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A. केवल गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर/Except only for the order of factors
Step 1
Concept
The theorem gives certainty of prime factorisation for numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Prime factors and their powers remain fixed; only their order may change.
Step 3
Exam Tip
In the final answer, do not leave composite factors. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें निश्चित रहती हैं, केवल क्रम बदल सकता है। चरण 3: उत्तर लिखते समय संयुक्त गुणनखंडों को अंतिम रूप में न छोड़ें।
Since \(20160=2^6\times3^2\times5\times7\), the complete prime form is \(2^6\times3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
20160 is composite, so do not keep it in the final answer. चरण 1: \(221760=20160\times11\) लिखें। चरण 2: \(20160=2^6\times3^2\times5\times7\), इसलिए पूरा अभाज्य रूप \(2^6\times3^2\times5\times7\times11\) है। चरण 3: 20160 संयुक्त है, इसलिए उसे अंतिम उत्तर में न रखें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors only.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^5\) and \(3^5\).
Step 3
Exam Tip
\(32\times243=7776\), so the answer is 7776. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए केवल समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^5\) और \(3^5\) हैं। चरण 3: \(32\times243=7776\), इसलिए उत्तर 7776 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^8\), \(3^7\), \(5^2\), and \(7^3\).
Step 3
Exam Tip
Their product is 38482790400, so that is the answer. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^8\), \(3^7\), \(5^2\) और \(7^3\) हैं। चरण 3: इनका गुणनफल 38482790400 है, इसलिए यही उत्तर है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=1814400\div720=2520\)। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें।
The product of two numbers equals the product of their HCF and LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(210\times9240=1940400\).
Step 3
Exam Tip
Apply this formula directly only when exactly two numbers are involved. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(210\times9240=1940400\)। चरण 3: प्रश्न में ठीक दो संख्याएं हों, तभी यह सूत्र सीधे लगाएं।
For a perfect square, all exponents must be even, but powers of 2 and 3 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all powers even. चरण 1: \(21600=216\times100=2^5\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, पर 2 और 3 की घातें विषम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect square, odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(2^2\times3^2\times7^2\). चरण 1: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) बचेगा।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 3
Exam Tip
We need (2), \(5^2\), and \(7^2\), so the smallest multiplier is \(2\times25\times49=2450\). चरण 1: \(30240=2^5\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 3: (2), \(5^2\) और \(7^2\) चाहिए; इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times25\times49=2450\) है।
\(250047=3^3\times7^3\times13\), so the full form is \(2\times3^3\times7^3\times13\).
Step 3
Exam Tip
Composite bases should not remain in final prime form. चरण 1: \(500094=2\times250047\) लिखें। चरण 2: \(250047=3^3\times7^3\times13\), इसलिए पूरा रूप \(2\times3^3\times7^3\times13\) है। चरण 3: अंतिम अभाज्य रूप में संयुक्त आधार नहीं रहने चाहिए।
For a perfect square, every exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of 2 and 5 are odd, while the others are even.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times5=10\) makes all powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए हर घात सम होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 11 और 5 की घात 7 विषम हैं, बाकी घातें सम हैं। चरण 3: \(2\times5=10\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 10 to 12, 8 to 9, 5 to 6, and 1 to 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 10 को 12, 8 को 9, 5 को 6 और 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5\times7^2\) है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 6 and in (b) is 8.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 is (6+8=14). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 6 है और (b) में 3 की घात 8 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (6+8=14) होगी।
The total power is (7+5=12). चरण 1: (xy) में समान आधार 5 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 5 की घात 7 है और (y) में 5 की घात 5 है। चरण 3: कुल घात (7+5=12) होगी।
HCF uses the smaller powers of common prime factors only.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^9\) and \(3^8\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^9\times3^8\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं; छोटी घातें \(2^9\) और \(3^8\) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^9\times3^8\) है।
The highest powers are \(2^{12}\), \(3^{10}\), \(5^4\), and \(7^5\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^{12}\times3^{10}\times5^4\times7^5\). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^{12}\), \(3^{10}\), \(5^4\) और \(7^5\) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^{12}\times3^{10}\times5^4\times7^5\) है।
Product of the two numbers is \(120\times9240=1108800\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 840, so the other is \(1108800\div840=1320\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 840 and 1320 is 120. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(120\times9240=1108800\) होगा। चरण 2: एक संख्या 840 है, इसलिए दूसरी संख्या \(1108800\div840=1320\) है। चरण 3: उत्तर की जांच में 840 और 1320 का महत्तम समापवर्तक 120 मिलता है।
Product of the two numbers is \(144\times10080=1451520\).
Step 2
Why this answer is correct
The other number is \(1451520\div720=2016\).
Step 3
Exam Tip
To check, the HCF of 720 and 2016 is 144. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(144\times10080=1451520\) होगा। चरण 2: दूसरी संख्या \(1451520\div720=2016\) है। चरण 3: जांच के लिए 720 और 2016 का महत्तम समापवर्तक 144 है।
\(3888=2^4\times3^5\) and \(35=5\times7\), so \(p=2^4\times3^5\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (a=4). चरण 1: \(136080=3888\times35\) लिखें। चरण 2: \(3888=2^4\times3^5\) और \(35=5\times7\), इसलिए \(p=2^4\times3^5\times5\times7\)। चरण 3: तुलना करने पर (a=4) है।
\(18144=2^5\times3^4\times7\) and \(100=2^2\times5^2\), so the actual form is \(2^7\times3^4\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 3 is (b=4). चरण 1: \(1814400=18144\times100\) लिखें। चरण 2: \(18144=2^5\times3^4\times7\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए वास्तविक रूप \(2^7\times3^4\times5^2\times7\) है। चरण 3: 3 की घात (b=4) है।
Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है।
When counting distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The prime bases are 2, 3, 5, 7, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातें नहीं जोड़ी जातीं। चरण 2: अभाज्य आधार 2, 3, 5, 7 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
The prime factors of the first number are 2, 3, and 13.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors of the second number are 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 13 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 7429. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 7429 होगा।
\(4^8\) and \(16^4\) can give the value, but 4 and 16 are not prime. चरण 1: 65536 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(65536=2^{16}\) होता है। चरण 3: \(4^8\) और \(16^4\) मान दे सकते हैं, पर 4 और 16 अभाज्य नहीं हैं।
Since \(840=2^3\times3\times5\times7\), \(840^2=2^6\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect square, all prime exponents are even. चरण 1: \(705600=840^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(840=2^3\times3\times5\times7\), इसलिए \(840^2=2^6\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं।
All these prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 69255. चरण 1: \(69255=3^6\times5\times19\) है। चरण 2: ये सभी अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 69255 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^9\), \(3^5\), and \(5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16875=3^3\times5^4\), which needs power 4 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^3\), (n) is not divisible by 16875. चरण 1: (n) में 2 की घात 9, 3 की घात 5 और 5 की घात 3 है। चरण 2: \(16875=3^3\times5^4\), जिसमें 5 की घात 4 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 3 है, इसलिए (n), 16875 से विभाज्य नहीं होगा।
In larger multiplication, simplify powers first. चरण 1: \(2^{10}=1024\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(1024\times81\times5=414720\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों को सरल करें।
Calculate \(2^6=64\), \(3^6=729\), and \(5^3=125\).
Step 2
Why this answer is correct
\(64\times729\times125=5832000\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying powers first keeps the calculation clean. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^6=729\), और \(5^3=125\) निकालें। चरण 2: \(64\times729\times125=5832000\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करने से गणना साफ रहती है।
The higher power is 9, so the answer is 9. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 2 की घातें 6 और 9 हैं। चरण 3: बड़ी घात 9 है, इसलिए उत्तर 9 है।
In HCF, take the smaller power of the common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 7 are 1 and 5.
Step 3
Exam Tip
The smaller power is 1, so the answer is 1. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 7 की घातें 1 और 5 हैं। चरण 3: छोटी घात 1 है, इसलिए उत्तर 1 है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Make \(2^{11}\), \(3^7\), and \(5^4\) into powers 12, 9, and 6.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{11}\) को \(2^{12}\), \(3^7\) को \(3^9\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\) है।
All exponents are even, so the number is already a perfect square.
Step 3
Exam Tip
If it is already a perfect square, the smallest divisor is 1. चरण 1: \(254016=64\times3969=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 2: सभी घातें सम हैं, इसलिए यह संख्या पहले से पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पहले से पूर्ण वर्ग होने पर सबसे छोटा भाजक 1 होता है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 7 in (x) is 5 and in (y) is 6.
Step 3
Exam Tip
In (xy), the power of 7 is (5+6=11). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 7 की घात 5 है और (y) में 7 की घात 6 है। चरण 3: (xy) में 7 की घात (5+6=11) होगी।
Powers of the same base 2 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 2 in (x) is 9 and in (y) is 8.
Step 3
Exam Tip
The total power is (9+8=17). चरण 1: समान आधार 2 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 2 की घात 9 है और (y) में 2 की घात 8 है। चरण 3: कुल घात (9+8=17) होगी।
The smaller powers are \(2^5\), \(3^4\), and \(13^1\).
Step 3
Exam Tip
\(32\times81\times13=33696\), so the correct HCF is 33696. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 13 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^5\), \(3^4\) और \(13^1\) हैं। चरण 3: \(32\times81\times13=33696\), इसलिए सही महत्तम समापवर्तक 33696 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^7\), \(3^6\), \(5^2\), and \(13^2\).
Step 3
Exam Tip
\(128\times729\times25\times169=394221600\), so the correct value is 394221600. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^7\), \(3^6\), \(5^2\) और \(13^2\) हैं। चरण 3: \(128\times729\times25\times169=394221600\), इसलिए सही मान 394221600 है।
\(360=2^3\times3^2\times5\) and \(50400=2^5\times3^2\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (3+5=8). चरण 1: गुणनफल \(=360\times50400\) होगा। चरण 2: \(360=2^3\times3^2\times5\) और \(50400=2^5\times3^2\times5^2\times7\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (3+5=8) होगी।
Therefore, the power of 13 in the product is (1+1=2). चरण 1: गुणनफल \(=143\times510510\) होगा। चरण 2: \(143=11\times13\) और 510510 में 13 की घात 1 है। चरण 3: गुणनफल में 13 की घात (1+1=2) होगी।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^{11}\) to \(2^9\), \(3^{10}\) to \(3^9\), and \(5^7\) to \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{11}\) को \(2^9\), \(3^{10}\) को \(3^9\), और \(5^7\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(2^2\times3\times5\) है।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: \(2^7=128\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(128\times81\times5\times7=362880\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
The ratio is \(2^3\times3^3=8\times27=216\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^7\times3^3\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^{10}\times3^6\) है। चरण 3: अनुपात \(2^3\times3^3=8\times27=216\) होगा।
Powers become \(2^{14}\), \(3^{11}\), and \(5^{11}\).
Step 3
Exam Tip
Counting with repetition gives (14+11+11=36). चरण 1: (xy) में समान आधारों की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: 2 की घात (6+8=14), 3 की घात (7+4=11), और 5 की घात (5+6=11) होगी। चरण 3: दोहराव सहित कुल संख्या (14+11+11=36) है।
The higher power is 7, so the answer is 7. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 5 की घातें 4 और 7 हैं। चरण 3: बड़ी घात 7 है, इसलिए उत्तर 7 है।
The smaller power is 5, so the answer is 5. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 5 और 8 हैं। चरण 3: छोटी घात 5 है, इसलिए उत्तर 5 है।
