Level 45 • 50/50 questions • 35 seconds per question.
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What is the solution of the inequality (3x-5>10)?
A. (x>5)
(3x-5>10) में (5) जोड़कर (3x>15) और फिर (x>5) मिलता है। परीक्षा में समान धन संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (5) gives (3x>15) and then (x>5). In exams remember that dividing by a positive number does not reverse the sign.
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Choose the solution of the inequality \\(2x+7\leq15\\).
A. \\(x\leq4\\)
दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(2x\leq8\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए \\(x\leq4\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न उलटा है और विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 7 from both sides gives \\(2x\leq8\\). Dividing both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality sign, so \\(x\leq4\\). Option B reverses the sign incorrectly, while option C excludes the equality case. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of \(5-2x\geq11\)?
A. \(x\leq-3\)
(5) घटाने पर \(-2x\geq6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\leq-3\) मिलता है। ऋण गुणांक पर चिन्ह बदलना न भूलें। / Subtracting (5) gives \(-2x\geq6\) and dividing by (-2) gives \(x\leq-3\). Do not forget to reverse the sign for a negative coefficient.
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Choose the solution of \(\frac{x}{3}+2>6\).
A. (x>12)
(2) घटाने पर \(\frac{x}{3}>4\) और (3) से गुणा करने पर (x>12) मिलता है। धन संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Subtracting (2) gives \(\frac{x}{3}>4\) and multiplying by (3) gives (x>12). Multiplying by a positive number keeps the sign unchanged.
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What will be the solution of \(\frac{x-1}{2}\leq5\)?
A. \(x\leq11\)
(2) से गुणा करने पर \(x-1\leq10\) और इसलिए \(x\leq11\) है। पहले हर हटाना समाधान को आसान बनाता है। / Multiplying by (2) gives \(x-1\leq10\) so \(x\leq11\). Clearing the denominator first makes the solution easier.
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Solve the inequality \(\frac{2x+3}{5}\geq3\).
A. \(x\geq6\)
(5) से गुणा करने पर \(2x+3\geq15\) और फिर \(2x\geq12\) से \(x\geq6\) मिलता है। हर धन हो तो चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives \(2x+3\geq15\) and then \(2x\geq12\) gives \(x\geq6\). A positive denominator does not reverse the sign.
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Choose the solution of \(\frac{7-3x}{2}< -1\).
A. (x>3)
(2) से गुणा करने पर (7-3x<-2) और (-3x<-9) मिलता है। (-3) से भाग देने पर चिन्ह बदलकर (x>3) होता है। / Multiplying by (2) gives (7-3x<-2) and (-3x<-9). Dividing by (-3) reverses the sign to (x>3).
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What is the solution of \(4x-7\leq x+8\)?
A. \(x\leq5\)
समान पदों को एक तरफ लाने पर \(3x\leq15\) मिलता है इसलिए \(x\leq5\) है। चर पदों को एक ही तरफ सावधानी से रखें। / Bringing like terms together gives \(3x\leq15\) so \(x\leq5\). Keep variable terms on one side carefully.
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Which of the following is the solution set of the inequality \(6x+1>2x+13\)?
A. \(x>3\)
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x+1>13\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(4x>12\), अतः \(x>3\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=3\) भी शामिल है, लेकिन मूल असमानता में चिन्ह \(>\) है, इसलिए बराबरी मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है; यहाँ ऐसा कोई चरण नहीं है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x+1>13\). Subtracting \(1\) and then dividing by the positive number \(4\) gives \(x>3\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=3\), whereas the strict sign \(>\) excludes equality. Exam tip: The inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; that does not occur here.
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Solve the inequality \(3(x-2)\geq2x+5\).
A. \(x\geq11\)
विस्तार करने पर \(3x-6\geq2x+5\) और इसलिए \(x\geq11\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय चिन्हों का ध्यान रखें। / Expanding gives \(3x-6\geq2x+5\) and hence \(x\geq11\). Watch the signs while opening brackets.
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What is the solution of (2(3x+1)<5x+9)?
A. (x<7)
विस्तार से (6x+2<5x+9) मिलता है इसलिए (x<7) है। दोनों पक्षों में चर हो तो छोटे चरणों में हल करें। / Expansion gives (6x+2<5x+9) so (x<7). When both sides have variables solve in small steps.
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Choose the solution set of the inequality \(5(x+2)-3\leq 2x+16\).
A. \(x\leq 3\)
कोष्ठक खोलने पर \(5x+10-3\leq 2x+16\), अर्थात् \(5x+7\leq 2x+16\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x\leq 9\), और धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को सरल करते समय ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the brackets gives \(5x+10-3\leq 2x+16\), or \(5x+7\leq 2x+16\). Subtracting \(2x\) from both sides yields \(3x\leq 9\). Dividing by the positive number \(3\) gives \(x\leq 3\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always check whether the number used to divide an inequality is positive or negative.
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Solve the inequality (7-2(1-x)>3x-4).
A. (x<9)
बायां पक्ष (5+2x) बनता है इसलिए (5+2x>3x-4) से (x<9) मिलता है। ऋण कोष्ठक खोलते समय संकेत बदलते हैं। / The left side becomes (5+2x) so (5+2x>3x-4) gives (x<9). Signs change while opening a negative bracket.
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What is the solution of the compound inequality \(2<x+3\leq8\)?
A. \(-1<x\leq5\)
तीनों भागों से (3) घटाने पर \(-1<x\leq5\) मिलता है। युग्म असमानता में वही क्रिया सभी भागों पर करें। / Subtracting (3) from all parts gives \(-1<x\leq5\). In a compound inequality apply the same operation to every part.
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Choose the solution of \(-4\leq2x+2<10\).
A. \(-3\leq x<4\)
सभी भागों से (2) घटाने पर \(-6\leq2x<8\) और फिर \(-3\leq x<4\) मिलता है। खुले और बंद चिन्ह को जस का तस रखें। / Subtracting (2) from all parts gives \(-6\leq2x<8\) and then \(-3\leq x<4\). Keep open and closed signs correctly.
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What is the solution of \(1<\frac{x-2}{3}\leq4\)?
A. \(5<x\leq14\)
(3) से गुणा करने पर \(3<x-2\leq12\) और फिर \(5<x\leq14\) मिलता है। धन गुणक से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(3<x-2\leq12\) and then \(5<x\leq14\). A positive multiplier does not change the signs.
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Choose the interval form of \(4x+1\geq9\).
A. \([2,\infty\))
हल \(x\geq2\) है इसलिए अंतराल \([2,\infty\)) है। बराबरी शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The solution is \(x\geq2\) so the interval is \([2,\infty\)). Use a square bracket when equality is included.
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Which is the correct set form for \(x\leq-1\)?
A. \({x:x\in\mathbb{R},x\leq-1}\)
\(x\leq-1\) में (-1) और उससे छोटी वास्तविक संख्याएं आती हैं। वास्तविक हल के लिए \(\mathbb{R}\) लिखना उचित है। / The inequality \(x\leq-1\) includes (-1) and all smaller real numbers. For real solutions writing \(\mathbb{R}\) is appropriate.
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What is the solution set of \(9-3x\leq0\)?
A. \({x:x\in\mathbb{R},x\geq3}\)
\(9-3x\leq0\) से \(-3x\leq-9\) और \(x\geq3\) मिलता है। ऋण से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(9-3x\leq0\) we get \(-3x\leq-9\) and then \(x\geq3\). The sign reverses when dividing by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(3x-4\ge 8\), what is the smallest integer solution of this inequality?
A. 4
असमानता को हल करने पर \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\) मिलता है। क्योंकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 4 है। विकल्प 3 गलत है, क्योंकि \(3(3)-4=5\), जो 8 से कम है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving the inequality gives \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\). Since \(x\) is an integer, the smallest possible value is 4. Option 3 is incorrect because \(3(3)-4=5\), which is less than 8. Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(5-2x>-7\), what is the greatest solution?
A. 5
असमानता को हल करते हुए, \(5-2x>-7\) से \(-2x>-12\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<6\)। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality, \(5-2x>-7\) gives \(-2x>-12\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x<6\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 6 is 5. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which value satisfies the inequality (4x-9<3)?
A. (x=2)
हल (x<3) है इसलिए (x=2) संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय पहले सामान्य हल निकालना तेज रहता है। / The solution is (x<3) so (x=2) satisfies it. Finding the general solution first is faster than testing all options.
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Which value is not a solution of the inequality \(7-3x\leq 1\)?
A. \(x=1\)
असमानता \(7-3x\leq 1\) को हल करने पर \(-3x\leq -6\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 2\)। अतः \(x=2,3,4\) हल हैं, जबकि \(x=1\) हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प की जाँच के लिए उसका मान मूल असमानता में रखने पर भी उत्तर शीघ्र मिल जाता है। / Solving \(7-3x\leq 1\) gives \(-3x\leq -6\). Dividing both sides by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 2\). Therefore, \(x=2,3,4\) are solutions, whereas \(x=1\) is not. Exam tip: You can also substitute each option directly into the original inequality for a quick check.
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In (ax+b>c), if (a<0), what happens when dividing by (a)?
A. असमानता का चिन्ह पलटेगाThe inequality sign reverses
ऋण संख्या से भाग देने पर असमानता का क्रम उलट जाता है। यह रैखिक असमानताओं की सबसे सामान्य गलती है। / Dividing by a negative number reverses the order of an inequality. This is the most common mistake in linear inequalities.
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Which of the following results is obtained when the inequality \(-5x<20\) is solved?
A. \(x>-4\)
असमानता \(-5x<20\) में दोनों पक्षों को \(-5\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम लागू होता है, इसलिए असमानता का चिन्ह पलट जाता है: \(x>\frac{20}{-5}=-4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह पलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में \(20\div(-5)=-4\) का चिन्ह गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें। / In \(-5x<20\), dividing both sides by \(-5\) reverses the inequality sign because the divisor is negative. Thus, \(x>\frac{20}{-5}=-4\), so option A is correct. Option B incorrectly keeps the original sign, while options C and D use the wrong sign for \(20\div(-5)\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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A student concluded \(x\geq-5\) from the inequality \(-2x\geq10\). What is the correct solution?
A. \(x\leq-5\)
असमिका \(-2x\geq10\) के दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग दिया जाता है, इसलिए असमिका का चिन्ह उलट जाता है: \(x\leq-5\)। \(-5\) शामिल है क्योंकि मूल चिन्ह \(\geq\) था। विकल्प B में चिन्ह न पलटने की वही गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य उलटें। / Dividing both sides of \(-2x\geq10\) by \(-2\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\leq-5\). The value \(-5\) is included because the original relation was \(\geq\). Option B repeats the mistake of not reversing the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Which inequality has the solution set \(x<4\)?
A. \(3x+2<14\)
विकल्प A में \(3x+2<14\) है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(3x<12\) और 3 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है। विकल्प B से \(x>4\), विकल्प C से भी \(x>4\), तथा विकल्प D से \(x\geq4\) प्राप्त होता है। अतः केवल विकल्प A का हल समुच्चय दिया गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, \(3x+2<14\). Subtracting 2 from both sides gives \(3x<12\), and dividing by 3 gives \(x<4\). Option B gives \(x>4\), option C also gives \(x>4\), while option D gives \(x\geq4\). Therefore, only option A has the stated solution set. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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Which of the following inequalities has the solution \(x\ge -2\)?
A. \(4x+8\ge 0\)
विकल्प A में \(4x+8\ge 0\) से \(4x\ge -8\) और, 4 से भाग देने पर, \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B का हल \(x\le -2\), विकल्प C का हल \(x<-2\), तथा विकल्प D का हल \(x\ge 2\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / In option A, \(4x+8\ge 0\) gives \(4x\ge -8\), and dividing by 4 gives \(x\ge -2\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B gives \(x\le -2\), option C gives \(x<-2\), and option D gives \(x\ge 2\). Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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On a number line there is an open point at (3) and shading to the left. What is the inequality?
A. (x<3)
खुला बिंदु बराबरी को हटाता है और बाईं ओर छोटे मान दिखाता है। इसलिए असमानता (x<3) है। / An open point excludes equality and left shading shows smaller values. Therefore the inequality is (x<3).
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On a number line there is a closed point at (-2) and shading to the right. Choose the inequality.
A. \(x\geq-2\)
बंद बिंदु बराबरी को शामिल करता है और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। इसलिए \(x\geq-2\) सही है। / A closed point includes equality and right shading represents larger values. Hence \(x\geq-2\) is correct.
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Which is the correct representation of the inequality \(x+4>9\) on the number line?
A. 5 पर खुला बिंदु और दाईं ओर छायांकनOpen point at 5 and shading to the right
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x+4>9\) से \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए 5 संख्या शामिल नहीं है और वहाँ खुला बिंदु बनाया जाता है। 5 से बड़ी सभी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प B में बंद बिंदु गलत है क्योंकि असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: कठोर असमानता \(>\) या \(<\) के लिए खुला बिंदु और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद बिंदु लगाएँ। / Subtracting 4 from both sides gives \(x+4>9\Rightarrow x>5\). Thus, 5 is not included, so an open point is placed at 5. All numbers greater than 5 lie to the right, so the shading is directed to the right. Option B is incorrect because a closed point represents inclusion, as in \(x\geq5\), not the strict inequality \(x>5\). Exam tip: use an open point for \(>\) or \(<\), and a closed point for \(\geq\) or \(\leq\).
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A. \(x<14\)
प्रश्न के अनुसार असमानता \(x+6<20\) होगी। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<14\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=14\) रखने पर \(x+6=20\) मिलता है, जो 20 से कम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम’ का अर्थ हमेशा सख्त असमानता \(<\) होता है, जबकि ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\leq\) प्रयोग किया जाता है। / The statement translates to the inequality \(x+6<20\). Subtracting 6 from both sides gives \(x<14\), so option A is correct. Option C is incorrect because when \(x=14\), the result is exactly 20, not less than 20. Exam tip: ‘less than’ indicates the strict inequality \(<\), whereas ‘less than or equal to’ indicates \(\leq\).
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A. \(x\leq 7\)
“28 से अधिक नहीं” का अर्थ 28 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(4x\leq28\) होगी। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि 28 के बराबर होना मान्य है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” या “अधिक नहीं” दिखे तो \(\leq\) का प्रयोग करें। / “Not more than 28” means less than or equal to 28, so the inequality is \(4x\leq28\). Dividing both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality sign, giving \(x\leq7\). Option B is incorrect because it excludes \(x=7\), even though equality is allowed. Exam tip: “not more than” means \(\leq\).
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At least (33) marks are needed to pass an exam. If Ravi has marks (m), which inequality is correct?
A. \(m\geq33\)
कम से कम में सीमा मान शामिल होता है इसलिए \(m\geq33\) है। ऐसे शब्दों में बराबरी पर ध्यान दें। / At least includes the boundary value so \(m\geq33\). Pay attention to equality in such phrases.
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To enter a club, age must be more than (18) years. What is the correct inequality for age (a)?
A. (a>18)
more than का अर्थ कठोर रूप से बड़ा है इसलिए (a>18) है। यदि exactly (18) हो तो यह शर्त पूरी नहीं होती। / More than means strictly greater so (a>18). If the age is exactly (18), the condition is not satisfied.
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What is the greatest integer value of \(x\) satisfying the inequality \(3x+2\leq 11\)?
A. 3
असमानता \(3x+2\leq 11\) को हल करने पर \(3x\leq 9\), इसलिए \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इस सीमा को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक \(3\) है। विकल्प 4 और 5 असमानता को संतुष्ट नहीं करते, क्योंकि इनके लिए बायाँ पक्ष 14 या 17 होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving \(3x+2\leq 11\) gives \(3x\leq 9\), and hence \(x\leq 3\). Therefore, the greatest integer satisfying the inequality is \(3\). The nearby distractor 4 is incorrect because it gives \(3(4)+2=14>11\); 5 also fails. Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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What is the least natural-number value of \(x\) that satisfies the inequality \(5x-1>14\)?
A. 4
दिए गए असमानता से \(5x-1>14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x>15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x>3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 से बड़ी सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 4 है। ध्यान रखें कि सख्त असमानता \(x>3\) में \(x=3\) शामिल नहीं होता। / Starting with \(5x-1>14\), add 1 to both sides to get \(5x>15\), and then divide by 5 to obtain \(x>3\). Therefore, the least natural number greater than 3 is 4. Since the inequality is strict, \(x=3\) is not included.
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How many solutions satisfy the inequality \(-1\leq x<4\) with \(x\in\mathbb{Z}\)?
A. 5
दिए गए अंतराल में \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक हल \(-1,0,1,2,3\) हैं। इनकी कुल संख्या \(5\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) वाले छोर को गिनें और \(<\) वाले छोर को न गिनें। / The interval includes \(-1\) because of \(\leq\), but excludes \(4\) because of \(<\). Thus the integer solutions are \(-1,0,1,2,3\), giving a total of \(5\) solutions. Exam tip: include an endpoint marked by \(\leq\) and exclude one marked by \(<\).
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If x=2 satisfies the inequality \(kx+1\leq 9\) and \(k>0\), what is the required condition on \(k\)?
A. \(0<k\leq 4\)
असमानता \(kx+1\leq 9\) में \(x=2\) रखने पर \(2k+1\leq 9\) प्राप्त होता है। अतः \(2k\leq 8\), इसलिए \(k\leq 4\)। प्रश्न में \(k>0\) भी दिया गया है, इसलिए दोनों शर्तों को मिलाकर \(0<k\leq 4\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k>4\) होने पर असमानता संतुष्ट नहीं होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें और अंत में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Substituting \(x=2\) into \(kx+1\leq 9\) gives \(2k+1\leq 9\). Thus, \(2k\leq 8\), so \(k\leq 4\). Since the question also states \(k>0\), combining both conditions gives \(0<k\leq 4\). Option B is incorrect because values \(k>4\) do not satisfy the inequality. In such questions, first substitute the given value and then take the intersection of all conditions.
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If the solution of the inequality \(x+2<k\) is \(x<7\), what is the value of \(k\)?
A. 9
असमानता \(x+2<k\) को \(x\) के लिए हल करने पर \(x<k-2\) प्राप्त होता है। दिए गए हल \(x<7\) से तुलना करने पर \(k-2=7\), अतः \(k=9\)। विकल्प 7 केवल हल की सीमा को दर्शाता है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा युक्ति: असमानता को पहले उसी चर के रूप में लिखें और फिर सीमाओं की तुलना करें। / Solving \(x+2<k\) for \(x\) gives \(x<k-2\). Comparing this with the given solution \(x<7\), we get \(k-2=7\), so \(k=9\). The value 7 is the boundary of the solution set, not the value of \(k\). Exam tip: first isolate the variable and then compare the resulting boundary values.
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Which inequality is true for all real (x)?
A. (2x+3<2x+5)
(2x) घटाने पर (3<5) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर मिटने पर बची हुई कथन की सत्यता जांचें। / Subtracting (2x) gives (3<5), which is always true. When the variable cancels, check the truth of the remaining statement.
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What is the solution of the inequality \(2(x+3)-x\geq10\)?
A. \(x\geq4\)
कोष्ठक खोलने पर \(2x+6-x\geq10\), अर्थात् \(x+6\geq10\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x\geq4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा में ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \(2x+6-x\geq10\), which simplifies to \(x+6\geq10\). Subtracting 6 from both sides yields \(x\geq4\), so option A is correct. Option B has the inequality direction reversed. Remember that the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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Choose the solution of \(\frac{x+4}{2}-\frac{x-2}{3}<5\).
A. (x<20)
(6) से गुणा करने पर (3(x+4)-2(x-2)<30) मिलता है। सरल करने पर (x+16<30) से (x<14) नहीं बल्कि (x<14) आता है। / Multiplying by (6) gives (3(x+4)-2(x-2)<30). Simplifying gives (x+16<30), so the correct result is (x<14).
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What is the solution of the inequality \(\frac{2x-5}{4}+1\geq3\)?
A. \(x\geq\frac{13}{2}\)
(1) घटाने पर \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) और फिर \(2x-5\geq8\) मिलता है। इसलिए \(x\geq\frac{13}{2}\) है। / Subtracting (1) gives \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) and then \(2x-5\geq8\). Hence \(x\geq\frac{13}{2}\).
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Solve the inequality \(3-\frac{x+2}{5}<1\).
A. (x>8)
(3) घटाने पर \(-\frac{x+2}{5}< -2\) मिलता है। ऋण पद हटाने पर चिन्ह बदलता है और (x>8) मिलता है। / Subtracting (3) gives \(-\frac{x+2}{5}< -2\). Removing the negative term reverses the sign and gives (x>8).
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What is the solution of the compound inequality \\(-3\leq\frac{x+1}{2}<4\\)?
A. \\(-7\leq x<7\\)
असमानता के सभी भागों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती: \\(-6\leq x+1<8\\)। अब प्रत्येक भाग से 1 घटाने पर \\(-7\leq x<7\\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों सिरों पर असमानता की दिशाएँ अनावश्यक रूप से उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying all parts of the inequality by the positive number 2 does not reverse the signs, giving \\(-6\leq x+1<8\\). Subtracting 1 from all parts yields \\(-7\leq x<7\\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the endpoint conditions. Exam tip: an inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(\frac{x-3}{2}>1\), what is the least integer solution?
A. (6)
\(\frac{x-3}{2}>1\) से (x-3>2) और (x>5) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल (6) है। / The inequality \(\frac{x-3}{2}>1\) gives (x-3>2) and (x>5). Therefore the least integer solution is (6).
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A. \(x\geq 9\)
‘कम से कम 13’ का अर्थ 13 या उससे अधिक होता है, इसलिए असमिका \(2x-5\geq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x\geq 18\) और 2 से भाग देने पर \(x\geq 9\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमिका का चिह्न नहीं बदलता। ध्यान रखें कि \(x=9\) भी मान्य है; इसलिए \(x>9\) सही उत्तर नहीं है। / ‘At least 13’ means 13 or more, so the inequality is \(2x-5\geq 13\). Adding 5 to both sides gives \(2x\geq 18\), and dividing by the positive number 2 gives \(x\geq 9\). The inequality sign does not change because the divisor is positive. Remember that \(x=9\) is included, so \(x>9\) is not correct.
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What is the solution set of the inequality (5(x-1)+2<5x)?
A. सभी \(x\in\mathbb{R}\)All \(x\in\mathbb{R}\)
सरल करने पर (5x-3<5x) मिलता है। (5x) घटाने पर (-3<0) सत्य है इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Simplifying gives (5x-3<5x). Subtracting (5x) gives (-3<0), which is true, so all real (x) are solutions.
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What is the solution of the inequality \(\frac{3x-1}{2}\leq x+4\)?
A. \(x\leq9\)
(2) से गुणा करने पर \(3x-1\leq2x+8\) मिलता है। समान पद मिलाने पर \(x\leq9\) सही हल है। / Multiplying by (2) gives \(3x-1\leq2x+8\). Combining like terms gives the correct solution \(x\leq9\).
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