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A. दोनों समीकरणों का हल/Solution of both equations
Explanation
Simple Explanation
जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं वही युग्म (x,y) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद बिंदु को हमेशा हल मानें। / The point where both lines meet gives the pair (x,y) satisfying both equations. In exams, always treat the intersection point as the solution.
एक प्रतिच्छेद बिंदु होने पर समीकरणों का एक ही हल होता है। याद रखें, कटती हुई रेखाएँ संगत और स्वतंत्र होती हैं। / One intersection point means the equations have exactly one solution. Remember, intersecting lines are consistent and independent.
समांतर अलग-अलग रेखाएँ कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में ऐसी रेखाओं को असंगत मानें। / Distinct parallel lines never intersect, so there is no common point. In exams, such lines are inconsistent.
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
बिंदु ( (2,3) ) पर (2+3=5), इसलिए यह रेखा पर है। विकल्प जाँचते समय (x) और (y) को समीकरण में रखें। / For ( (2,3) ), (2+3=5), so it lies on the line. While checking options, substitute (x) and (y) in the equation.
बिंदु ( (3,2) ) में (3-2=1), इसलिए यह रेखा पर है। सरल तरीका है कि हर विकल्प को समीकरण में रखकर जाँचें। / In ( (3,2) ), (3-2=1), so it lies on the line. The easy method is to test each option in the equation.
(x=0) रखने पर (2(0)+y=6), इसलिए (y=6)। ग्राफ बनाने के लिए ऐसे आसान मान पहले निकालें। / Putting (x=0) gives (2(0)+y=6), so (y=6). For drawing a graph, first find such easy values.
(y=0) रखने पर (x+2(0)=8), इसलिए (x=8)। अक्ष-अवरोध निकालना ग्राफ बनाने में सहायक होता है। / Putting (y=0) gives (x+2(0)=8), so (x=8). Finding intercepts helps in drawing the graph.
( (3,1) ) दोनों समीकरणों (3+1=4) और (3-1=2) को संतुष्ट करता है। ग्राफ पर यही दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद होगा। / The point ( (3,1) ) satisfies both (3+1=4) and (3-1=2). On the graph, this will be the intersection point.
( (3,3) ) में (3+3=6) और (3-3=0)। ग्राफीय हल वही बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो। / At ( (3,3) ), (3+3=6) and (3-3=0). The graphical solution is the point lying on both lines.
प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ही (x) और (y) के मान होते हैं। इसलिए हल (x=2,\ y=4) है। / The coordinates of the intersection point are the values of (x) and (y). Therefore, the solution is (x=2,\ y=4).
(x=2) पर (y=2(2)=4), इसलिए ( (2,4) ) सही है। रेखा पर बिंदु जाँचने के लिए समीकरण में मान रखें। / For (x=2), (y=2(2)=4), so ( (2,4) ) is correct. To check a point on a line, substitute its values in the equation.
(x=4) रखने पर (y=4+1=5), इसलिए ( (4,5) ) रेखा पर है। ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को सीधे जाँचें। / Putting (x=4) gives (y=4+1=5), so ( (4,5) ) lies on the line. In such questions, check the options directly.
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/Vertical line parallel to (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x=3) में (x) स्थिर रहता है और (y) बदल सकता है। ऐसी रेखा (y)-अक्ष के समांतर होती है। / In (x=3), (x) is fixed and (y) can change. Such a line is parallel to the (y)-axis.
A. (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा/Horizontal line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर रेखा है। / In (y=2), (y) is fixed and (x) can change. Hence, it is parallel to the (x)-axis.
रेखा (x=4) सभी बिंदुओं में (x=4) रखती है और (y=5) सभी बिंदुओं में (y=5) रखती है। दोनों का सामान्य बिंदु ( (4,5) ) है। / The line (x=4) has (x=4) for all its points and (y=5) has (y=5) for all its points. Their common point is ( (4,5) ).
(2+y=7), इसलिए (y=5)। ग्राफ के लिए कम से कम दो बिंदु निकालना उपयोगी होता है। / (2+y=7), so (y=5). For a graph, it is useful to find at least two points.
(3(2)+y=9), इसलिए (6+y=9) और (y=3)। तालिका बनाते समय ऐसे सरल (x) मान चुनें। / (3(2)+y=9), so (6+y=9) and (y=3). While making a table, choose simple (x)-values.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए कम से कम (2) बिंदु पर्याप्त होते हैं। परीक्षा में तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / At least (2) points are enough to draw a straight line. In exams, a third point may be used for checking.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं, इसलिए (y=3)। ग्राफ में (y)-अक्ष पर बिंदु का (x)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=3). On the (y)-axis, the (x)-coordinate is (0).
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखते हैं, इसलिए (x=9)। (x)-अक्ष पर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=9). On the (x)-axis, the (y)-coordinate is (0).
दोनों समीकरणों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं, पर नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत होंगी। / Both equations have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, the lines are parallel and inconsistent.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+y=5) बनता है। दोनों एक ही रेखा हैं, इसलिए अनंत हल होंगे। / Dividing the first equation by (2) gives (x+y=5). Both are the same line, so there are infinitely many solutions.
A. एक बिंदु पर कटेंगी/They will intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण अलग-अलग रेखाएँ देते हैं जिनकी ढाल समान नहीं है। इसलिए उनका एक अद्वितीय प्रतिच्छेद बिंदु होगा। / The two equations give different lines with unequal slopes. Hence, they will have one unique intersection point.
सामान्य बिंदु न होने का अर्थ है कोई हल नहीं। ऐसा समीकरण युग्म असंगत कहलाता है। / No common point means no solution. Such a pair of equations is called inconsistent.
एक सामान्य बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / One common point gives a unique solution. Therefore, the pair is consistent and independent.
एक ही रेखा के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / The same line has infinitely many common points. Therefore, the pair is consistent and dependent.
( (7,3) ) रखने पर (7+3=10) और (7-3=4)। ग्राफ पर यही दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु होगा। / Substituting ( (7,3) ) gives (7+3=10) and (7-3=4). On the graph, this is where both lines meet.
( (3,2) ) रखने पर (3+3(2)=9) और (3+2=5)। दोनों समीकरण संतुष्ट हों तो बिंदु सही है। / Putting ( (3,2) ) gives (3+3(2)=9) and (3+2=5). If both equations are satisfied, the point is correct.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
(y=0) पर (x=6) और (x=0) पर (y=6)। ये दो बिंदु रेखा खींचने के लिए पर्याप्त हैं। / When (y=0), (x=6), and when (x=0), (y=6). These two points are enough to draw the line.
(x=0) पर (y=4) और (y=0) पर (x=2)। सही दो बिंदु चुनने से ग्राफ जल्दी बनता है। / At (x=0), (y=4), and at (y=0), (x=2). Choosing correct two points makes graph drawing faster.
( (4,2) ) रखने पर (4-2(2)=0)। ग्राफ में वही बिंदु लें जो समीकरण को संतुष्ट करता हो। / Putting ( (4,2) ) gives (4-2(2)=0). In a graph, take only points that satisfy the equation.
(x=0) वाले सभी बिंदु (y)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए यह (y)-अक्ष का समीकरण है। / All points with (x=0) lie on the (y)-axis. Therefore, it is the equation of the (y)-axis.
(y=0) वाले सभी बिंदु (x)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए यह (x)-अक्ष का समीकरण है। / All points with (y=0) lie on the (x)-axis. Therefore, it is the equation of the (x)-axis.
दोनों रेखाएँ (y)-अक्ष के समांतर हैं और अलग-अलग (x) मान रखती हैं। इसलिए वे समांतर हैं और नहीं मिलेंगी। / Both lines are parallel to the (y)-axis and have different (x)-values. Therefore, they are parallel and will not meet.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ हैं और अलग-अलग (y) मान रखती हैं। इसलिए वे समांतर हैं। / Both are horizontal lines with different (y)-values. Therefore, they are parallel.
( (2,0) ) पर (2+0=2) और (2-0=2)। अतः यही दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद है। / At ( (2,0) ), (2+0=2) and (2-0=2). Hence, this is the intersection of both lines.
दोनों समीकरण बिल्कुल समान हैं, इसलिए वे एक ही रेखा दर्शाते हैं। ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं। / Both equations are exactly the same, so they represent the same line. Such a pair has infinitely many solutions.
पूरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+y=4) मिलता है। समानुपाती समीकरण अक्सर संपाती रेखाएँ दे सकते हैं। / Dividing the whole equation by (2) gives (2x+y=4). Proportional equations can often give coincident lines.
A. दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद के निर्देशांक से/From the coordinates of intersection
Explanation
Simple Explanation
हल प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों से मिलता है। केवल अवरोध तब पर्याप्त नहीं जब दूसरी रेखा भी दी गई हो। / The solution is obtained from the coordinates of the intersection point. Intercepts alone are not enough when a second line is given.
(5+y=8), इसलिए (y=3) और बिंदु ( (5,3) ) है। बिंदु हमेशा ( (x,y) ) क्रम में लिखें। / (5+y=8), so (y=3) and the point is ( (5,3) ). Always write a point in ( (x,y) ) order.
(x-1=3), इसलिए (x=4) और बिंदु ( (4,1) ) है। क्रम बदलने से उत्तर गलत हो सकता है। / (x-1=3), so (x=4) and the point is ( (4,1) ). Changing the order can make the answer wrong.
(2(0)+3y=12), इसलिए (y=4) और बिंदु ( (0,4) ) है। यह (y)-अवरोध भी है। / (2(0)+3y=12), so (y=4) and the point is ( (0,4) ). This is also the (y)-intercept.
(3x+2(0)=12), इसलिए (x=4) और बिंदु ( (4,0) ) है। यह (x)-अवरोध कहलाता है। / (3x+2(0)=12), so (x=4) and the point is ( (4,0) ). This is called the (x)-intercept.
A. प्रतिच्छेद बिंदु के (x) और (y) निर्देशांक उलटे पढ़ना/Reading the (x) and (y) coordinates of intersection in reverse order
Explanation
Simple Explanation
हल को ( (x,y) ) क्रम में पढ़ना चाहिए, उल्टा पढ़ने पर उत्तर बदल जाता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद बिंदु को ध्यान से लिखें। / The solution must be read in ( (x,y) ) order, and reversing it changes the answer. In exams, write the intersection point carefully.
