid overcounting.
शर्त x+y=4 के लिए x के संभावित मान जाँचते हैं। x=1 पर y=3, x=2 पर y=2 और x=3 पर y=1 मिलता है; ये सभी A\times B में हैं। x=0 के लिए y=4 चाहिए, लेकिन 4, B में नहीं है। इसलिए क्रमित युग्म (1,3), (2,2) और (3,1) हैं तथा कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले एक चर का मान चुनकर दूसरे को शर्त से निर्धारित करें और फिर जाँचें कि दोनों मान संबंधित समुच्चयों में हैं। / For the condition x+y=4, check the possible values of x. When x=1, y=3; when x=2, y=2; and when x=3, y=1. All these pairs belong to A\times B. For x=0, y would have to be 4, but 4 is not in B. Thus the ordered pairs are (1,3), (2,2), and (3,1), giving a total of 3 pairs. Exam tip: determine the second coordinate from the condition and then verify that both coordinates belong to their respective sets.
\(A\) के प्रत्येक अवयव के लिए \(y=2x\) निकालते हैं। \(x=1\) पर \(y=2\), \(x=2\) पर \(y=4\), और \(x=4\) पर \(y=8\) मिलता है। इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(4,8)\) हैं और कुल 3 युग्म हैं। केवल वे ही युग्म मान्य होंगे जिनमें \(x\in A\) और \(y\in B\) दोनों हों। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले \(A\) के प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) ज्ञात करके जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each element of \(A\), calculate \(y=2x\). This gives \(y=2\) for \(x=1\), \(y=4\) for \(x=2\), and \(y=8\) for \(x=4\). Thus, the valid pairs are \((1,2),(2,4),(4,8)\), giving a total of 3 pairs. A pair is valid only when \(x\in A\) and the corresponding \(y\in B\); merely counting the elements of either set is incorrect. Exam tip: for a condition of the form \(y=f(x)\), test every \(x\) from the first set and check whether the resulting \(y\) belongs to the second set.
सही युग्म ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)) हैं। विभाज्यता में कौन सा घटक भाजक है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)). In divisibility, note which component is the divisor.
पहला घटक (2) तय करने पर दूसरा घटक (B) के (3) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (3) युग्म मिलेंगे। / When the first component (2) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). Hence there are (3) pairs.
दूसरा घटक (6) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (6) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,4),(3,5)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(1,4),(3,5)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=2\times3=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) सूत्र लगाएं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use the formula \(2^n\) for counting subsets.
दोनों में केवल ((2,2)) समान युग्म है। प्रतिच्छेद के लिए पूरा क्रमित युग्म समान होना चाहिए। / Only ((2,2)) is common to both. For intersection, the whole ordered pair must be identical.
A. रेखा \(y=1\) पर \(0\le x\le2\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=1\) with \(0\le x\le2\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), जिसमें \(y\) का मान हमेशा 1 रहता है। अतः यह \(y=1\) पर \(x=0\) से \(x=2\) तक का क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प B में निर्देशांकों की भूमिकाएँ बदल दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल समुच्चय \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), so the value of \(y\) is always 1. Therefore, it is the horizontal line segment from \(x=0\) to \(x=2\) on \(y=1\). Option B interchanges the roles of the two coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the product lies on the line \(y=c\).
पहला घटक हमेशा (-1) है और दूसरा ([2,5]) में बदलता है। यह ऊर्ध्वाधर रेखाखंड का रूप देता है। / The first component is always (-1), and the second varies in ([2,5]). This gives a vertical line segment.
(n\(B\times C\)=1\times2=2), इसलिए (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4)। अंदर का कार्तीय गुणन पहले गिनें। / (n\(B\times C\)=1\times2=2), so (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4). Count the inner Cartesian product first.
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक में आएगा। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग विषम होने के लिए एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए। समुच्चय A में 2 विषम और 1 सम संख्या है, जबकि B में 1 विषम और 2 सम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या = (2 × 2) + (1 × 1) = 5। अतः सही उत्तर 5 है। परीक्षा-युक्ति: विषम योग के लिए हमेशा विषम-सम और सम-विषम युग्मों की संख्या जोड़ें। / A sum is odd only when one number is odd and the other is even. Set A has 2 odd and 1 even element, while set B has 1 odd and 2 even elements. Therefore, the number of favourable ordered pairs is (2 × 2) + (1 × 1) = 5. Hence, the correct answer is 5. Exam tip: For an odd sum, count odd-even and even-odd pairs separately and add them.
\(x+y=2\) के लिए संभावित युग्म हैं \((0,2)\), \((1,1)\) और \((2,0)\)। इनमें \((0,2)\) तथा \((2,0)\) ही \(A\times B\) में हैं, क्योंकि पहले घटक को \(A\) और दूसरे घटक को \(B\) का सदस्य होना चाहिए। \((1,1)\) मान्य नहीं है क्योंकि \(1\notin B\)। इसलिए कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म के दोनों घटकों की संबंधित समुच्चयों में सदस्यता अवश्य जाँचें। / The possible pairs satisfying \(x+y=2\) are \((0,2)\), \((1,1)\), and \((2,0)\). Only \((0,2)\) and \((2,0)\) belong to \(A\times B\), because the first component must be from \(A\) and the second from \(B\). The pair \((1,1)\) is invalid since \(1\notin B\). Hence, there are 2 valid pairs. Exam tip: In a Cartesian product, check membership of each component in its corresponding set, while preserving the order.
सबसे बड़ा पहला घटक (4) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है। इसलिए ((4,5)) का योग सबसे बड़ा है। / The greatest first component is (4) and the greatest second component is (5). So ((4,5)) has the greatest sum.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। y=1 के लिए x=3, इसलिए (3,1) एक मान्य युग्म है; y=2 के लिए x=4, इसलिए (4,2) दूसरा मान्य युग्म है। दोनों x के मान A में और दोनों y के मान B में हैं, अतः कुल 2 युग्म हैं। विकल्प B केवल (3,1) को गिनता है और (4,2) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले B के प्रत्येक y के लिए x=y+2 निकालकर जाँच करें कि x∈A है या नहीं। / From x−y=2, we get x=y+2. For y=1, x=3, giving the valid pair (3,1); for y=2, x=4, giving (4,2). Both x-values belong to A and both y-values belong to B, so there are 2 ordered pairs. Option B counts only (3,1) and misses (4,2). Exam tip: For each y∈B, calculate x=y+2 and check whether x belongs to A.
सही युग्म ((1,8),(2,4),(4,2)) हैं। उत्पाद शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,8),(2,4),(4,2)). In a product condition, always check membership of both components.
क्योंकि (B-C={3,4}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (4) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / Since (B-C={3,4}), each element of (A) pairs with (3) and (4). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। इसलिए सही रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। / Cartesian product is a set of ordered pairs. Therefore the correct form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\).
सही युग्म ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)) हैं। \(\le\) में बराबरी वाले युग्म भी शामिल करें। / The valid pairs are ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)). Include equal pairs when the condition is \(\le\).
\(A\times B\) में \(x\) का मान \(A\) से और \(y\) का मान \(B\) से लिया जाता है। शर्त \(x+y>5\) को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म \((2,4),(3,3),(3,4)\) हैं, इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(x+y=5\) वाले युग्म, जैसे \((1,4)\) और \((2,3)\), शामिल नहीं होंगे क्योंकि असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) और \(\geq\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / In \(A\times B\), \(x\) is chosen from \(A\) and \(y\) from \(B\). The ordered pairs satisfying \(x+y>5\) are \((2,4),(3,3),(3,4)\), so there are 3 pairs. Pairs such as \((1,4)\) and \((2,3)\), for which \(x+y=5\), are excluded because the inequality is strict. Exam tip: carefully distinguish between \(>\) and \(\geq\).
यदि दोनों समुच्चय अरिक्त हैं तो कम से कम एक क्रमित युग्म बनता है। इसलिए \(A\times B=\varnothing\) नहीं हो सकता। / If both sets are non-empty, at least one ordered pair is formed. Therefore \(A\times B=\varnothing\) cannot happen.
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए यह सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। यह विशेष स्थिति में (A=B) या रिक्त समुच्चय के कारण समान हो सकता है। / Order matters in Cartesian product, so it is generally not commutative. It may be equal in special cases such as (A=B) or because of an empty set.
\(3\in A\) विषम है और \(b\in B\), इसलिए \((3,b)\in R\)। संबंध में दी गई शर्त को कार्तीय गुणन पर लागू करें। / \(3\in A\) is odd and \(b\in B\), so \((3,b)\in R\). Apply the given condition to the Cartesian product.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
युग्मों से योग (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) और (1+3=4) मिलते हैं। समुच्चय में (3) को दो बार नहीं लिखते। / The sums are (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) and (1+3=4). In a set, (3) is not written twice.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (3) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(3\times3=9\) युग्म मिलते हैं। / All (3) elements of (B) are even and pair with (3) elements of (A). Hence \(3\times3=9\) pairs are obtained.
(A) में विषम अवयव (1) और (3) हैं, और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ेगा। इसलिए \(2\times2=4\) युग्म होंगे। / The odd elements in (A) are (1) and (3), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(2\times2=4\) pairs are formed.
\(A\cap B={2}\), इसलिए पहला घटक केवल (2) हो सकता है और दूसरा (C) से होगा। इसलिए ((2,4)) सही है। / \(A\cap B={2}\), so the first component can only be (2) and the second must be from (C). Hence ((2,4)) is correct.
\(B\cap C={5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={5}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). First find the intersection and then count the Cartesian product.
सही युग्म ((0,5),(2,3),(4,1)) हैं। योग की शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((0,5),(2,3),(4,1)). In a sum condition, always check membership of both components.
सही गिनती (y=1) के लिए (4), (y=2) के लिए (3) और (y=4) के लिए (1) है। इसलिए कुल (4+3+1=8) युग्म हैं। / The correct count is (4) for (y=1), (3) for (y=2), and (1) for (y=4). Thus total pairs are (4+3+1=8).
सही युग्म ((2,1),(4,2),(8,4)) हैं। भिन्न वाली शर्त में (y) का मान समुच्चय (B) से ही लें। / The valid pairs are ((2,1),(4,2),(8,4)). In a fraction condition, take (y) only from set (B).
((1,4)) में \(4\ne2\times1\), इसलिए यह (R) में नहीं है। संबंध में दी गई शर्त को हर विकल्प पर लगाएं। / In ((1,4)), \(4\ne2\times1\), so it is not in (R). Apply the given relation condition to each option.
गुणनफल \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\) मिलते हैं। समुच्चय में (6) को दो बार नहीं लिखते। / The products are \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\). In a set, (6) is not written twice.
